Однозначные функции — Особые точки

Ряд сходится в большой круг с центром в точке 2о в этом круге функция остается регулярной. Аналитическая функция, однозначная вблизи изолированной особой точки 2о, может также быть разложена относительно этой точки в ряд Лорана [c.139]

При вычислении квадратуры в (29) делается замена переменной -ш = 8. В комплексной плоскости 3 = и + iv подынтегральная функция имеет особые точки в нуле (в = 0) — полюс первого порядка, две точки ветвления алгебраического типа при 8 = -/3 и 8 = -1. Для однозначного представления подынтегральной функции в (24) в комплексной плоскости 3 проводятся разрезы от 5 = -/3 и 5 = -1 до -оо вдоль отрицательной части вещественной оси (Ке з < 0), с последующим выбором ветвей функций //3 + 8 и VI + 5 при условии /1 = 1. Вычисление интеграла в [c.35]

Правые части этих уравнений будем считать однозначными и конечными функциями указанных аргументов (за исключением, быть может, конечного числа особых точек). [c.322]

Функция G(X) является однозначной функцией комплексной переменной X во всей плоскости. Особые точки могут находиться только на действите.пьной оси. [c.107]

Другими словами, росток диффеоморфизма в неподвижной точке является ростком преобразования фазового потока за время 1 единственного С -гладкого векторного поля. Оба возникающие вблизи неподвижных точек поля разносятся диффеоморфизмом на весь интервал между особыми точками. Фактор-пространство этого интервала по действию диффеоморфизма диффеоморфно окружности. На этой окружности возникают два векторных поля без особых точек, для которых окружность — цикл с периодом 1. Поэтому на окружности возникают две карты, определенные однозначно с точностью до сдвига времена движения, соответствующие каждому из полей. Функция пе- [c.75]

Теорема остается справедливой и в том случае, когда силовая функция не однозначна, но при условии, что движущаяся жидкая поверхность не встречает особой точки этой функции. Действительно, силовая функция однозначна в окрестности всякой не особой точки. Поэтому теорема применима к элементарному перемещению каждой достаточно малой части жидкой поверхности. Складывая эти части поверхности и элементарные перемещения, убеждаемся в том, что теорема применима ко всей поверхности и к любому конечному перемещению ее. [c.311]

Так как путь интегрирования охватывает здесь линию между точками разветвления, то непосредственное применение теории вычетов оказывается невозможным. Однако его можно рассматривать как путь, окружающий точку оо, и в соответствии с этим нужно будет изменить направление интегрирования на противоположное (т. е. по ходу часовой стрелки) ). Интегрируемая функция будет тогда однозначной функцией, заданной в области вне контура, охватывающего точки г и Гг, и мы сможем применить теорию вычетов. В этой области будут лишь две особые [c.331]

Обобщенные координаты 171, q2,...,q не обязательно должны иметь геометрический смысл. Необходимо, однако, чтобы функции (1.2.8) были ограничены, однозначны, непрерывны и дифференцируемы и чтобы якобиан по крайней мере одной комбинации из п функций был отличен от нуля. Эти условия могут нарушаться в некоторых особых точках, которые нужно исключить из исследования. Например, преобразование (1.2.3) от прямоугольных к сферическим координатам удовлетворяет общим условиям регулярности, однако следует иметь в виду, что при г = О и 0 =0 якобиан преобразования обращается в нуль. [c.33]

Оба канонических интеграла будут содержать в этой точке п и соответственно —(п + 1) в показателе степени. Из положительности п следует, что для нашей цели пригоден лишь первый из этих интегралов, который может быть представлен в виде степенного ряда, начинающегося с г", поскольку он соответствует большему значению степени п. (Второй, не интересующий нас интеграл, соответствующий меньшему значению корня определяющего уравнения, может при разложении содержать логарифмический член, поскольку разность — (п + 1) — п целочисленна.) Так как ближайшая особая точка лежит в бесконечности, ряд, соответствующий взятому нами первому интегралу, везде сходится и представляет собой целую трансцендентную функцию. Мы установили, таким образом, что искомое решение представляет собой определенную с точностью до несущественного постоянного множителя однозначную целую трансцендентную функцию, соответствующую при г = О показателю степени п. [c.670]

