Пределы — Теоремы существования

Если t стремится к конечному пределу i, когда х стремится к х, то по теореме существования движение может быть продолжено за i [c.134]

Нужно теперь с помощью теоремы существования Коши доказать, что новые координаты Vk к = 1,. .., 6) как функции s останутся регулярными также и при s = si. Для этого исследуем прежде всего поведение этих координат при предельном переходе s si (О s < si), для чего используем результаты 6. Соответственно этому заставим стремиться rjk к = 4, 5, 6) при i ii, т. е. при s si, к их предельным значениям, и расстояния Г2з, ri2 — к положительным пределам. В соответствии с (7 11) получаем [c.68]

Неавтономные системы. В этом случае функции Ляпунова так же, как и правые части уравнений возмущенного движения (22), явно зависят от времени. Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости ие меняется, но в условия теорем об асимптотической устойчивости и неустойчивости вводится дополнительное требование о существовании бесконечно малого высшего предела функции V (t, х). [c.38]

Таким образом, дальнодействующие межатомные корреляции, которые, собственно, и обеспечивают сдвиговую жесткость (устойчивость кристаллов и вязкость жидкостей и аморфных тел), являющуюся фундаментальным признаком конденсированного состояния, обусловливают существование как минимум локального порядка в пределах радиуса корреляции. При этом в пределах радиуса корреляции локальные атомные конфигурации имеют вполне определенную симметрию, удовлетворяющую требованиям теоремы Федорова. Существование состояний с локальной федоровской структурой в неупорядоченных конденсированных системах надежно установлено при численном моделировании аморфных структур [459]. [c.284]

Теперь рассмотрим возможность применения законов сохранения (2.80Ь) и (2.81Ь) к случаю динамического развития трещины в нелинейно-упругом материале. Рассмотрим объем Уг— Уг, который не содержит вершину трещины, где Г — любой контур, охватывающий вершину трещины, Vg — малый объем с границей Ге, также окружающей вершину трещины, в результате чего Г + сг—Ге представляет собой границу объема V— Ve- Отметим, что теорема о дивергенции при существовании возможных неинтегрируемых сингулярностей может быть применена только к объему V— Ve в пределе, когда е О. Учитывая эти соображения, которые более детально разработаны в [c.153]

Можно сказать, что в диаграммной технике существование обратной функции Грина доказывается конструктивно, путем суммирования бесконечной последовательности диаграмм для массового оператора. Напомним, однако, что теорема Вика справедлива только в случае, когда начальный статистический оператор описывает идеальный газ. В пределе Iq —оо это означает, например, что двухчастичная функция Грина G(12,1 2 ) удовлетворяет граничному условию [109] [c.59]

Из последней теоремы сразу же вытекает существование предела доли времени пребывания системы в заданной области ДГ фазового пространства для этого достаточно принять /(Р) за характеристическую функцию множества АГ. [c.181]

Замечание о конечных перемещениях твердого тела. В различных курсах теоретической механики закон распределения скоростей в твердом теле выводится из теоремы Шаля. Теорема Шаля о конечных перемещениях твердого тела строго доказывается для последовательных перемещений, следующих одно за другим. Существование единого предела, не зависящего от порядка последовательности перемещений, обычно в курсах не доказывается. Это же относится и к теореме Даламбера о конечных перемещениях. [c.114]

В силу теоремы 4.1 функция Vi x) не возрастает по t на некотором (г,+ос). Отсюда и из ограниченности V X t,q)) следует существование конечных пределов [c.275]

Существование конформного отображения в определенных пределах доказывается следующей общей теоремой отображения Римана [c.221]

Пределы — Теоремы 1 — 135 —— определенного интеграла 1 — 172 —— последовательности — Признаки существования 1 — 135 Предохранители от перегрузки 4 — 216 см. также Муфты предохранительные [c.458]

Ценность устранения условия совпадения кривых F и Fi явствует из того, что обобщенная теорема может быть применена для установления существования бесконечного множества периодических движений вблизи устойчивого периодического движения динамической системы с двумя степенями свободы. Далее, из этого сразу вытекает существование движений, которые сами не периодичны, но являются равномерными пределами периодических движений. Действительное существование таких квазипериодических движений, насколько мне известно, до сих пор не было доказано . В настоящей работе я не рассматриваю этих динамических приложений. [c.290]

