Колебания стержней вынужденные продольные

Параметрические колебания упругого стержня как неустойчивость режима установившихся вынужденных продольных колебаний. Пусть и (х, t) — продольное перемещение точек оси стержня, EF — жесткость сечения при растяжении (сжатии). С учетом наиболее существенных нелинейных членов уравнения совместных продольных и поперечных колебаний имеют вид [c.247]

Дифференциальные уравнения продольных, крутильных и изгибных вынужденных колебаний стержня с учетом диссипации записывают в виде [c.132]

Метод прогонки с определением форм вынужденных колебаний характеризуется наличием комплексных коэффициентов в дифференциальном уравнении для определения форм вынужденных колебаний. Например, для продольных колебаний в случае вынуждающей силы на конце стержня (х=1)д х, г )=Ре й имеем [c.341]

Большое число работ было посвящено в XIX в. исследованию колебаний струн и стержней. Для струн были рассмотрены задачи с различными специальными начальными условиями, задачи вынужденных колебаний, колебаний конечной амплитуды и пр. (М. Дюамель, Дж. Г. Стокс, Г. Гельмгольц, Г. Кирхгоф, Рэлей). Теория продольных и крутильных колебаний стержней оказалась достаточно простой благодаря наличию в этом случае определенной скорости распространения произвольных возмущений для поперечных колебаний единой скорости распространения волн не существует, и это сильно осложняет расчеты. Обстоятельные исследования различных колебаний стержней были начаты Пуассоном и продолжались на протяжении всего века. [c.60]

Продольные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных продольных колебаний стержня постоянного сечения имеет вид [c.314]

Постановка задачи. Рассмотренные выше задачи параметрических колебаний можно трактовать как задачи об устойчивости некоторых режимов установившихся вынужденных колебаний. Поясним это на примере задач, показанных на рис. 1. В случае, показанном на рис. 1, а, роль невозмущенного движения играют продольные колебания стержня, в случае рис. , б — радиальные колебания кольца, в случае 1, в — колебания пластинки в своей плоскости и т. д. Однако весь предыдущий анализ базировался на предположении, что перемещения в невозмущенном состоянии пренебрежимо малы. Рассмотрим уточненную постановку задачи для случая упругого стержня, сжимаемого периодической продольной силой (рис. 3). [c.365]

Стержни консольные — см. также Стержни упругие на жестких опорах консольные, — Колебания изгибные — Частоты собственные — Расчет 307—310 — Колебания изгибные вынужденные 316, 317 — Колебания продольные 287, 314, 315 — Колебания свободные — Формы и частоты собственные 279, 280, 287, 290, 292, 300 — Характеристики 222 [c.564]

В устье реки вынужденное повышение н понижение уровня прилива равно их значениям в море, скажем у = К sin qat, а на каком-либо препятствии на реке продольное колебание I равно нулю. Поэтому колебания воды похожи при соответствующих условиях на колебания стержня. [c.499]

Применим теперь метод нормальных форм колебаний к исследованию вынужденных продольных динамических перемещений призматических стержней. С этой целью предположим, что на стержень (рис. 5.4) действует распределенная сила Q х, t). В этом случае [c.342]

Общие замечания. При рассмотрении вынужденных поперечных колебаний стержней воспользуемся способом, который был применен в случае продольных колебаний. Положим, что поперечные коле- [c.334]

УРАВНЕНИЯ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ. Такими уравнениями определяются прежде всего формы вынужденных колебаний стержня от гармонической возмущающей силы. Пусть, например, на стержень действует продольная гармоническая сила Q sin oi, приложенная в точке х = х . Уравнение колебаний стержня в этом случае можно записать следующим образом [c.261]