Если однозначная функция/(2) аналитична в окрестности точки а, за исключением самой этой точки, точка а называется изолированной особой точкой. В окрестности такой точки/"(г) разлагается в ряд Лорана, сходящийся в некотором круге с центром а, исключая самую точку а. Совокупность отрицательных степеней этого ряда называется его главной частью. [c.186]

Изолированные особые точки однозначной функции делятся на полюсы и существенно особые точки. Точка а называется полюсом, если ряд Лорана имеет конечное число членов, отличных от нуля, с отрицательными показателями. Наибольший отрицательный показатель называется порядком полюса. Полюс первого порядка называется простым. [c.186]

ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНОЙ ФУНКЦИИ [c.199]

Ограниченные величины 134 Однозначные функции — Особые точки 199 [c.579]

Предполагаем, что функция ф (х, у) непрерывна и однозначна, за исключением отдельных особых точек. Решение методом изоклин применимо ко всем значениям х [c.48]

Таким образом, необходимым признаком того, что функция w(f) имеет вид (1.2.9), является аналитичность правой части функционального уравнения (1.2.10) во внешности единичного круга I f I > 1> за исключением конечного числа особых точек однозначного характера. Этот признак будет и достаточным, если особенности правой и левой частей функционального уравнения (1.2.10) можно выбрать так, чтобы они совпадали. Этот признак позволяет иногда весьма просто находить замкнутые решения краевой задачи (1.2.10) и в том случае, когда неизвестно, аналитична ли функция р2 [w(0, w(l/f)] при I f I > 1- Для этого следует формально подставить выражения (1.2.9) и (1.2,11) для функций со(0 и 5(l/f) в функциональное уравнение (1.2.10), потребовать аналитичности функции 2 [с (0. (1/0] почти всюду в I П > 1 и приравнять особенности левой и правой частей функционального уравнения (1.2.10). [c.11]

Особые точки. И в теории, и в приложениях весьма важную роль играют точки, в которых нарушается аналитичность (или /г-аналитичность) функций такие точки называются особыми. Приведем примеры изолированных особых точек аналитических функций —это простейшие особые точки, которые обладают окрестностями, свободными от других особенностей функции. Такие точки бывают двух родов однозначного и многозначного характера. [c.60]

Особые точки однозначного характера делятся на полюсы, при приближении к которым функция стремится к бесконечности, и суш,ественные особенности, при приближении к которым функция не имеет ни конечного, ни бесконечного предела. Примером полюса служит точка [c.60]

Особые точки многозначного характера называются еще точками ветвления. Они характеризуются тем, что в их окрестности нельзя выделить однозначных и непрерывных ветвей рассматриваемой функции. Примером такой особенности является точка 2 = 0 для функций rt [c.60]

Другой вывод интегральной теоремы Коши известен как теорема о вычете. Коэффициент а 1 при (г—а) в разложении аналитической функции в ряд Лорана называется вычетом функции в точке г = а. Теорема читается так если С есть простая замкнутая кривая и функция (г) однозначна и регулярна на кривой С и внутри нее, за исключением конечного числа особых точек внутри кривой, в которых вычеты составляют Яи Яп, то [c.144]

Геометрическое представление движения в пространстве 2к измерений впервые предложил американский физик Д. Гиббс (1839—1903), который и ввел понятие фазового пространства, считая, что ряд являются ортогональными координатами 2й-мерного евклидова пространства. Использование фазового пространства вносит ряд преимуществ при изучении движения механических систем. Так, например, на многие вопросы механики нельзя дать удовлетворительный ответ, рассматривая одно частное решение системы, соответствующее определенным начальным данным. Необходимо знать все множество траекторий. Движение может начинаться из любой точки /г-мерного пространства в произвольном направлении. В фазовом пространстве задание одной точки Р однозначно определяет всю траекторию. Для полного решения канонических уравнений Гамильтона необходимо знать величины <7,- и р как функции времени 1 я 2к постоянных интегрирования, которые можно интерпретировать как значения 2к координат фазового пространства в момент = 0. Рассматривая 2к координат как различные измерения в фазовом пространстве, можно изобразить полное решение канонических уравнений в упорядоченном виде без пересечений в виде бесконечного множества кривых, заполняющих 2 - -1-мерное пространство (пересечение кривых означало бы, что в одной и той же точке возможны две касательные к кривой, а канонические уравнения при отсутствии особых точек определяют единственную касательную). [c.468]

