Метод конечных разностей (сеток)

Это уравнение решается в общем виде по типу решения уравнения Фурье, но его решение с учетом зависимости коэффициента диффузии от температуры может быть реализовано или методом конечных разностей (сеток), или с помощью интегрального преобразования Лапласа и в обоих случаях требует машинного счета на ЭВМ. Проще всего оно решается для установившегося режима диффузии, т. е. при наличии постоянного градиента концентраций и постоянства температуры. В этом случае решение принимает вид [c.306]

Наибольшей универсальностью обладает метод конечных разностей (сеток) [Л. 54], пригодный для решения как линейных, так н нелинейных уравнений в частных производных с различным числом независимых координат. Метод сеток основан на замене производных по всем направлениям конечными разностями, подсчитываемыми по значениям искомых функций в узлах многомерной координатной сетки, покрывающей всю область решения. Шаг изменения координат должен быть приспособлен к границам области. Аппроксимируются соответствующими разностными операторами и граничные условия. В результате система уравнений в частных про-82 [c.82]

Наиболее часто в составе САПР используются два ме тода сеток J) метод конечных элементов (МКЭ) 2) метод конечных разностей (МКР). Эти методы отличаются друг от друга на этапах 1 и 2 алгоритма. На этапе 3 методы практически идентичны. [c.12]

Универсальным численным методом решения дифференциальных уравнений и их систем является разностный метод, называемый еще методом конечных разностей или методом сеток. Сущность этого метода заключается в том, что в области изменения переменных величин вводят некоторую сетку, а все производные, входящие в дифференциальные уравнения и краевые условия, заменяют алгебраическими комбинациями от значений функции в узлах сетки. Рещая полученную в результате такой замены систему [c.58]

МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ (МЕТОД СЕТОК) [c.184]

Применение метода конечных разностей (метода сеток) [c.186]

Согласно методу конечных разностей (методу сеток) плоскость течения разбивается взаимно перпендикулярными параллельными линиями на прямоугольники (ячейки). Угловые точки каждого прямоугольника называются узлами. В рассматриваемой плоскости течения (Ф, ) обозначено расстояние между параллельными вертикальными линиями сетки п, а расстояние между горизонтальными линиями т (рис. V.2). [c.189]

Для численного решения задач теплопроводности широко применяется метод конечных разностей, или метод сеток. Область непрерывного изменения аргументов х, у, г, т в этом методе заменяется сеткой—конечным (дискретным) множеством точек, называемых узлами. Разности значений одних и тех же аргументов для двух смежных узлов Лл , Дг/, Лг, Ат называются шагами изменения этих аргументов. Шаги могут быть как постоянными, так и переменными. [c.233]

В связи с интенсивным развитием вычислительной техники в последнее время получил большое распространение конечно-разностный метод решения задач нестационарной теплопроводности, или метод сеток. Методом конечных разностей может быть решена практически любая задача теплопроводности с произвольными начальными и фаничными условиями и переменными физическими параметрами тела. [c.115]

Наиболее распространенным численным методом является метод конечных разностей, или метод сеток. В этом методе рассматриваемое тело разбивается на несколько объемов ДУ конечных размеров [но не дифференциально малых (IV, как это делалось при вы-122 [c.122]

Численный метод часто называют методом конечных разностей (разностным методом) или методом сеток. [c.36]

При использовании метода конечных разностей (метода сеток) область непрерывного изменения аргумента заменяется конечным множеством точек, являющихся узлами сетки, которая наносится на упомянутую область. Таким образом, функции, определяемые в узлах сетки, становятся функциями дискретного аргумента. Что касается производных в дифференциальных уравнениях и в краевых условиях, то они аппроксимируются конечными разностями, в результате чего математическая модель явления приводится к системе алгебраических уравнений. Существуют различные способы конечноразностной аппроксимации, но чаще всего используют разложение функции в ряд Тэйлора, оставляя в нем конечное число членов и отбрасывая члены, представляющие собой малые величины более высокого порядка. [c.70]

