Параллелограмм периодов

Рассмотрим неограниченную упругую плоскость, ослабленную двоякопериодической системой разрезов, параллельных действительной оси. Предположим, что основной параллелограмм периодов имеет форму ромба и основные периоды й1 и (Оа — комплексно сопряженные числа. Внутри параллелограмма периодов имеется два разреза одинаковой длины, расположенные вдоль диагонали симметрично относительно центра ромба (рис. 22.1). Пусть bi, йг, bi — координаты концов разреза, причем [c.182]

Компоненты напряжений внутри основного параллелограмма периодов определим с помощью функций Ф(2) и Q(z) [187], удовлетворяющих соотношениям (2.5), (2.50. [c.182]

Здесь L — линия скачков в основном параллелограмме периодов, состоящая из отрезков aib и а Ь действительной оси. [c.182]

II не имеет полюсов внутри параллелограмма периодов с разрезом L. Таким решением будет [c.185]

Применение условия разрушения (3.9) дает возможность связать длину трещины и приложенные нагрузки. Расчеты по формуле (22.27) были произведены для случая bi = a (внутри параллелограмма периодов расположен один разрез см. рис. 22.2). На рис. 22.3 показана зависимость величины р = р 2па/Кс от [c.190]

Используя в основном параллелограмме периодов следующие разло- ния [c.133]

Рассмотрим однонаправленный волокнистый композит, имеющий периодическую структуру и сечение поперечной плоскостью, показанное на рис. 45. Выделенный на этом рисунке параллелограмм называется параллелограммом периодов. Радиус каждого волокна / , координаты осей волокон [c.195]

Интегральные уравнения задачи [206]. Пусть бесконечная упругая изотропная плоскость ослаблена конгруэнтными группами криволинейных разрезов. В основном параллелограмме периодов имеется N гладких криволинейных разрезов (/г = 1, 2,. .., N), отнесенных к локальным системам координат (см. рис. 7). [c.105]

Рассмотрим случай, когда элементы матрицы А 1) — однозначные двоякопериодические мероморфные функции времени I е е С, имеющие внутри параллелограмма периодов только один полюс. Можно считать, что А Ь)—мероморфная функция на комплексном торе X, полученном из комплексной плоскости С факто- [c.365]

Рассмотрим случай, когда элементы матрицы А (t) — однозначные двоякопериодические мероморфные функции времени /бС, имеющие внутри параллелограмма периодов только один полюс. Можно считать, что А /) — мероморфная функция на комплексном торе X, полученном из комплексной плоскости С факторизацией по решетке периодов. Рассмотрим два симплектических отображения g и д за периоды матрицы A t). Предположим, что их собственные значения удовлетворяют условиям теоремы 18. Тогда для того чтобы уравнение (31) имело п независимых аналитических интегралов, необходимо, чтобы g н д коммутировали. Следовательно, обходу особой точки (элементу gg g g G) будет отвечать тождественное отображение пространства [c.262]

На плоскости 2 можно выделить область, не содержащую двух конгруэнтных точек, такую, что для любой внешней точки внутри области найдется ей конгруэнтная точка. Легко видеть, что за такую область можно взять, например, параллелограмм, образованный основными периодами Ю] и сог (рис. 0.1). Этот параллелограмм называется параллелограммом периодов. [c.15]

Условимся причислять к параллелограмму периодов стороны ОА и ОВ без вершин А и В и не причислять остальную часть границы. Тогда параллелограмм периодов не будет содержать никакой пары двух конгруэнтных точек. [c.15]

Преобразование (1.19) переводит параллелограмм периодов в новый параллелограмм периодов, полученный из старого путем параллельного переноса на величину Р. Таким образом, всю плоскость 2 можно покрыть указанными параллелограммами и в каждом из них эллиптическая функция будет принимать одни и те же значения в конгруэнтных точках. [c.15]

Су.мма вычетов эллиптической функции /(2) относительно всех ее полюсов, принадлежащих параллелограмму периодов, равна нулю. [c.15]

Рис. 0.1. Основной параллелограмм периодов.