I выполняются все ограничения, которые мы накладывали в теории, и функция V однозначна в области внутри контура типа II эти ограничения не выполняются в начале координат и функция V неоднозначна. Могло бы показаться, что существует такой выход из положения построить круг В сколь угодно малого радиуса с центром в начале координат, и рассматривать только область вне В, исключив, таким образом, особую точку О, — но эта область вне В не будет односвязной замкнутый контур, охватывающий круг В, нельзя стянуть в точку [c.203]

Очевидно, что одним из однозначных интегралов является функция Ж. Подчеркнем, что не исключается наличие особых точек функции при комплексных значениях переменных < 1, < 2- [c.110]

Рассмотрим простой пример. Пусть 1 = 1 и = 8п(2Ка /7г, х), где К — полный эллиптический интеграл с модулем х > 0. Так как / имеет простые полюсы, то применимы теоремы 1 и 2. Следовательно, общее решение многозначно, и уравнения движения не имеют однозначного полиномиального интеграла. Интересно отметить, что в вещественной области имеется однозначный полиномиальный интеграл—интеграл энергии, однако в комплексном фазовом пространстве эта функция имеет логарифмические особые точки. Задача о несуществовании полиномиальных интегралов уравнений (2.1) при вещественных значениях х значительно сложнее для потенциальных полей с потенциалом в виде тригонометрического многочлена она решена в 5 гл. IV. [c.336]

Во всем дальнейшем, если противное не оговорено особо, мы будем считать, что и, v, w однозначные функции, имеющие внутри области, занятой телом, непрерывные производные до третьего порядка включительно. При этих условиях компоненты деформации и напряжения будут однозначными и непрерывными функциями, имеющими непрерывные производные до второго порядка внутри той же области. [c.71]

Функции ф, г]), однозначные в окрестности изолированной особой точки могут быть представлены рядами Лорана [c.199]

До сих пор не было сделано никакого предположения относительно природы материала, образующего упругое тело, кроме предположения о его непрерывности. Теперь мы сделаем дополнительное предположение, что природа материала тела такова, что координаты х , произвольной точки Р в состоянии б" являются однозначными функциями времени I и координат a , х , х положения соответствующей точки Р в исходном состоянии Допустим также, что эти функции, за исключением, быть может, некоторых особых точек, линий или поверхностей, обладают непрерывными производными по х- , х , х требуемого порядка. Пусть [c.11]

Однозначные функции — Особые точки J —199 [c.446]

Если все особые точки будут внутри контура, а подынтегральная функция на контуре регулярна и однозначна, то интеграл по замкнутому контуру С рац ен сумме вычетов относительно всех особых точек внутри контура [c.504]

Отсюда вытекают ограничения на теорему разложения. Функция Р (з) должна быть однозначной и иметь в качестве особых точек полюсы, лежаш,ие слева от прямой а. Если эти условия не выполняются, то при- [c.504]

Итак, по характеру особых точек и их расположению в комплексной плоскости однозначные аналитические функции, имеющие изолированные особые точки, могут быть подразделены на следующие классы [c.535]

Обобщение Ляпунова состоит в следующем. Ведь функция может быть однозначной, имея другие особые точки, кроме полюсов (существенно особые). Таких решений Ковалевская не рассматривала. По теореме Ляпунова такие решения не могут быть однозначными на всей плоскости t, так как оказывается, что во всех случаях, кроме четырех, р, q, г, у, у, у при надлежащем выборе началт ных значений наверное будут многозначными. [c.159]