Некоторый интерес может представлять и задача о продольном, изгибе стержня, имеющего нелинейные граничные условия. Приводимые ниже исследования показывают, что хорошо известные ранее типично нелинейные свойства одномассовых систем (зависимость собственной частоты системы от амплитуды колебаний,, многозначность амплитуд вынужденных колебаний, наличие скачков , затягиваний и пр.) расширяются и обобщаются соответствующим образом на системы с распределенными массами. В работе будет показано, что задача о колебании балки и задача о критических режимах валов, имеющих нелинейные граничные условия, являются принципиально различными, тогда как известно, что в линейной постановке они совпадают. [c.5]

Продольно-крутильные параметрические колебания. Уравнения колебаний для иц и получают из системы (1), принимая возмущенное состояние за начальное, а параметры тонкого стержня — периодически изменяющимися. Вынужденные перемещения подвижного конца и = (t) параметры до и после деформации связаны соотношениями [c.59]

Использование всех инерционных слагаемых в (5.1) неоправданно усложняет задачу. Поэтому в дальнейшем в уравнениях движения оставляются только члены, учитывающие инерцию движения в слоях вдоль координатных осей и инерцию вращения нормали в несущих слоях. Дополнительно продольная сила считается нулевой (р = 0), так как предполагается изучение поперечных свободных и вынужденных колебаний трехслойного стержня. В результате получим следующую систему уравнений движения в частных производных [c.237]

Для обширного класса задач теории упругой устойчивости уравнения возмущенного движения содержат коэффициенты, периодически зависящие от времени. Таковы задачи об устойчивости установившихся вынужденных колебаний упругих систем прямолинейного упругого стержня, сжатого периодической продольной силой, упругой пластины или оболочки, совершающей периодические колебания в условиях безмоментной деформации, и т. д. К этому классу примыкают также некоторые задачи теории упругих колебаний для систем, параметры которых периодически изменяются во времени. Явления неустойчивости в таких системах называются параметрическим резонансом. [c.353]

Пример. Одии конец бесконечного прямолинейного упругого стержня возбуждается в продольном направлении силой, равной F sin qat. Доказать, что вынужденные колебания описываются уравнением [c.498]

В простейших случаях, например в однородной и одномерной ) сплошной колебательной системе, рассмотрение нормальных колебаний, вынужденных колебаний и резонанса не представляет трудностей (мы убедились в этом при рассмотрении продольных колебаний стержня). Однако полученные при этом результаты нельзя безогово- [c.693]

Более точные исследования [23] показывают, что рассмотрение эквивалентного бруса вместо винтового стержня для продольных, крутильных и поперечных колебаний при целом числе полувитков дает погрешность порядка tg г з при определении собственных функций и порядка tg ijj при определении собственных частот для дробного числа полувитков погрешность частоты имеет порядок tgxjj. Вынужденные колебания под действием продольной или поперечной периодических сил, а также крутящего момента, взаимосвязаны и обнаруживают резонансные свойства в любом направлении, независимо от вида возмущения. При несовпадении направлений возмущения и движения порядок амплитуды колебаний равен tg г з. [c.58]

Вынужденные продольные колебания стержня. Для наглядности рассмотрим вначале стержень постоянного поперечного сечения. Пусть один конец стержня закреплен неподвижно, ко второму приложена внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой р, Отнеся внешнюю силу к граничному условию, решение получим без разложения в ряд по формам свободньк колебаний. Полагая и х, f)=ц>(x) P , будем иметь [c.338]

Томас Юнг первый показал (см. стр. 116), насколько значительным может быть динамический эффект нагрузки. Понселе, побуждаемый к тому современной ему практикой проектирования висячих мостов, входит в более подробное изучение динамического действия. Пользуясь диаграммами своих испытаний, он показывает, что до предела упругости железный брус способен поглотить лишь малую долю кинетической энергии и что в условиях удара легко могут быть вызваны остаточные деформацип. Для элементов конструкций, подвергающихся ударам, он рекомендует применять сварочное железо, дающее при испытаниях на растяжение сравнительно большое удлинение и способное поглотить, не разрушаясь, большее количество кинетической энергии. Понселе доказывает аналитически, что внезапно приложенная нагрузка вызывает вдвое большее напряжение, чем та же самая нагрузка, приложенная статически (с постепенным возрастанием до полной величины). Он исследует влияние продольного удара на брус и вызываемые таким ударом продольные колебания. Он показывает также, что если пульсирующая сила действует на нагруженный брус, то амплитуда возникающих при этом вынужденных колебаний может значительно возрастать в условиях резонанса, п этим объясняет, почему маршировка солдат по висячему мосту может оказаться опасной. Мы находим у него любопытное истолкование экспериментов Савара по продольным колебаниям стержней и обоснование того факта, что большие амплитуды и большие напряжения могут быть вызваны малыми силами трений, действующими по поверхности. [c.110]

