Полюс однозначной функции

Полусухое трение в механизмах 452 Полюс однозначной функции 199 Полярные координаты 239 Полярные отрезки 260 Полярные планиметры 351 Понтон — Объем 109 Поправки для квадратического интерполирования 36 [c.582]

Полюс однозначной функции 1 — 199 Полякова резцы 5 — 300 Поляра ударная 2 — 524 Поляризаторы 3 — 522 [c.455]

Если действительные части полюсов отрицательны, функция f(t) стремится к нулю при i оо, если полюс с наибольшей действительной частью находится в начале координат, функция f t) стремится к постоянному значению, равному А. Если функция f p) неоднозначна, то рассматривается та ветвь функции, которая однозначна в плоскости, разрезанной вдоль отрицательной [c.584]

Изолированные особые точки однозначной функции делятся на полюсы и существенно особые точки. Точка а называется полюсом, если ряд Лорана имеет конечное число членов, отличных от нуля, с отрицательными показателями. Наибольший отрицательный показатель называется порядком полюса. Полюс первого порядка называется простым. [c.186]

SH-волн, для перехода в выражениях (2.10) к контурному интегрированию. По высказанным выше соображениям здесь также удобно временно ввести в среду малое затухание. При этом как точки ветвления, так и полюса подынтегральных функций в (2.10) смещаются с вещественной оси. Схематическое изображение этих точек на комплексной плоскости + /т] приведено на рис. 31. После введения затухания интегралы в (2.10) становятся однозначными и, в принципе, могут быть найдены численно. Их значения при отсутствии затухания можно получить при соответствующем предельном переходе. [c.91]

Если - (Х) является однозначной функцией к с рядом полюсов, лежащих вдоль отрицательной вещественной оси (возможны и другие полюсы), мы замыкаем контур большой окружностью Г с радиусом R, не проходящей ни через один полюс подынтегральной функции (рис. 39). [c.298]

Разложение этих выражений в ряды типа (8.15) довольно сложно, и поэтому мы рассмотрим только решения, получаемые при помощи теоремы обращения. В данном случае подынтегральные функции являются однозначными функциями Х с простыми полюсами при Х = 0 и Х= — где т=1, 2, 3, —корни ) уравнения [c.318]

Теперь V определяется при помощи теоремы обращения. Подынтегральная функция является однозначной функцией X с простым ) полюсом при Х = 0 и простыми полюсами при л=—ха . где а —корни (все [c.327]

Теорема 1. Предположим, что при некоторых а, 6 С" функция г —у / г) имеет полюс с ненулевым вычетом. Тогда общее решение системы (2.1) не является однозначной функцией комплексного времени. [c.336]

Квадратные корни можно вычислить однозначно, если провести разрезы в комплексной Л -плоскости. При этом когда мы находим угол Брюстера, необходимо иметь в виду, что он соответствует либо нулю, либо полюсу функции Гр(Л ), в зависимости от того, как мы определяем сам коэффициент отражения Гр. Таким образом, если при некотором к величина Гр равна нулю, то определенная другим образом функция Гр(Л ) в этой же точке расходится. Следовательно, нули я полюсы двузначной функции г (к ) совпадают. С физической точки зрения это связано с тем, что угол Брюстера, соответствующий отсутствию отражения , при замене падающей волны на отраженную и обратно может быть, очевидно, обусловлен бесконечным от ликом на исчезающе малое возмущение. Следовательно, мы можем ограничиться рассмотрением лишь случая г (А ) = О, что соответствует погло- [c.232]

Кроме перечисленных классов однозначных функций, имеющих изолированные особые точки — полюсы и существенно особые, в приложениях столь же часто встречаются многозначные функции, которые имеют специфические неизолированные особенности, так называемые точки ветвления. При обходе по некоторому контуру вокруг такой точки функция приобретает значение, отличное от исходного. [c.536]