Каждое из упомянутых периодических решений, существование которых установлено при помощи теоремы Ляпунова, может быть фактически найдено в виде бесконечных рядов, расположенных по степеням некоторой произвольной постоянной, абсолютно сходящихся для всякого значения независимой переменной V (а значит, для всякого значения I), пока числовое значение произвольной постоянной не превосходит некоторого отличного от нуля предела. [c.264]

Таким образом, наше предложение доказано. Остается показать существование решения функционального уравнения (10.26]). Перейдя к пределу при x->Xo S извне, получим по теоремам 2 и 1 1 гл. II [c.332]

Другим непосредственным следствием теоремы является существование положительной трансфер-матрицы. Предположим, что мы умеем строить термодинамический предел по крайней мере во временном направлении, и допустим, что он инвариантен относительно сдвигов по времени. Пусть Р Фк . Обозначим через ТР эту же функцию, но только от полей, сдвинутых на две единицы в положительном направ-лепии времени, Ясно, что Т р рух равномерно ограничено по N. Повторно используя неравенство Шварца, получаем [c.23]

О Выведем сначала существование предела (1) из условия (4). В силу спектральной теоремы при любых /, 5 Е 0 [c.194]

В силу леммы 1 это выражение стремится к нулю при ti,I2 оо, что доказывает существование искомого предела. . Согласно лемме 1.6 условия теоремы 2 выполняются (при [c.206]

О Существование и полнота ВО И (Я, Но) вытекает из следствия 2.12 и теоремы 3.5. Теорема 1 показывает, что на Мо X Мо справедливо представление (2.8.7). Вычислим предел его правой части при —0. Поскольку Со и С являются Яо-гладкими, то операторы о(А Со) и о(А С) при п.в. А корректно определены. Теперь на основании леммы 4.7 из соотношений (2.10) и (6) вытекает, что [c.221]

При построении теории рассеяния для ядерных возмущений мы параллельно пользуемся двумя подходами. Первый из них, стационарный, основан на проверке в 1 условий предыдущей главы. Тем самым ядерная теория рассеяния укладывается в общую стационарную схему гл. 5. Обсуждение исходного результата ядерной теории, теоремы Като—Розенблюма, составляет 2. Здесь же приводится обобщение этой теоремы на случай пары пространств. Второй подход, излагаемый в 3, дает прямое доказательство существования пределов в нестационарном определении ВО. Это доказательство сравнительно коротко, но его вряд ли можно назвать прозрачным. [c.232]

О Вводя вспомогательное отождествление = E K)J с помощью теоремы 2.3 установим существование пределов [c.255]

При рассмотрении возмущений ядерного типа остановимся вначале на случае V Е i. Существование сильных нестационарных ВО W = W H, Но] J) следует сейчас из теоремы 6.2.3. Ее доказательство, данное в 6.2, основывалось на результатах гл. 5. При этом использовалось, что согласно теореме 6.1.5 любой оператор Гильберта—Шмидта G является слабо Я-гладким относительно произвольного самосопряженного оператора Я, а согласно следствию 6.1.11 сильные пределы GR X ie)f при е О и п.в. А G М существуют на [c.293]

Точное определение верхнего предела мы дадим в гл. 2, где будет доказана теорема о существовании показателей Ляпунова. В зависимости от различных начальных значений bq при i = to могут [c.71]

Исследование дифференциальных уравнений математической физики в конечной области пространства обычно проводится с помощью перевода их в интегральные уравнения с подходящей функцией Грина [28, 29]. Это обстоятельство объясняется тем, что исходный дифференциальный оператор является неограниченным, тогда как функция Грина в конечной области пространства, удовлетворяющая соответствующим граничным условиям, порождает не только ограниченный, но вполне непрерывный оператор, т.е. оператор с квадратично интегрируемым ядром [45]. Этот оператор можно представить как предел конечномерных операторов и, следовательно, перенести на него (а, тем самым, и на исходный дифференциальный оператор) все существенные теоремы алгебры конечномерных пространств [45] (существование собственных функций, их полнота и разложение по базису, альтернатива Фредгольма, теория возмущений и т.д.). [c.68]