Не существует эллиптической функции первого порядка, т. е. не существует эллиптической функции, имеющей в параллелограмме периодов один полюс первого порядка. Это утверждение следует из предыдущего. [c.16]

Эллиптическая функция в параллелограмме периодов принимает каждое свое значение а одинаковое число раз, равное порядку эллиптической функции. [c.16]

Величины ао и ро — вещественны. Это следует из (2.10) и из того обстоятельства, что 6, и у1 — вещественные величины ). Таким образом, ао и Ро связаны с постоянными аг и Рг условием равенства нулю главного вектора всех сил вдоль дуги АВ и представляют, по существу, некоторые средние напряжения в параллелограмме периодов, изменяющиеся в зависимости от относительного размера области. [c.44]

Выше было указано, что представления функций Ф(г ) и 4 (2) в форме (2.3) определяют класс задач с двоякопериодическим распределением напряжений в решетке. При этом постоянные а2к+2 и 2к+2у Входящие в ряды (2.3), произвольны и зависят лишь от граничных условий на кромках отверстий, а постоянными ао и Ро мы можем, вообще говоря, распорядиться по своему усмотрению. В рассмотренных выше задачах ао и Ро были найдены из некоторых статических условий в пределах параллелограмма периодов, являющихся аналогом условий на бесконечности для плоскости с конечным числом отверстий. Эти условия однородны по своей структуре. [c.88]

Здесь 5 — площадь параллелограмма периодов. [c.137]

Рассмотрим, как обычно, симметричную относительно координатных осей хну решетку. Будем считать, что она изгибается в пределах каждого параллелограмма периодов средними моментами Mj = Ml, Му == М2 и, кроме того, пусть Нху = 0. Согласно формулам (2.2.3) комплексные потенциалы Ф и Т можно представить в виде [c.169]

Здесь 5 — площадь параллелограмма периодов, коэффициенты а> и р2 должны быть определены из соответствующей [c.172]

В формуле (1.16) 5—площадь параллелограмма периодов, Я2 — соответствует двоякопериодической задаче изгиба решетки средними моментами М = М2 = О. [c.173]

Постоянные, фигурирующие в (1.45), являются коэффициентами Фурье нагрузки q x, у) в области, занятой параллелограммом периодов. [c.238]

В случае опирания пластины на колонны В. И. Блох принимает, что реактивные усилия на опорных площадках распределены равномерно. В этом случае определение коэффициентов Фурье функции д х, у) сводится к вычислению интегралов по области, заключенной между контуром основного параллелограмма периодов и, контуром опорной площадки. Автор проводит конкретные вычисления для опорных площадок в форме круга и в форме параллелограмма. В работах [4.3, 4.4] рассматривается изгиб толстой плиты. Следует отметить, что ряды типа [c.238]

Зпнсь L — линия скачков и основном параллелограмме периодов, состоян ая из отрезков Я] /, и действительной осп. [c.176]

Легко видеть, что Xoiz) — четная эллиптическая функция, имеющая в параллелограмме периодов два простых нуля в точках Ai и А2. Для предельных значений Xoiz) па контуре L справедливо равенство [c.184]

В США использовался иной подход к решению той же задачи. При помощи соображений симметрии задача о композите с регулярной укладкой волокон сводится к задаче о четырехгранной или шестигранной призме, содержащей одно волокно, т. е. к так называемому основному параллелограмму периодов, а затем задача о призме решается каким-либо численным методом. Этот способ впервые применили, по-видимому, Геррман и Пистер [82, 83]. Оки рассмотрели прямоугольную укладку волокон с круговыми поперечными сечениями и при помощи ряда преобразований решили получившуюся задачу для основного параллелограмма периодов. [c.85]

Оптические коэффициенты напряжений 497 Ортотропные матералы 352, 359 Оси материальной симметрии 109 Основной параллелограмм периодов 85 Откол 386 [c.555]

Двоякопериодическая система прямолинейных трещин. Рассмотрим двоякопериодическую задачу для неограниченной упругой плоскости, когда в параллелограмме периодов находится одна произвольно ориентированная прямолинейная трещина длиной 21. Пусть центры трещин находятся в вершинах параллелограммов периодов, т. е. в точках Р,пп. Введем локальную систему (aTi, у ) с началом в точке Pqo и осью Xj, направленной по линии трещины и образующей угол а, = ас осью х. Будем считать, что берега трещины загружены самоуравновешенной нагрузкой pi (Xj) (q (A t) == 0). Тогда из системы (III.162) получаем одно сингулярное интег- [c.109]

Двоякопериодическая система трещин [207], Пусть бесконечная плоскость ослаблена двоякопериоднческой системой криволинейных разрезов, когда в основном параллелограмме периодов имеется N разрезов L k = , 2, N), отнесенных к локальным координатам Xfe и г/ (см. рис. 7). При этом главный вектор суммарных усилий, действующих на всех разрезах L , должен равняться нулю, что является необходимым условием существования решения двоякопериодической задачи. [c.204]