Филлипс занимался так ке и вынужденными продольными и поперечными колебаниями стержней и дал решения таких задач ), как, например, задача о продольных колебаниях стержня, один конец которого подвергается действию периодическо11 силы ). Исследуя поперечные колебания, Филлипс остановился на определении напряжений в паровозном шатуне, все точки оси которого описывают окружность одного и того же радиуса. Он рассмотрел также и колебания струны, один конец которой закреплен, другой же присоединен к камертону, совершающему гармонические колебания. Развитые Филлипсом методы исследования поперечных колебаний стержней были использованы впоследствии Сен-Венапом при обсуждении частных случаев поперечных колебаний в Ilj)n-ложении 61 к его переводу книги Клебша (см. стр. 292). [c.296]

Излагается теория малых продольных, крутильных и поперечных колебаний. Выводится дифференциальное уравнение поперечных колебаний с учетом поперечного сдвига и инерции вращения, которое более известно по публикации 1921 года на английском языке. Это уравнение сыграло огромнз роль в теории колебаний упругих систем и известно в литературе как уравнение Тимошенко, а уравнения этого вида для пластин и оболочек как уравнения типа Тимошенко. Приводится решение этого уравнения для случая собственных колебаний. Затем дается изложение результатов автора в области применения тригонометрических рядов и энергетического метода для решения задачи о поперечных вынужденных колебаниях опертого по концам стержня, а также о колебаниях стержня на упругом сплошном основании. Приводится приближенное решение задачи о колебаниях стержней переменного сечения и его сравнение с точным решением. Особенно интересен приведенный здесь результат решенной ранее автором задачи о расчете балки на поперечный удар. При этом в отличие от классической известной схемы учитывались местные деформации балки в зоне удара грузом, в связи с чем появилась возможность определить закон изменения давления в месте удара, а также время соударения. [c.6]

Писаренко Г. С. Вынужденные поперечные колебания стержня при действии продольной растягивающей силы с учетом рассеяния энергии в материале. Сборник трудов Института строительной механики. № 12. Киев, Изд. АН УССР, 1950. [c.518]

При определенных условиях вынужденное плоское движение нелинейного упругого стержня (балки, полоски) описываемое уравнением (3.3.5), становится неустойчивым и возникают трехмерные движения. Похожее явление известно и для плоского движения натянутой струны [133]. В Корнеллском университете мы провели несколько экспериментов с толщиномерами — очень тонкими, гибкими, упругими стальными стержнями прямоугольного сечения (например, 0,25 мм X 10 мм X 20 см) (рис. 3.27). Их слабое боковое движение (по отношению к неизогнутому стержню) почти невозможно без продольного изгиба или перекоса локальных поперечных сечений. Однако при сильном изгибе в разрешенном направлении становятся возможными и боковые смещения, сопровождающиеся перекосом поперечных сечений. Мы показали, что плоские колебания стержня в разрешенном направлении на частоте, близкой к [c.108]