Далее излагаются некоторые методы решения нелинейных задач в применении к задачам стационарной теплопроводности, которые распространяются затем на другие нелинейные задачи. Общим для этих методов является сочетание метода подстановок, позволяющего линеаризовать нелинейное уравнение теплопроводности, с другими аналитическими и численными методами, такими, как метод итераций (метод последовательных приближений), метод конечных разностей (метод сеток), метод прямых, реализация которых может быть осуществлена как на цифровых, так и на аналоговых (а значит, и гибридных) вычислительных системах. [c.74]

Дальнейший расчёт возможен, если известно распределение электрич. и магн. полей. При заданных краевых условиях поля вычисляются с помощью ур-ния Лапласа или с помощью ур-ния Пуассона при учёте влияния пространственного заряда. Аналитич. решение найдено лишь в нек-рых простейших случаях. Поэтому для аппроксимации экспериментально измеренных полей предложен ряд функций. Однако большинство задач решается численными методами с помощью ЭВМ. Широко используются методы сеток с прямоугольными (метод конечных разностей) и с треугольными (метод конечных элементов) ячейками. В обоих случаях вычисляют потенциалы при помощи сетки, наложенной на рассчитываемую область поля, включая границы, и формул, связывающих потенциал текущей точ- [c.546]

Численный метод сеток [метод конечных разностей (МКР), конечных элементов (МКЭ) и т.д.] применяется в тех же случаях, что и метод точного или приближенного аналитического решения уравнений, но при более сложных формах рассчитываемых областей. [c.624]

Метод конечных разностей (МКР), или метод сеток целесообразно рассматривать как вариационно-разностный метод, основанный на аппроксимации функционала. Он удобен тем, что для вычисления интеграла нужно знать значе-ния подынтегральной функции только в узлах 1 сетки, так что для вычис- [c.176]

Основной метод решения уравнений, описывающих процессы в лазерах, — метод разностных схем [89, 901, называемый также методом конечных разностей или методом сеток. В соответствии с методом конечных разностей вместо точного решения исходной задачи ищется ее приближенное решение в отдельных точках (узлах сеточной области), называемое сеточными функциями. Система дифференциальных уравнений при этом заменяется системой алгебраических уравнений для сеточных функций. [c.38]

Для численного решения данной системы уравнений на ЭВМ применим метод конечных разностей (метод сеток), согласно которому вместо точного решения задачи ищется ее приближенное решение в отдельных точках (узлах сеточной области), называемое сеточными функциями [c.201]

В работе излагается метод определения динамических характеристик прямоугольных пластинок с вырезами. Метод основан на использовании вариационных принципов совместно с методом конечных разностей. Для выражения потенциальной энергии деформации подобластей, на которые разбивалась пластинка, была разработана теория пересекающихся сеток. Использование этой теории продемонстрировано на примерах, относящихся к внутренним и граничным узловым точкам. Были получены и экспериментально проверены собственные частоты колебаний и соответствующие им формы для прямоугольных пластинок с одним и двумя вырезами. [c.114]

Применение метода сеток к решению уравнений движения. Решение отдельных уравнений (1а)-(1с) можно получить с применением аналитических методов, но их совместное решение с учетом условий стыковки возможно только путем применения численных методов. Одним из наиболее распространенных методов численного решения уравнений в частных производных является метод сеток, или метод конечных разностей [7]. [c.112]

Как и в предьщущем разделе, для решения и стыковки уравнений (1а)—(И) был применен метод сеток, или метод конечных разностей. Расчеты на ЭВМ проводились дпя бороалюминия, исходные данные дополнялись параметрами М/ь и кк, характеризующими сдвиговую прочность связи и величину трения. Значения параметров варьировались в широких пределах. [c.118]

Рассмотрим численный метод решения двумерного стационарного уравнения теплопроводности, называемый методом конечных разностей, или методом сеток. Этот метод основан на замене производных, входящих в дифференциальное уравнение, приближенными значениями, выраженными через разности значений функ- [c.102]

