Канонические уравнения Гамильтона Первые интегралы

Обычные проблемы механики приводят к лагранжианам, которые не содержат производных выше, чем первые. В общем же случае вариационной проблемы в подынтегральной величине могут быть производные п-го порядка. Однако и такая задача может быть приведена к нормальному виду с помощью канонических интегралов, так что канонические уравнения Гамильтона, как показал Остроградский, могут рассматриваться как нормальная форма, в которую могут быть преобразованы дифференциальные уравнения, возникающие при рассмотрении вариационной проблемы это преобразование требует только дифференцирований и исключений. [c.905]

Этот определитель не существует, если обращается в нуль хотя бы одно из по коренных выражений знаменателя. Определитель обращается в нуль, если аг= а также когда становятся нулями г и тЭ. При этих условиях функция V пег стает быть полным интегралом рассматриваемой задачи и уже не определи первых интегралов канонических уравнений Гамильтона. [c.490]

Скобки Пуассона. Рассмотрим некоторые свойства первых интегралов канонических уравнений Гамильтона [c.497]

Функция f t, ди д2,...,дк, ри р2,—,рк) называется первым интегралом канонических уравнений Гамильтона, если она сохраняет постоянное значение на всяком конкретном движении системы (постоянная меняется при переходе от одного движения системы к другому). Производная от функции взятая в силу системы канонических уравнений Гамильтона, тождественно обращается в нуль, т. е. [c.497]

Условие, что функция (1, д, р) является первым интегралом канонических уравнений Гамильтона, с помощью скобок Пуассона запишется следующим образом [c.497]

Это выражение уже не зависит от переменных г и, следовательно, является первым интегралом исходных канонических уравнений Гамильтона. Мы доказали теорему [c.599]

Первые интегралы системы канонических уравнений Гамильтона [c.219]

Знак - во второй группе уравнений (7.4) поставлен из соображений удобства (ср. с (7.3)). Напомним, что общее решение системы 2п дифференциальных уравнений Гамильтона — это семейство решений, зависящее от 2п произвольных постоянных (их можно выразить через начальные координаты и импульсы). Первое из уравнений (7.5) представляет инвариантное соотношение (по теореме 1), а функции д8/дс1,..., д8/дсп с учетом этого соотношения составляют набор независимых интегралов канонических уравнений Гамильтона. Так как выполнено неравенство (7.4), то по теореме о неявных функциях из второго соотношения (7.5) можно найти координаты х как функции от и 2и произвольных постоянных Ь,с. Подставляя полученные выражения в первое соотношение (7.5), получим импульсы в виде функций от 1, Ь, с. [c.76]

Задача интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 2л в случае общего положения эквивалентна задаче об отыскании 2л независимых первых интегралов. Если уравнения являются системой канонических уравнений Гамильтона, то достаточно знать л первых независимых интегралов в инволюции, чтобы. найти ее общее решение. [c.181]

Замечание 9.7.4. Пусть система с п степенями свободы описывается уравнениями Гамильтона и име ет п первых интегралов. Если можно указать такое каноническое преобразование, что эти первые интегралы входят в набор новых канонических переменных, то по теореме 9.7.6 рассматриваемые уравнения Гамильтона можно проинтегрировать аналитически. Это — еще один способ построения переменных действие-угол. [c.692]

Теорема 9.7.9. (Теорема Лиувилля об интегралах в инволюции). Пусть имеется п независимых, находящихся в инволюции первых интегралов /ь...,/ системы уравнений Гамильтона. Тогда существует каноническое преобразование, приводящее уравнения движ.ения к форме [c.694]

Чтобы найти общее решение системы канонических, уравнений динамики, достаточно найти функцию V как полный интеграл дифференциального уравнения с частными производными первого порядка уравнения Остроградского — Гамильтона — Якоби) и продифференцировать этот интеграл по обобщенным координатам и постоянным интегрирования а . Приравнивая частные производные от V по обобщенным координатам обобщенным импульсам р , получим первую группу интегралов канонической системы, а приравнивая постоянным интегрирования производные от V по а , найдем вторую группу интегралов. [c.358]

На практике лагранжианы, гамильтонианы и первые интегралы редко зависят от времени, поэтому принято всегда ассоциировать существование интеграла с инвариантностью гамильтониана (хотя, строго говоря, как мы видели, это не совсем оправдано). Эта трактовка восходит к Ли. Изложенной только что теоремы точно в том виде, как она здесь дана, сам Ли не формулировал, поскольку оперировал, главным образом, не с обыкновенными дифференциальными уравнениями в канонической форме, а с некоторым тесно связанным с ними уравнением в частных производных, к изучению которого мы приступаем в следующей теме. [c.138]

Ограничение содержания аналитической динамики изучением методов решения уравнений движения, нахождением инвариантных соотношений и постоянных движения. Эта тенденция сложилась потому, что весьма эффективными стали методы получения первых интегралов при известном полном интеграле соответствующим образом составленного уравнения в частных производных, например, уравнения Гамильтона—Якоби. К тому же условия каноничности преобразований, составленные для произвольно выбранного гамильтониана преобразованной системы могут привести к интегрируемым уравнениям относительно производящей функции, с помощью которой определяются в дальнейшем первые интегралы канонических уравнений движения. Усилению этой тенденции способствует, причем весьма действенно, всевозрастающее внедрение ЭВМ в учебный процесс. [c.43]

