Аналитические Разложение в степенные ряды

Параметр испытания, характеризующий процесс нагружения, аналитически можно представить в виде разложения в степенной ряд в окрестности произвольной точки ta (предполагается существование производных в этой точке) [c.18]

РАЗЛОЖЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННОЙ РЯД [c.197]

Разложение в степенные ряды 197 Аналитическое выражение функций [c.547]

Предположим, что нелинейные функции в уравнениях случайных колебаний являются аналитическими и допускают разложение в степенные ряды с ограниченным числом членов. Тогда для вывода моментных соотношений и приближенного исследования стационарных процессов может быть применен метод спектральных представлений в виде стохастических интегралов Фурье. [c.91]

Отметим несколько свойств аналитических функций, которые вытекают из их представимости степенными рядами. Во-первых, любой степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз, поэтому аналитические функции обладают производными всех порядков. Отсюда следует, что разложения аналитических функций в степенной ряд совпадают с их разложениями по формуле Тейлора [c.72]

Из первых двух формул Колосова непосредственно следует, что ф (г) и i 3 (z) являются однозначными и дифференцируемыми, т. е. аналитическими функциями. Поэтому ф г) и i )(z) имеют такой же характер и могут быть представлены в односвязной области в виде разложений в степенные ряды [c.213]

Ясно, что из доказанной сходимости разложения со в степенной ряд по к для достаточно малых значений к следует сходимость разложения Чепмена — Энскога для очень ограниченного класса зависимостей от пространственных переменных все производные газодинамических переменных должны быть равномерно ограничены по порядку производных, а это означает, что они не только аналитические, но также и целые функции. [c.170]

Применение конформного отображения и преобразования краевых условий к виду (8.189) и (8.190), которые выражают эти условия на окружности круга, позволяет применить для отыскания неизвестных функций <р (С) и ф (С) разложение их в степенные ряды. Эти функции суть аналитические внутри [c.228]

Заметим, что матрица М должна быть положительно определенной, поскольку квадратичная форма 2, данная равенством (17.33) или (17.39), есть среднее число фотонов, подсчитанных в некотором когерентном поле. Таким образом, собственные значения aSi положительны, и сингулярности производящей функции лежат на отрицательной части действительной оси переменной Я. Поскольку функция Q аналитична в полуплоскости Re Я > О, мы видим, что если разложить функцию Q в степенные ряды около точки Я = О или Я = 1, то эти разложения в ряды в других точках можно вычислить в принципе методом аналитического продолжения. Это соображение показывает, что использованная нами процедура вычисления производящей функции посредством ее разложения в точке Я = О действительно ведет к единственному результату для распределения вероятности. [c.185]

Однако это решение будет иметь на бесконечности, вообще говоря, полюс порядка —х, и поэтому для существования аналитического в бесконечности решения необходимо потребовать выполнение дополнительных условий. Для функции (г) эти условия состоят в том, что ее разложение в ряд по степеням 1/z должно начинаться с члена XJz -. Относительно же функции g i) эти условия принимают вид [c.23]

Если подойти к определению аналитической функции другим путем, а именно, охарактеризовать ее возможностью разложения в сходящийся степенной ряд, то можно получить [c.23]

Идея метода Чепмена — Энскога заключается в разложении оператора 8 в случае, когда величины рР не разложены. При этом предполагается, что хотя зависимость рР от 8, вообще говоря, неаналитическая, но оператор 8 аналитичен по 8 (или по крайней мере имеет асимптотическое разложение по степеням 8). Это предположение отнюдь не противоречиво, так как, например, в уравнение Навье — Стокса вязкость и теплопроводность входят аналитически (именно линейно), а средних решений есть, в общем случае, такие, которые нельзя разложить в ряды по этим параметрам. Чтобы формализовать эту идею в алгоритм, заметим, что уравнения (3.1) можно записать в виде [c.122]

Ниже изложен аналитический метод расчета обтекания осесимметричных тел и плоских контуров потоком идеального газа при больших сверхзвуковых скоростях. Метод основан на разложении решения уравнений газовой динамики в ряды по степеням параметра = (7 — 1)/(7+1), где 7 - отношение теплоемкостей, и по идее аналогичен методу разложения по степеням где Ке - число Рейнольдса, решения уравнений движения [c.280]

Аналитические функции фо г) и зо(г) представимы в кольцевой области в виде разложения в ряд Лорана с положительными и отрицательными степенями, т. е. [c.215]

Покажем теперь, что всякая функция /(г), аналитическая в некотором круге 12 — 61 < / с центром Ь, может быть представлена внутри этого круга степенным рядом (3) и что такое разложение единственно. Представление функции таким степенным рядом называется разложением в ряд Тейлора. [c.530]