В оригинальном варианте [129] этот метод основывался на том простом факте, что в статическом случае поле выталкивается из любой области, занятой проводником. Заряды распределяются по поверхностям всех проводников таким образом, что все эти поверхности эквипотенциальны. Если потенциалы проводников (электродов) создаются извне, это эквивалентно созданию определенных распределений заряда на электродах. Можно считать, что эти заряды являются источниками электростатического распределения потенциала в пространстве, окружающем электроды, в том числе и потенциалов самих электродов. Если бы мы могли заменить потенциалы электродов этими поверхностными распределениями заряда на электродах, нетрудно было бы рассчитать потенциал в любой точке просто на основе принципа суперпозиции, не прибегая к использованию сложных расчетных сеток, как в методах конечных разностей или конечных элементов. Кроме того, мы сэкономили бы огромное количество машинного времени и машинной памяти, поскольку потенциал в заданной точке может быть точно вычислен без необходимости двигаться шаг за шагом от электродов к заданным точкам в ходе утомительной процедуры, накапливая ненужную информацию. Например, в случае аксиально-симметричных фокусирующих элементов нужно знать лишь распределение потенциала вдоль оси. Метод зарядовой плотности [c.163]

Не останавливаясь иа технических деталях. расчета, укажем лишь, что применялся тот же метод конечных разностей (метод сеток ), [c.551]

Методы математической физики, в частности методы интегральных преобразований, позволяют эффективно решать сравнительно узкий круг задач теории переноса. При рассмотрении систем дифференциальных уравнений с весьма общими краевыми условиями точные методы решения наталкиваются на большие трудности, которые становятся непреодолимыми при рассмотрении нелинейных задач. В этих случаях приходится обращаться к тем или иным численным методам решения. Важно отметить, что использование численных методов зачастую позволяет отказаться от упрощенной трактовки математической модели процесса. В настоящее время практически наиболее ценным методом приближенного решения уравнений теплопроводности является метод конечных разностей, или, как его еще называют, метод сеток. [c.59]

Метод сеток или, иначе, метод конечных разностей наиболее распространенный для приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных. Основная идея метода сеток заключается в том, что дифференциальное уравнение, начальные и граничные условия заменяются системой конечноразностных алгебраических уравнений, приближенно представляющих данную краевую задачу. Рассмотрим применение метода сеток к решению задач теплопроводности на примере двухмерной задачи. [c.24]

Решение строится следуюш,ими методами 1) методом сеток характеристик 2) методом конечных разностей (явная схема [c.152]

Система уравнений (24.9) решалась методом сеток характеристик дифференциальные соотношения вдоль характеристических направлений заменялись разностными уравнениями. При помощи рекуррентных формул для ячейки сетки характеристик при заданных граничных условиях определено дискретное поле напряжений, скоростей и деформаций как в упругих, так и в вязкопластических областях. Числовые расчеты проводились с помощью ЭВМ. Решения имеют локальный характер и дают хорошие результаты в достаточно малой окрестности цилиндрической поверхности и для малых времен. Для больших значений г и времени / погрешность, связанная с применением метода конечных разностей вдоль характеристик, становится значительной. [c.220]

Наибольшей универсальностью отличается метод конечных разностей (сеток), [Л, 100], пригодный для решения самых разнообразных уравнений в частных производных (как линейных, так и нелинейных). Согласно этому методу производные по всем направлениям заменяются конечными разностями, подсчитываемыми по значениям переменных в узлах многомерной сетки, иокрывающей всю область решения. [c.350]

При методе конечных разностей ([5], гл. XXVIII) заданную систему с помощью сеток разделяют на отдельные элементы, составляют конечно-разностные уравнения и определяют значение искомой функции (перемещения, функции напряжений и т. д.) в узлах сетки. [c.15]

Современные вычислительные цифровые машины позволяют без особого труда решать большие системы линейных алгебраических уравнений. Для их решения имеются стандартные программы. Поэтому метод конечных разностей (метод сеток) получил в настоящее время широкое распространение для решения многих прикладных задач. Этот метод применяется для интегрирования не только линейных дифференциальных уравнений, но также и нелпыейиых. В последнем случае в результате конечно-разностной аппрокспмацпи дифференциальных уравнений получаются системы нелинейных алгебраических уравнений. [c.211]

Точные аналитические методы решения уравнения теплопроводности позволяют решать тoльFio сравнительно простые задачи. Сложные задачи теплопроводности решаются численными методами или методом аналогий. Универсальным численным методом решения дис х )еренциальных уравнений и их систем является метод конечных разностей, или метод сеток. При этом температура определяется не в любой точке тела и не в любой момент времени, а только в определенных точках и в определенные моменты времени—в [c.187]