Шесть величин р, д, г, у, у , у являются в обоих этих случаях однозначными функциями времени, не имеющими других особенностей, кроме полюсов для всех конечных значений независимой переменной. [c.12]

Так как уравнение Д = 0 не имеет ни для какой системы значений постоянных Л, В, С, Жо, у , пяти корней, равных целым положительным числам, то отсюда следует, что, если все три величины А В С, одновременно отличны от нуля, ряды (2) не могут содержать необходимого для представления общей системы интегралов дифференциальных уравнений (1) числа произвольных постоянных. Общие интегралы этих уравнений не могут, следовательно, быть однозначными функциями времени, имеющими лишь полюсы в каждой конечной области переменной I. [c.55]

Пусть/(г)—функция, голоморфная (аналитическая, однозначная и не имеющая полюсов) в 5+ и непрерывная в S++L. Тогда [c.314]

Предложение 2. Пусть функция со (О является аналитической во всей плоскости f, за исключением бесконечно удаленной точки, в которой она имеет полюс первого порядка, и, может быть, конечного числа изолированных точек однозначного характера, расположенных внутри единичного круга I f I < 1 Тогда второе краевое условие (1.2.4) может быть аналитически продолжено во внешность единичного круга I f I > 1 при помощи функционального уравнения (1.2.10). [c.11]

Поскольку матрицы L- (g, X) и XL 4l,X) как функции комплексной переменной X однозначны и аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением только простых полюсов (2.9), то в силу теоремы о вычетах [c.100]

Особые точки однозначного характера делятся на полюсы, при приближении к которым функция стремится к бесконечности, и суш,ественные особенности, при приближении к которым функция не имеет ни конечного, ни бесконечного предела. Примером полюса служит точка [c.60]

В комплексной плоскости a = a+ir функция К (а) имеет четыре точки ветвления а = i, а = ip и два полюса а = г 7о (полюсы Релея). Для однозначного представления функции К (а) в комплексной плоскости а проводятся конечные разрезы, соединяющие точки ветвления а = г,а = г/3и a=-i, a=-i(3, или полубесконечные разрезы, уходящие от точек ветвления а = г, а = г(5 па +гоо вдоль положительной части (Ьпа 0) мнимой оси и от точек ветвления а = -г, а = -г/3 до -гоо вдоль отрицательной части (Im а 0) мнимой оси. В разрезанной таким образом комплексной плоскости а с выколотыми точками полюсов Релея а = функция К а) является аналитической [4] включая полосу та < (3, (3 < < щ. [c.33]

При вычислении квадратуры в (29) делается замена переменной -ш = 8. В комплексной плоскости 3 = и + iv подынтегральная функция имеет особые точки в нуле (в = 0) — полюс первого порядка, две точки ветвления алгебраического типа при 8 = -/3 и 8 = -1. Для однозначного представления подынтегральной функции в (24) в комплексной плоскости 3 проводятся разрезы от 5 = -/3 и 5 = -1 до -оо вдоль отрицательной части вещественной оси (Ке з < 0), с последующим выбором ветвей функций //3 + 8 и VI + 5 при условии /1 = 1. Вычисление интеграла в [c.35]

Рассмотрим простой пример. Пусть 1 = 1 и = 8п(2Ка /7г, х), где К — полный эллиптический интеграл с модулем х > 0. Так как / имеет простые полюсы, то применимы теоремы 1 и 2. Следовательно, общее решение многозначно, и уравнения движения не имеют однозначного полиномиального интеграла. Интересно отметить, что в вещественной области имеется однозначный полиномиальный интеграл—интеграл энергии, однако в комплексном фазовом пространстве эта функция имеет логарифмические особые точки. Задача о несуществовании полиномиальных интегралов уравнений (2.1) при вещественных значениях х значительно сложнее для потенциальных полей с потенциалом в виде тригонометрического многочлена она решена в 5 гл. IV. [c.336]