Ограничение содержания аналитической динамики изучением непрерывных групп преобразований, по отношению к которым известные динамические показатели движения механической системы являются инвариантными показателями. Эта тенденция вызывается тем, что с помощью бесконечно малых преобразований, оставляющих действие по Гамильтону инвариантным до дивергенции, можно получить первые интегралы канонических уравнений, используя теорему Нетер. А канонические преобразования с заданным гамильтонианом преобразованной системы, как уже было отмечено, позволяют составить уравнения в частных производных, полный интеграл которых определяет искомые первые интегралы. Усилению этой тенденции способствует еще и возможность интерпретации самого движения механической системы как последовательность бесконечно малых преобразований координат и импульсов системы. [c.43]

Каков физический смысл функции Гамильтона 2. В каких переменных записаны уравнения Гамильтона Чему равно число этих уравнений Каков их математический вид 3. Как определяется первый интеграл канонических уравнений В каких случаях первые интегралы можно записать заранее [c.119]

Если функция / и (р являются первыми интегралами канонической системы уравнений Гамильтона, то скобки [c.225]

Метод разделения переменных. Сущность метода состоит в приведении уравнения с частными производными к системе независимых уравнений с обыкновенными производными. Реализация этого метода возможна лишь при определенном выборе обобщенных координат, учитывающем симметрии гамильтониана относительно группы преобразований фазового пространства. Если определенная симметрия обнаружена, то в результате канонического преобразования можно получить первые интегралы (ра ха, Ра) = Oia- В случае ПОЛНОГО разделения переменных гамильтониан имеет вид (см. пример 25.5) [c.280]

Задан полный интеграл S qi,ai,t) уравнения Гамильтона-Якоби некоторой системы. Из соотношений dS/dqi (г = 1, п) определяются первые интегралы fi qj Pj t) = щ канонических уравнений, соответствующих этой системе. Показать, что эти п первых интегралов находятся в инволюции, т. е. что скобки Пуассона от них fi, fk) = 0 i, к = 1,п). [c.271]

Первые четыре главы книги посвящены общим уравнениям движения тел, представляющих изолированную систему, известным интегралам, основным формулам эллиптического движения и разложению различных функций в гипергеометрические ряды и по функциям Бесселя. В гл. 5 достаточно подробно излагаются уравнения Лагранжа для оскулирующих элементов, чтобы читатель мог ознакомиться с основными процессами перехода от эллиптической орбиты к возмущениям планет. В гл. 6 рассматриваются различные классы неравенств —вековые, короткопериодические и долгопериодические. Гл. 7 посвящена разложению в ряд возмущающей функции, сначала в теории Луны, а затем в теории движения планет. В гл. 8 —о канонических уравнениях — шаг за шагом излагаются различные теоретические положения и приводятся простые примеры. В гл. 9 подробно рассматривается решение уравнений эллиптического движения при помощи метода Гамильтона — Якоби. В следующих двух главах излагаются элементы теории контактных преобразований. Гл. 12 посвящена теории Луны Делонэ в ней подробно описывается основная операция и дается практический метод получения решения п желаемой форме. В следующих двух главах рассматриваются вековые [c.7]

В своих исследованиях по оптике Гамильтон установил тесную связь между интегралами системы обыкновенных дифференциальных уравнений и решением двух уравнений в частных производных первого порядка. Эта идея Гамильтона была развита Якоби, который, обратив ход рассуждений Гамильтона, показал, что если известно решение (полный интеграл) одного уравнения в частных производных, то интегралы системы канонических уравнений можно получить дифференцированием известного полного интеграла по координатам и постоянным. Так возник метод Гамильтона — Якоби, который мы подробно рассмотрим в 10 настоящей главы. [c.278]

Следствие 9.2.3. Система канонических уравнений Гамильтона имеет первый интеграл вида Н = к, где к — постоянная инте-грирования, тогда и только тогда, когда функция Гамильтона Н не зависит явно от времени дH/дt = 0. Для систем материальных точек этот интеграл эквивалентен обобщенному интегралу энергии Якоби, для склерономных систем с потенциальными силами — интегралу полной механической энергии. [c.634]

Теорема Пуассона. Если fug — первые интегралы канонических уравнений Гамильтона, то скобка Пуассона g) = onst также является первым интегралом канонических уравнений Гамильтона. [c.499]

Можно сделать попытку обозреть основные этапы развития аналитической динамики до середины XIX в. Первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжева теория вариации произвольных постоянных, а также теория Пуассона. Следующим этапом явились во-первых, представление Гамильтоном интегральных уравнений посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или посредством условия, что она одновременно удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям в частных производных, и, во-вторых, установление канонических уравнений движения. Вслед за тем Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений к проблеме нахождения полного интеграла единственного уравнения в частных производных и дал общую теорию связи интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения в частных производных первого порядка. Наконец, была разработана теория систем канонических интегралов. [c.910]

Найти зависимость гамильтониана H[q, p,t) от обобщенных импульсов Рг (г = 1, п), если соответствующая система канонических уравнений допускает п функционально независимых первых интегралов вида fi q,t) = ai, /2( ,0 = 0С2,..., fniQ t) = п-, не зависящих от обобщенных импульсов. [c.209]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...