В опытах, описанных в предыдущем разделе, колебания воздуха являются вынужденными, так как высота определяется внещним источником, а не (в сколько-нибудь значительной степени) длиной столба воздуха. Правда, строго говоря, все незатухающие колебания являются вынужденными, так как свободные колебания не могут продолжаться без затухания, если только трение не отсутствует полностью, т. е. если случай не идеальный. Тем не менее практически важно отличать колебания столба воздуха, возбуждаемые продольно колеблющимся стержнем или камертоном, от таких колебаний, как колебания органной трубы или поющего пламени. В последних случаях высота звука зависит, главным образом, от длины столба воздуха, функции же воздушного потока или пламени ) заключаются только в восстановлении энергии, потерянной вследствие трения и сообщения с" внешним воздухом. Воздух в органной трубе следует рассматривать как столб, колеблющийся почти свободно, причем нижний конец, через который проходит струя воздуха, трактуется грубо как открытый, а верхний конец — как открытый или закрытый, смотря по тому, что имеет место. Так, длина волны основного тона закрытой трубы в четыре раза больше длины трубы, и по всей длине трубы, за исключением концов, здесь нет ни узла, ни пучности. Обертоны трубы—нечетные гармоники дуодецима, большая терция и т. д., соответствующие различным подразделениям столба воздуха. Например, в случае дуодецимы имеется узел в точке трисекции, ближайшей к открытому концу, и узел в другой точке трисекции, посредине между первой и закрытым концом трубы. [c.66]

А. Marines u [1.241] (1967) исследует свободные и вынужденные колебания стержня со свободными концами. Предполагается, что стержень имеет переменные по длине массу и жесткость, которые являются гладкими функциями продольной координаты. Система уравнений балки Тимошенко приведена к одному уравнению с переменными коэффициентами. Выписаны члены, которые, по мнению автора статьи, учитывают внутреннее демпфирование, аэродинамическое демпфирование, осевые и восстанавливающие силы. Для низших мод не учитываются инерция вращения, деформация сдвига и демпфирование. Рассмотрены три типа возмущающих сил гармонические, случайные, разрывные. Возмущающая сила вводится в правую часть дифференциального уравнения, при этом допущена ошибка — вместо пространственно-временного дифференциального оператора в правой части записана единица. Решение выписывается в виде бесконечного ряда по системе собственных, по предположению, ортогональных функций, которые в работе не определяются. [c.69]

Стержни консольиие — с.ч. также Стержни упругие на жестких опорах консольные — Кояеба-111111 изгибные — Частоты собственные — Расчет 307 310 — Колебания изгибные вынужденные ИЬ, 117 — Колебании продольные 287, 314, 315 — Коле-Сания свободные — Формы и частоты собственные 27У, 280, 287. 260, 292, 300 — Характе-рнсгики 222 [c.564]

Это—условие ортогональности нормальных функций, Мы встречали уже это условие в случае систем с несколькими степенями свободы (см. стр. 231), а также в случае продольных колебаний стержней (см. 47). Вследствие этого свойства свободные колебания, названные любыми начальными условиями, можно легко разложигь в ряд нормальных колебаний, а анализ вынужденных колебаний сводится к решению того же дифференциального уравнении, что и для <олебаниЙ систем с одной степенью свободы. [c.317]

В первой главе рассматриваются общие закономерности колебания упруговязких систем. Выводятся условия, при которых решение может быть разложено в ряды по собственным функциям недемпфированной системы. С помощью методов возмущений анализируется влияние ошибок исходных параметров на точность вычисления собственных частот и векторов. Введение комплексных модулей упругости позволило использовать единую методологию при рассмотрении собственных и вынужденных колебаний, а также систем с сосредоточенными и распределенными параметрами. На конкретных примерах показывается, что эквивалентная масса, которую Е. Скучик полагал постоянной, оказывается зависящей от вида формы колебаний и для каждого из них сохраняет стабильные значения в широком диапазоне частот. Наиболее полными характеристиками виброизолирующих свойств механических структур являются комплексные переходные податливости. Рассмотрена эффективность виброизоляции конкретных конструкций. Приводится решение задачи о распространении продольных колебаний по стержню при наличии сухого трения и даются конкретные примеры приложения этой задачи. [c.5]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...