Рассмотрим случай, когда элементы матрицы А 1) — однозначные двоякопериодические мероморфные функции времени I е е С, имеющие внутри параллелограмма периодов только один полюс. Можно считать, что А Ь)—мероморфная функция на комплексном торе X, полученном из комплексной плоскости С факто- [c.365]

Если полюс полярной системы координат лежит внутри исследуемого тела, то все эти функции оказываются многозначными и ими пользоваться нельзя однако в односвязной области эти компоненты однозначны, если полюс координатной системы помещен вне упругого тела или на границе его. [c.211]

Отсюда вытекают ограничения на теорему разложения. Функция Р (з) должна быть однозначной и иметь в качестве особых точек полюсы, лежаш,ие слева от прямой а. Если эти условия не выполняются, то при- [c.504]

Отметим, что при помощи равенств (29.24)—(29.25) устанавливается непрерывность и однозначность производных 0 и Е по всей плоскости переменного за исключением точек 0 и 0, причем произведение этих функций на ( — to) t — о) °ри to или t to является величиной ограниченной. Следовательно, 0 и В в точках о и имеют простые полюсы. На бесконечности обе функции обращаются в нуль. Теми же свойствами обладают производные и-го порядка, причем порядок полюсов в о н равен п. [c.263]

Положительные числа — Действия 63 Полюс однозначной функции 199 Полярные координаты 239 Полярные отрезки 260 Понтоны—Объем 109 Поправки для квадрагичес ого интерполирования 36 —— интерполяционные — Вычисление 32 [c.559]

Чтобы получить комплексную скорость, заметим, что однозначная функция, принимающая действительные значения на границе, имеющая простой полюс в начале координат и принимающая значения 1 в углах. Такой же функцией является функция (йзпм) , и поэтому, разрешая уравнение + )/2 = (йзпм) , получаем [c.138]

Исследуется вопрос об однозначности квантовой теории поля с обрезающим фактором и устанавливается, что даже конечные (перенормированные) выражения зависят от вида обрезающего фактора. Приведены примеры, в которых перенормированная функция Грина бозона не имеет полюса при конечных импульсах, а критический импульс в перенормировке заряда может быть сделан сколь угодно большим. В этой связи рассматриваются трудности с обращением заряда в нуль и с наличием полюса у функции Г рина, а также вопрос об области применимости мезонной теории. [c.13]

Дивизор однозначной функции (х, Q) на конечной части Г равен (1Чх) — й1 0). Выше было показано, что дивизор Цх, у, пи)) на конечной части Г равен йЧх)-с1Ч0). По (33), ( с, О, ш) = (1+0(Г ))ехр(ау с) при ЙУ- - / на Г, Т ( с, О, ш) = в (х, ю)ехр(а , х) при хю к , кф , и(х, ш) не имеет нулей и полюсов для ш вблизи При (2->- / , Й (С)—Е = 0(С" ) для кф], йу а)-Ц 1 + 0 1 % Й((2) = [/] + 0(Г ). Поэтому при РНх, Q) = (l+0(r ))exp(aД ). При кф], pJ x, 0) = Ы х, 0) хр а %х), где h k x, О) не имеет нулей и полюсов вблизи к. Следовательно, функция Ф х, О, Q) pi x, Q) однозначна на Г, не имеет особых точек и нулей для (2 Г и при всех дс К равна единице в точкеС2 = / .ПоэтомуР(д( , Р)= (д( ,0, (2),и -/(л , О, О) задается формулой (46). [c.351]