Двоякопериодпческая система термоизолированных трещин [161]. Рассмотрим неограниченную упругую плоскость, ослабленную двоякопериодической системой прямолинейных разрезов длиной 21. Центры трещин находятся в вершинах параллелограммов периодов, т. е. в точках Р,пп тщ + пщ (/п, п == О, 1, 2,. ..), где (Oi и СО2 — основные периоды. Разрезы образуют угол а с осью Ох. Будем считать, что плоскость без трещин находится в стационарном температурном поле Tq (л , у) = 4 2 ), где функция to (2, z) квазипериодическая с периодами oi и щ, т. е. Iq (z + ov, [c.240]

Двоякопериодическая система криволинейньтх разрезов. Пусть в основном параллелограмме периодов имеется N разрезов Lf (/г = 1, 2, N), на которых заданы граничные условия (Vni.39) и (Vni.40). Будем считать, что главный вектор на каждом из разрезов Lk и суммарный главный момент на всех разрезах равны нулю. В случае двоякопериодической задачи, когда система разрезов и нагрузок повторяется в, каждом параллелограмме периодов, для потенциалов Ф (г) и (г) получим интегральные представления [210] [c.266]

Из условия отсутствия масштабного эффекта и формулы (5.16) вытекает, что оптимальная укладка нитей в однонаправленном и волокнистом композите дается решением следующей чисто геометрической задачи как разбросать в плоскости круга заданного радиуса Tq, чтобы величина наименьшего расстояния между их центрами была максимальной при заданной доле Vf, т.е. при заданном отношении площади всех кругов к площади той области, в которой они разбросаны. Очевидно, что когда Го гораздо меньше поперечных размеров образца, можно считать, что круги образуют в плоскости двояко-периодическую решетку с периодом d, и задача сводится к следующей найти максимум по наименьшей из двух величин d — 2го или sin pse ( р/2) — 2го, при условии, что ty = = onst (здесь dn — длина стороны и острый угол в равностороннем параллелограмме периодов с центром в центре круга). Так как [c.71]

Отметим, что при n = 2 и n = 3 общее решение системы (9.21) ыражается через эллиптические функции времени, причем в первом случае в параллелограмме периодов у функции x t) имеется единственный полюс второго порядка, а во втором — два полюса первого порядка, в которых вычеты отличаются знаками. Поэтому ввиду периодичности при п = 2 имеется лишь одно семейство мероморфных решений, а при г = 3 таких семейств ровно два. [c.119]

Пусть 2u), и 2m., (отношение С0з/<В1 — мнимо)—основные период . ф-ции / (г), тогда / (г 2(0im -f 2(йзп) — f (z) при m, n = и, l, 2,. .. В силу этого достаточно изучить t г) в к.-л. ое параллелограмме периодов J (рис. 3) к Р, кроме его впутр. точек, причисляются точки сторон ОА и ОВ, исключая вершины А и В. Имеют место след, теоремы Лиувилля сумма, разность, произведение и частное Э. ф. есть Э. ф. производная Э. ф. есть Э. ф. если Э. ф. onst, то число N ее по ]юсов в I (с учетом кратности полюсов) S 2 ур-нне f(z) = (1 нри любом а имеет N корней в / суммы корней для двух разных а могут ра,зличаться только на нек-рый период ii (= 2 7ПШ, -f- 2п(Из). [c.531]

Для доказательства этого утверждения достаточно вычислить интеграл от (г) по контуру параллелограмма периодов, учитывая, что значения /(2) на противоположных сторонах паралле-.пограмма равны, [c.15]

Для локазательства неравенства (5.2) предположим временно, что г принадлежит основному параллелограмму периодов Яо (рис. 0.4). Так как точки Р = расположе 1Ы на периферии параллелограммов П, По и т. д., получим, суммируя по параллелограммам П, . /7д,. ... соответственно (к= I, 2,. ..) [c.30]

Найти решение системы (2.5) в классе двоякопернодических (для Рг) и квазипериодических (T i) функций, удовлетворяющих граничным условиям (3.2) на о, о, условию в) и статическим условиям в пределах параллелограмма периодов в смысле пункта б). [c.195]

Несколько более общая задача об изгибе пластины, опирающейся на систему колонн, центры которых расположены в вершинах параллелограммов периодов (tlУl = 2 , tlУ2 = 2т)е ), рассматривается в ряде работ В. И. Блоха [4.2—4.6]. Автор переводит бигармонический оператор в прямолинейные косоугольные координаты X и у с углом раствора а. Тогда уравнение [c.237]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...