Задача об отрыве ламинарного пограничного слоя была точно решена Гёртлером [15], который разработал новый общий аналитический метод расчета установившегося двумерного ламинарного пограничного слоя несжимаемой жидкости с произвольными градиентами давления. Так как его решение дается в виде быстро сходящихся бесконечных степенных рядов, можно получить решение с любой степенью точности, удерживая достаточное число членов разложений в степенные ряды. Рассмотрим этот метод подробнее ввиду его высокой точности. [c.94]

Если переменную ф считать комплексной, то правые части равенств (5.6.7) и (5.6.8) будут целыми функциями, и, исключив ф, мы получимх как аналитическую функцию от т. Разложение 3Toii функции в степенной ряд в окрестности точки т О имеет вид [c.78]

Аналитические вычисления, необходимые для решения дифференциального уравнения (7.28), довольно затруднительны. Г. Блазиус получил решение, применив разложение функции / (т)) в степенной ряд в окрестности точки т) = О и асимптотическое разложение для больших т) и затем сомкнув оба разложения в некоторой подходящим образом выбранной точке т). Этот способ подробно изложен Л. Прандтлем в работе [ ]. Позднее Л. Бэрстоу 14 и С. Голдстейн [ ] еще раз решили это уравнение несколько иным способом. [c.134]

Интегрирование уравнения (31.31). можно выполнить численным методом на ЭЦВМ. Чтобы получить приближенное аналитическое решение, разложим подынтегральную45ункцию в степенной ряд и ограничимся тремя членами разложения [c.425]

Эта задача решена численным методом в [Л. 10 и 1 ]- Аналитическое решение с помощью метода Ритца впервые получено Лейбензоном [Л. 12] и уточнено в (Л. 3]. Решение, основанное иа разложении функции распределения температуры по сечению потока в степенной ряд, дано Марьямовым [Л. 13], а также в [Л. 14 и 6]. [c.91]

Однако необходимо отметить, что разложение в ряд (IV.49), очевидно, не единственно возможное. Не существует математического доказательства того, что ряд (IV.49) должен сходиться быстрее, чем степенной ряд (IV.50). Единственным аргументом в пользу такого вывода служит хорошее согласие с экспериментом, которое видно из фиг. 23. С теоретической точки зрения, можно лишь с определенностью утверждать, что разложение (t) в степенной ряд справедливо до члена с Тогда можно доказать, что Gi t) может быть а priori представлено с помощью любой четной функции F (t) с F 0) — i, F" (0) — М2, F (0) = М4. Главным критерием для выбора этой функции служат простота и согласие с экспериментальной кривой Gi t) в широкой области. Экспериментальные кривые очень похожи на аналитическую кривую [c.122]

Учитьшая определенные ограничения аналитического подхода, в работе [16] предложено асимптотическое решение для произвольно закрученного идеального потока в соплах при постоянном значении энтропии и полной энтальпии по длине. Решение получено в виде двойных степенных разложений по параметрам, характеризующим кривизну стенки и интенсивность закрутки потока. Расчетные соотношения для различных приближений (число членов ряда), учитьюающие радиальную составляющую скорости, дают результаты, удовлетворительно согласующиеся с результатами расчетов [39, 78] при различных значениях отношения. [c.109]

Аналитическое решение полученных уравнений дл5Г профиля произвольной конфигурации затруднительно. Для замкнутых профилей может быть использован прием разложения искомых функций В тригонометрические ряды по периметру сечения. Таким образом, получаются бесконечные системы алгебраических уравнений относительно коэффициентов этих рядов. Ограничившись тем или иным числом учитываемых членов ряда, можно получить решение с требуемой степенью точности. [c.434]

Периодическое решение уравнения движения путем разложения его в ряд по малому параметру предложил М. И. Бать [31]. Интегрирование этого уравнения он выполнил при помощи степенных рядов. Впоследствии Бать разработал аналитический метод исследования установившегося движения плоского механизма при довольно произвольном законе изменения задаваемых сил [34]. [c.9]

Найденное любым способом разложение аналитической функции в ряд по положительным и отрицательным степеням г — а является лорановским разложением этой функции. [c.198]

Теория возмущений п-го порядка в смысле Крылова — Боголюбова содержит возмущения любого порядка (не только до п-го), найденные классическими методами теории вог муще1шй. Если вектор-функция Z(z, t, ) является аналитической относительно р S [О, ji ], то в этом случае можно ожидать, что функции Ui, z,t, ) также окажутся аналитическими относительно р е [О, Z [О, где существование величины ц, , гарантируется теоремой Коши о существовании аналитического реншпия. Но нрп этих условиях функции Uk z,t, ) могут быть представлены в воде рядов по степеняй Р, и, подставляя их в формулу для замены переменных (58), можно перестроить полученные разложения в классические разложения теории возмущений по степеням малого параметра ц. [c.32]