Цель, которая должна быть поставлена перед квантовыми теориями, посвященными обоснованию статистики, по существу совпадает с той, которая ставилась в работах, исходивших из классических представлений. Эта цель заключается в том, чтобы дать интерпретацию не только некоторым частным проблемам — эргодичности илп ZT-теоремы, как обычно ставилась задача, но и всей совокупности принципов, лежащих в основании физической статистики. Эти принципы — эргодический характер временных средних, равномерная (относительно начальных состояний и относительно выбора той или иной величины заданной группы величин) сходимость к пределу временных средних, существование релаксации п /f-теорема — были охарактеризованы нами в 1 главы I. До сих пор обычно оставлялись в стороне утверждения о равномерной сходимости и о релаксации (в том смысле, что после некоторого времени — времени релаксации — вероятности состояний должны определяться флюктуационной формулой). Мы будем различать в дальнейшем две части проблемы необратимости проблему монотонного возрастания энтропии, которую будем называть ЛГ-теоремой, и проблему релаксации, имеющую только что определенный смысл. Совокупность указанных принципов лежит в основании как классической, так и квантовых статистик. В квантовых статистиках эти утверждения выражаются лишь на квантовом языке, так же как и понятия состояний системы, вероятностных распределешш, эргодических средних и т. д. [c.135]

Как известно, классическая линейная теория упругости имеет ограниченные рамки применимости, за пределами которых линейные модели следует заменить на нелинейные, приближениями которых они являются. Задачи линейной,теории упругости рассматриваются в книге лишь в главе 6 ( 6.2 и 6.3) в той мере, в какой это необходимо для исследования нелинейных задач. С результатами линейной математической теории упругости читатель может подробнее познакомиться, в частности, по монографии Г. Фикеры Теоремы существования в теории упругости (М. Мир, 1974). [c.5]

При практическом использовании метода итераций следует иметь в виду, что процесс вычислений будет сопровождаться ошибками. Как уже отмечалось, всегда будут присутствовать ошибки округления и возможны ошибки другой природы. Всякая вычислительная машина оперирует числами с мантиссой конечной длины, т. е. с множеством чисел, содержащим конечное число элементов. Такое множество, разумеется, не является полным, и последовательность, получаемая вычислительным путем, может вообще не иметь предела. Типичной является ситуация, когда последовательность зацикливается, т. е. л x s для всех п, начиная с некоторого. Существование предела такой последовательности возможно только, если период цикла 5 == 1. В этих условиях сформулированные ранее теоремы требуют уточнения. [c.72]

Несовместимость закономерностей излучения с к [ассическими представлениями. Исходя из классических представлений непонятен факт устойчивого существования материальных тел. Многочисленными экспериментами было установлено, что в атомы материальных тел входят положительные и отрицательные заряды. Известно было также, что они заключены в конечном объеме, определяемом размерами атома. По теореме Ирншоу, между зарядами возможно лишь динамическое равновесие. Следовательно, необходимо считать, что положительные и отр1Ицательные заряды в атоме находятся в относительном движении, точный закон которого для данного рассуждения несуществен. Но если заряд находится в постоянном движении в пределах конечного объема, он должен двигаться с ускорением. Классическая электродинамика утверждает, что ускоренно движущийся заряд излучает электромагнитные волны, с которыми уносится соответствующая энергия. Следовательно, заряды в атоме должны постоянно терять энергию в виде электромагнитного излучения. Это означает, что стационарное состояние атомов невозможно, т. е. невозможно устойчивое существование материальных тел. Поэтому классическая электродинамика в применении к атомным явлениям находится в глубоком противоречии с экспериментом. [c.80]

Первая догадка о существовании особого принципа, определяющего закономерности лревращения тепла в работу, была высказана С. Карно. (в его знаменитом сочинении Размышления о движущей силе огня и 0 машинах, способных развивать эти силы ) через 40 лет после появления яа ровой МаШ И Ны и еще до того, ка к стало известным первое начало термодинамики. Задача, которую ставил себе Карно в своем исследовании, состояла в анализе действия паровой машины, с тем чтобы выясиить, как сделать, чтобы она стала аилучшей и наиболее экономичной. Этот анализ привел Карно к основополагающей гипотезе о том, что при постоянной температуре нельзя полученное от тела тепло превратить в работу, не произведя лри этом никаких изменений в самом теле или других окружающих его телах. По существу этот вывод представлял собой начальную, исторически первую формулировку второго начала термодинамики. Таким образом, исследование Карно знаменовало собой рождение новой физической теории — теории тепла, или термодинамики. Но работа Карно содержала нечто большее, чем просто описание нового физического принципа. Она включала также конкретные результаты, полученные на основе этого общего принципа, в частности блестящее доказательство независимости к. п. д. обратимой машины от природы рабочего вещества, известное теперь лод именем теоремы Карно. Другим важным выводом из исследований Карно явилось доказательство того факта, что к. п. д. обратимого теплового двигателя является верхним пределом эффективности действия двигателя вообще. [c.95]