Что касается самой Ковалевской [9], то она, исходя из факта, что все до нее вполне изученные гироскопические случаи (т. е. движение Пуансо и гироскоп Лагранжа) решаются в т. н. мероморф-ных (т. е. представляющих непосредственное обобщение рациональных дробей) однозначных функциях времени и в виду совершенства, достигнутого теорией таких функций, к которым причисляются все более сложные тригонометрические вроде тангенса, эллиптические функции и т. п., поставила себе целью найти все типы тяжелых гироскопов, для которых общее, т. е. при всяких системах начальных условий, решение задачи об их движении возможно в подобных (хотя бы и не периодических, как до сих пор) функциях. Для этой цели исследовательница применила собственно метод неопределенных коэффициентов, но к разложениям около так называемых особых точек, т. е. здесь таких значений I, где обычные разложения в ряды Тэйлора неприменимы (в случае мероморфности непременно так называемых полюсов). Она справедливо полагала, что разыскания в области особых точек (хотя для задачи динамики обычно и обладающих комплексными аффиксами, ибо для действительных I решения тут вообще однозначны и непрерывны) при всей их, так сказать, отвлеченности могут дать для характеристики предполагаемого решения гораздо больше, чем рассмотрение тэйлоровских разложений около обыкновенных точек с их сильно нивелирующими 4 [c.64]

С. Ковалевская поставила перед собою задачу отыскать все случаи, когда общее решение системы уравнений (1) выражается однозначными функциями t, не имеющими отугих особенностей, кроме полюсов для всех конечных значений t. Тогда вблизи каждой обыкновенной точки решения системы будут представляться рядами Тейлора, вблизи полюса —рядами Лорана с конечным числом членов, содержащих отрицательные степени разности о- (Отметим, что особые точки системы (1) являются подвижными точками, т. е. зависяш 1ми от начальных условий.) Исследование привело Ковалевскую к следующей теореме. [c.159]

Найденные функции K ip) удовлетворяют всем условиям задачи, но входящие в них функции N p) пока неизвестны. Разбиение функции Nip) на множители (6.9) (факторизация) производится следующим образом [183]. Рассмотрим поведение nNip) на вещественной оси р. При ко- 0 точка ветвления р = ко стремится к вещественной оси сверху, а точка ветвления р = — кц — снизу. Поэтому (ко — P У при р> ко и р< —ко переходит в г —/со) . Таким образом, Nip) не имеет на вещественной оси нулей и полюсов, а nN p) на этой оси — однозначная функция. При / -> ooiV(p)->lH можно выбрать ветвь логарифма, для которой lnJV(/ )->0 при р оо. Построим теперь интегралы типа Копш [c.210]

Отсюда вытекает, что во всякой точке, кроме S = О и = оо ), величины Т б), и будут непрерывны и однозначны тогда и только тогда, когда комплексная функция напряжений аналитична. В полюсах географической системы координат, т. е. при С = О ы С=оо, эти величины будут удовлетворять условиям ограниченности лишь при дополнительном требо- [c.184]

Рассматриваемые на комплексной плоскости I, подынтегральные выражения в (2.10) имеют четыре точки ветвления ( 1 + ik i), ( 2 + ikz), k2 > О, kf > 0, ki p k, I 1 > fo и два полюса в точках Iff — dz ka + ikj . формирование области однозначности подынтегральной функции связано с проведением разрезов в плоскости и образованием четырехлистной римановой поверхности. При выполнении разрезов и выборе нужного листа используются приемы и способы, описанные в 1 данной главы. На рис. 31 показан [c.91]

Функция ш г) однозначна и регулярна всюду, кроме 2 = 0 и 2= со, где она имеет полюсы первого порядка. Однако из обычного рассмотрения функции в оо очевидно, что как ш(2), так и обратная ей функция г ш) регулярны в со. Производная ш (г) = 1 —1/2 исчезает при2= 1, когда точки разветвления функции да = 2. Обратная функция [c.164]

Положение существенно меняется, как показывают приведенные примеры, при использовании нестолообразных ОФ. С одной стороны, появление полюса и обращение заряда в нуль перестают быть фактами, обусловленными друг другом. Приведены конкретные примеры ОФ, при которых /-функция вообще не имеет полюса ни при каком конечном импульсе. С другой стороны, величина критического импульса, при котором перенормированный заряд становится малым, также, по существу, не определяется однозначно из теории Ландау, Абрикосова и Халатникова [2]. Поэтому, например, выводы о заведомой неприменимости мезодинамики уже при энергиях — Мс , которые нередко делаются на основании теории [2] и базируются на том, что при столообразном ОФ критический импульс — Мс, не могут считаться вполне убедительными ). [c.19]