Метод конечных разностей дает значения сумм глав-нрлх напряисений Oj + Tj = -f- Оу для всех точек исследуемой области. Вычисления основаны на решении дифференциального уравнения Лапласа методом последовательных приближений (при помощи сеток) [9]. [c.65]

Юшков П. П. Применение треугольных сеток для численного решения уравнения теплопроводности.— Прикл. математика и механика , 1948, т. XII, вып. 2. Приближенное решение задач нестационарной теплопроводности методом конечных разностей.— Труды института энергетики АН БССР , 1958, вып. 7. [c.413]

Метод конечных разностей (метод сеток). Точное решение бигармонического уранения плоской задачи во многих случаях оказывается очень сложным. Для его упрощения можно применить приближенный метод конечных разностей, который позволяет заменить дифференциальное уравнение системой линейных алгебраических уравнений. [c.65]

Линеаризованные краевые задачи решают методами конечных разностей 19В, 148, 49, 227], вариационно-разностным [103], конечных элементов [182, 193], методами Ритца [113] и Бубнова — Галерки на [154]. Перечисленные методы сводят задачу к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и удобны для оболочек сложной формы. Особый интерес представляют направленные на подавление погрешности, вызываемой жесткими смещениями элементов оболочки, метод криволинейных сеток [76—79] и моментная схема конечных элементов [182]. Эти методы позволяют существенно увеличить шаги сетки по пространственным координатам при сохранении высокой точности результатов [27]. [c.24]

Лучшие результаты можно получить уменьшением размера сетки или применением экстраполяционного метода Ричардсона. Погрешность в значениях основных частот колебаний, полученных методом конечных разностей, является всегда меньшей, чем в результатах, полученных методом Рэлея — Ритца. На рис. 3 сопоставлены результаты, полученные для квадратных пластинок с круювыми вырезами Андерсоном и др. [7], использовавшими метод конечных элементов, а также результаты, полученные в этом исследовании для квадратных вырезов с целью установления характера поведения и проверки использованного здесь приближенного метода исследования влияния вырезов различных размеров на частоты свободных колебаний квадратных пластинок. Как видно из табл. 2, значения основных собственных частот свободных колебаний, полученных соответственна при помощи метода сеток и метода Неймарка [6], очень близки друг другу. Влияние коэффициента Пуассона ц изменялосй примерно от 7 до 10% при [а = 0,3. Предложенная формулировка задачи является более простой, и число решаемых уравнений гораздо меньше по сравнению с методом конечных элементов. Однако этот метод - пригоден только для квадратных или прямоугольных вырезов и не может быть использован в случае произвольных границ.. [c.58]

Расчеты с помощью метода сеток и конечных разностей основаны на замене дифференциального уравнения теплопроводности Фурье определенными арифметическими соотношениями значений температуры в данной точке тела и в точке, расположенной рядом с ней. Развитие метода конечных разностей дано в работе А. П. Ваничева (метод элементарных балансов) [7]. [c.45]

Метод сеток, или метод конечных разностей, является эффективным инструментом теоретического изучения конвективных процессов. Основная идея метода такова. В области определения дифференциальной задачи выбирается конечное множество точек (узлов), называемое сеткой. Функции и производные в каждом узле приближенно заменяются (аппроксимируются) некоторыми линейными комбинациями значений соответствующих функций, входяищх в уравнения и краевые условия, в узлах сетки. В результате этих замен нелинейная дифференциальная задача ЕК сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений относительно приближенных значений искомых функций в узлах. Такую систему принято называть разностной задачей, или разностной схемой. Несмотря на нелинейность и большое, как правило, число неизвестных, разностная задача более предпочтительна для решения, чем исходная дифференциальная, так как допускает применение вычислительной техники. Найденное на ЭВМ решение разностной задачи (разностное решение) принимается за приближенное решение исходной задачи в узлах сетки. Оно имеет вид числовой таблицы, размер которой пропорционален количеству узлов. [c.28]

На основании этих и других подобного рода методических исследований был сделан вывод о том, что для оценки требуемого шага интегрирования по вре.меии. можно использовать следующее соотношение, первоначально полученное прн анализе одномерных сеток метода конечных разностей [c.234]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...