Теорема 1. Существование двух кривошипов в плоских шарнирных четырехзвенниках возможно, если 2а — d — с d — с >0 [неравен тво (4.12)1 и длина шатуна не выходит за пределы ин-тервалг, образованного двумя наибольшими значениями функции Ь (ср, я ) в гиперболических точках. [c.82]

Отдельные типы напряженных элементов конструкций при ограниченном сроке службы могут работать за пределами приспособляемости. В этом случае при стационарном циклическом нагружении конструкций из циклически стабильных (стабилизирующихся) материалов происходит тэстепенная стабилизация цикла изменения напряжений и скоростей деформации. Существование процесса стабилизации, который асимптотически заканчивается переходом к стационарному циклу изменения напряжений и скоростей деформации, в общей форме было доказано Фредериком и Армстронгом [127] на основе постулата Друккера. В цитируемой работе получила обоснование также единственность (независимость от начального состояния) напряжений в стабильном цикле в областях тела, где скорости неупругой деформации в указанном цикле отличны от нуля. Таким образом, соответствующая теорема для условий упругой приспособляемости, приведенная в [10], может рассматриваться как частный случай. [c.34]

Прежде чем говорить о физических основаниях, придающих этой схеме реальность, отметим результаты, которые можно получить, исходя из нее. Если мы будем производить измерения через определенные заданные интервалы времени, то с вероятностной точки зрения эта схема оказывается схемой цепи Маркова. Действительно, так как ячейки соответствуют здесь максимально полно определенным состояниям, то вероятности перехода а следовательно, и вероятности исходов последующего опыта однозначно определяются исходом настоящего опыта. Так как коэффициенты р. удовлетворяют соотношению симметрии Pii, = Pki, то, как известно из теории цепей Маркова, существует стационарное распределение, представляемое равномерным распределением вероятностей между ячейками. Если мы будем считать, что все коэффициенты РгТс (что, как будет видно в 3, можно предположить без существенного сужения физической постановки задачи), то стационарное распределение вероятностей единственно кроме того, это стационарное распределение является предельным при любом начальном состоянии системы или при любом распределении вероятностей начальных состояний. Условие Pik является достаточным для того, чтобы выполнялся закон больших чисел, согласно которому, для любого заданного начального состояния, при многократном воспроизведении начального состояния частость осуществления заданной ячейки в опыте, проводимом в некоторый заданный, достаточно удаленный момент, будет иметь пределом вероятность осуществления этой ячейки при стацирнарном (т. е. равномерном) распределении. Если выполняется условие справедлива также обобщенная предельная теорема Ляпунова [31]. Согласно этой теореме, частость осуществления заданной ячейки в данном процессе, для любого заданного начального состояния, при возрастании числа последовательных во времени опытов будет иметь пределом среднюю вероятность осуществления этой ячейки для того же процесса или (ввиду существования предельного распределения) вероятность осуществления этой ячейки при стационарном распределении. Первый из этих результатов является некоторым аналогом появления — независимо от начального состояния — равномерного распределения вероятностей на поверхности заданной энергии после [c.139]

Н. Г. Четаев (1926) исследовал вопрос о существовании непрерывной последовательности устойчивых фигур равновесия однородной в каждый момент времени вращающейся жидкой массы, находящейся под действием сил ньютоновского притяжения, сил лучистого сжатия к центру тяжести с постоянной скоростью и постоянного давления на свободной поверхности. Для выделения устойчивой последовательности фигур равновесия автор использовал теорему Лагранжа об устойчивости равновесия, которую доказал применительно к рассматриваемой системе. Несколько позднее Четаев (1931), пользуясь теоремой Ляпунова об устойчивости фигур равновесия, доказал, что если существует не бесконечно малый нижний предел для массы отдельных тел, на которые под влиянием сил ньютоновского притяжения и центробежной может распасться некоторая масса однородной несжимаемой жидкости, то для этой массы существует по крайней мере одна устойчивая фигура равновесия. Далее автор доказал две важные общие теоремы о числе реальных ветвей кривой ] авновесия механической системы, проходящих через точку бифуркации и о смене устойчивости. Частные случаи указанных теорем были установлены [c.32]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...