Пусть теперь I — контур (замкнутый путь) на плоскости комплексного времени t. Будем говорить, что аналитическая вектор-функция неоднозначна вдоль I, если она имеет ненулевое прира-шение (скачок) после обхода контура 7, Предположим, что все решения невозмушенной системы (1.2) однозначны на плоскости С = i . Тогда теорема Пуанкаре позволяет эффективно исследовать задачу о ветвлении решений системы (1.2) при малых ненулевых значениях параметра е. Все сводится к вычислению интегралов вида (1.4) по замкнутым контурам. В приложениях подынтегральные функции обычно являются мероморфными. Поэтому, согласно теореме Коши, задача о ветвлении решений сводится, по сушеству, к вопросу о наличии полюсов с ненулевыми вычетами, [c.330]

Здесь (jJi, 0J2 — частоты, с — произвольная постоянная. Пусть при у = у° частота си2 отлична от нуля и хотя бы одна из функций / или д имеет простой полюс. Тогда при надлежащем выборе постоянной с функция Ф также имеет простой полюс и, Следовательно, функция yi t,s) ветвится при малых значениях 0. Если, кроме того, невозмущенная задача невырождена, то (по теореме 1) уравнения Гамильтона (1,5) не допускают дополнительного однозначного интеграла. [c.333]

Если тело динамически симметрично, то /, д, h — целые функции, поэтому теорема 1 непосредственно не применима. Однако если среди главных моментов инерции нет равных, то функции f, д и h — эллиптические с простыми полюсами. Следовательно, в случае несимметричного тяжелого твердого тела ветвление решений в плоскости комплексного времени при малых значениях параметра Пуанкаре приводит к несуществованию дополнительных однозначных интегралов. Этот результат, полученный впервые в [79], дает положительный ответ в задаче Пенлеве — Голубева. [c.333]

Таким образом, комплексный потенциал имеет на бесконечности две сингулярные компоненты — полюс и логарифм. Постоянный множитель перед логарифмическим членом должен быть чисто мнимым, так как функция тока непрерывна и однозначна на замкнутом контуре, охватывающем профиль (это следует из безотрывности обтекания). Таким образом, при обходе профиля по этому контуру потенциал скорости получает конечное приращение (не зависящее от выбора контура). Если считать, что обе сингулярные компоненты заданы (первая определяется скоростью набегающего потока), то регулярная компонента комплексного потенциала — непрерывная в замкнутой внешности профиля аналитическая функция — определяется однозначно условием на профиле. Итак, безотрывное обтекание профиля несжимаемой жидкостью существует и единственно, если задан коэффициент Г перед логарифмическим членом в (1) или условие, позволяющее его определить единственным образом. [c.133]

Существующие математические методы определения функции плотного размещения распространяются на разделяющиеся фигуры. Приведем некоторые основные понятия, определяющие функцию плотного размещения плоских фигур. Под функцией плотного размещения / /(6) взаимно ориентированных фигур 5,- и 5/ понимается зависимость расстояния между полюсами О,-, О/ фигур от угла 0 их поворота при условии, что. фигуры касаются, но не пересекаются и не накладываются друг на друга. При О 0 2л функция непрерывна и однозначна (для неразделяю-щихся фигур функция / /(0) многозначна). В общем случае / /(0)= (0+2л) Г(/(0) =Ь/(0+я)- [c.97]

Розенхайном и Кенигсбергером теорией тэта-функций двух переменных. Следствием такой линеаризации является замечательный факт, что общее решение системы продолжается до однозначных голоморфных функций в комплексную область времени, т. е. в качестве особенностей решение имеет только полюса. [c.82]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...