В итоге почти полуторастолетних изысканий по проблеме притяжения эллипсоидов и здесь произошел переход от геометрических к аналитическим методам, были получены многочисленные частные результаты, выведены полезные для гравиметрии приближенные формулы, с успехом применены разложения типа разложений в ряд по степеням малого параметра, введена потенциальная функция и выведено для нее уравнение в частных производных. Эти результаты были впоследствии широко использованы в других разделах теоретической физики, послужили основой для более общей теории потенциала и для создания математического аппарата будущей теории ноля. Для проверки ньютоновой тёории они привлекались в сочетании с результатами других исследований, к которым мы и переходим. [c.153]

Естественно, что научные вопросы составляют если не наибольшую по объему, то, во всяком случае, наиболее существенную часть переписки. И здесь, прежде всего, необходимо отметить, что, несмотря на достаточное разнообразие затрагиваемой в переписке научной тематики, есть одна доминирующая тема, к которой чаще всего обращается Софья Васильевна — это вопрос об интегрировании уравнений при помощи аналитических функций, главным образом при помощи абелевых функций, и прежде всего вопрос об интегрировании уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки — это задача, прославившая С. В. Ковалевскую. Школа Вейерштрасса — это, конечно, школа теории функций комплексного переменного здесь разбираются и изучаются общие теоремы и общие методы теории, идет сравнение методов самого Вейерштрасса, алгебраизированных методов, основанных на систематическом применении степенных рядов, и методов, основанных на теоремах Коши это работы Миттаг-Леффлера , юного Рунге, начинающего Гурвица. А кстати изучаются вопросы об области существования аналитических функций, о разложении функций в ряд — это работы Бендиксона, Фрагмена. [c.17]

Имеется аналогия между преобразованием Лапласа и степенными рядами [29]. Как известно, степенной ряд сходится в некотором круге — круге сходимости. Радиус круга сходимости равен расстоянию от точки, относительно которой идет разложение в ряд, до ближайпхей особой точки разлагаемой функции. Интеграл, представляющий (одностороннее) преобразование Лапласа, вообще говоря, сходится в полуплоскости комплексной плоскости, лежащей справа от некоторой прямой, параллельной мнимой оси. Ясно, что на прямой, являющейся границей сходимости интеграла, обязательно лежит особая точка преобразования как функции комплексного аргумента. Сказанное не означает, что преобразование имеет смысл только там, где сходится интеграл (как и в случае рядов). Часто функцию можно аналитически продолжить, иногда на все точки комплексной плоскости, кроме некоторых, особых. [c.106]

В ряде работ было предложено решение уравнения движения машинного агрегата. В работе, посвященной исследованию движения при силах, зависящих от скорости и положения звена приведения, М. И. Бать (1950) решал это уравнение путем разложения в ряд по малому параметру и интегрирования при помощи степенных рядов. Им был разработан аналитический метод исследования работы плоского механизма при произвольном законе изменения заданных сил (1960). А. П. Бессонов разработал графический метод решения того же уравнения (1953) и провел общее исследование уравнения, качественным методом изучая его особые точки (1958). [c.377]

Изучение приливов при такой постановке задачи широко представлено как в отечественной, так и зарубежной литературе. П. Я. Полуба-риновой-Кочиной (1938) принадлежит решение об определении собственных колебаний жидкости в плоских бассейнах при наиболее общих предположениях о виде границы бассейна. Ею показано, что решение может быть осуществлено путем нахождения фундаментальных чисел и функций интегрального уравнения, ядро которого представляется через функцию Грина для соответствующей задачи Дирихле. Исследование интегральных уравнений выполнено Полубариновой-Кочиной с использованием разложений в ряды по степеням малого параметра, пропорционального угловой скорости вращения бассейна. Для конкретного случая прямоугольного бассейна ею проведен подробный аналитический анализ решения и вычислены первые члены рядов (1937). В. А. Яблоков (1944) построил котидальные карты и изучил особенности собственных колебаний в зависимости от соотношения между длинами сторон прямоугольного бассейна. [c.81]

Осесимметричный электростатический или магнитный скалярный потенциал можно вычислить по его осевому распределению, используя расходящийся ряд (3.20) или комплексный интеграл (3.112). Компоненты электрического поля и вектора магнитной индукции определяются рядами (3.38) —(3.40) и (3.45) — (3.47) соответственно. Комплексный интеграл может -быть вычислен только для аналитических функций. Разложение степенного ряда требует, чтобы осевое распределение задавалось как 2(п—1) раз дифференцируемая функция координаты Z, где п — число членов степенного ряда. К сожалению, для лриемлемой сходимости необходимо весьма большое п. Если осевое распределение задано набором численных данных (что является обычным при процедурах оптимизации, обсуждаемых дальше) или даже если оно известно в виде громоздкой аналитической функции, то производные высших порядков необходимо получать численными методами, которые дают большие погрешности (см. разд. 3.3.5.1). [c.532]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...