И е (особые точки в плоскости Vip, в которой ое является сепаратрисой), нужно исследовать поведение решения в малой окрестности начальной точки о. Пример такого аналитического исследования, основанного на линеаризацпи системы дифференциальных уравнений в малой окрестности точки о и позволяющего выйти па особой точки о вдоль искомой сепаратрисы, дан в 3—5 и 10 гл. G применительно к исследованию структуры ударных волн в жидкости с пузырьками газа. Интегральную кривую ое можно найти и численно с помощью пристрелки по двум параметрам по следующей схеме. Так как л не входит в правые части дифференциальных уравнений (4.4.15), интегральные кривые допускают произвольное смещение вдоль оси х. Поэтому фиксируем для х/ = 0 некоторое v,f, такое, что 1г 1/1 < va и Vif мало отличается от Va (для размытой волны индекс / внизу относится к начальной точке интегрирования, в которой производится пристрелка). Далее при фиксированном Vtf подбираем такие Mif и Pf (как указано в обсуждении после (4.4.17), остальные искомые функции однозначно определяются по значениям Vif, Pf при этом Мг И Pf ДОЛЖНЫ быть такими, чтобы v i < 1 2/1 < 1 о1), чтобы интегральная кривая с этими граничными условиями в точке Xf имела при х оа ъ качестве предела начальное состояние. [c.345]

Система (96 ), (96"), как мы видим, представляет собой все еще нормальную систему второго порядка относительно п неизвестных функций t, q ,, q - независимого переменного q . Поэтому на основании обычной теоремы существования и единственности решения дифференциальных уравнений можно утверждать, что для системы (96 ), (96") существует решение и притом единственное, для которого в соответствии с заданным значением независимой переменной остальные п—1 переменных q и соответствующие им производные q вместе с и принимают наперед заданные произвольные значения. Условие того, что кривая в пространстве Г проходит через заданную точку в заданном направлении, выражается тем обстоятельством, что при указанном значении координаты q остальные (п—1) координат и их производные q принимают заданные значения. Отсюда можно заключить, что через каждую точку пространства Г в каждом из возможных направлений проходит по крайней мере одна траектория. Так как точек в пространстве Г будет оо" и из каждой из них выходит оо"" направлений, а на К35КДОЙ кривой существует оо точек и в каждой из них, за вычетом лишь исключительных (особых точек), однозначно определяется направление касательной, то можно поэтому сказать, что траектории дифференциальной системы второго порядка (96) с п неизвестными функциями образуют множество, состоящее по крайней мере из элементов. [c.339]

Функция f z), однозначная и дифференцируемая в каждой точке области D, называется аналитической (регулярной или голоморфной) в этой области. Функция /(z) называется аналитической в конечной точке г, если она является аналитической в некоторой произвольно малой окрестности точки г. Точки плоскости г, в которых однозначная функция f г) анали-тнчна, называются п р а в и м ь н ы м ii точкам и / (г). Точки, в которых функция / (г) не является аналитической, называются особыми точками этой функции. [c.53]

Следующие простые примеры иллюстрируют аналитические функции, которые регулярны всюду, за исключением некоторых особых точек. Функция w = z -bz дифференцируема и имеет производную dwldz = 2z+b. Функция становится бесконечной при г= ОО, что соответствует ее особой точке. Она имеет точку разветвления при 2=6/2, когда w z) регулярна и однозначна но обратная функция z w) не обладает этими свойствами. Разделение на действительную и мнимую части дает [c.141]

В этом случае х(Л/) = О, особых точек нет. Форма гироскопических сил / равна —adx Л dy. Следовательно, при а О выполнено условие (4.2). Поэтому уравнения (4.3) не допускают полиномиальных интегралов с однозначными коэффициентами, незгшиси-мых от интеграла энергии. Очевидные линейные интегралы х- -+ ау, у— ах многозначны в фазовом пространстве ТМ = х Т . Функция sin(y-Ь /а)—однозначный аналитический интеграл, не являющийся полиномом по X. [c.148]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...