Интегралы канонических уравнени

Это выражение называется скобками Пуассона. Применяя это обозначение скобок Пуассона, получаем следующее условие, которому должна удовлетворять функция /, являющаяся интегралом канонических уравнении динамики [c.375]

Поэтому, на основании (133.1) и (133.2), соотношение (136.5) является интегралом канонических уравнений (132.5), удовлетворяющим условию (136.4). [c.375]

Поэтому k первых интегралов канонических уравнений движе-пяя, называемые циклическими интегралами, примут вид [c.376]

Основываясь на теореме Пуассона, можно было бы считать, что по двум известным первым интегралам канонических уравнений можно последовательно найти все 2s первых интегралов этих уравнений. В действительности найти общее решение системы канонических уравнений при помощи этой теоремы не всегда удается. [c.380]

Из интегралов канонических уравнений движения (140.8) находим выражение для импульса [c.386]

При помощи этого тождества можно доказать, что (/г з) будет интегралом канонических уравнений, если f н ij) являются интегралами этих уравнений (теорема Якоби— Пуассона). Действительно, так как / н — интегралы уравнений (5.24), то в соответствии с тождеством [c.136]

При циклических координатах также имеют место первые интегралы канонических уравнений. Действительно, пусть qu будет циклической координатой, тогда она не входит в функции L w Н. [c.91]

Если fi = i и [2 = Сг — независимые интегралы канонических уравнений, то скобка Пуассона, составленная из fi и /а, также будет интегралом канонических уравнений. Для того чтобы (fi, Ь)=Сз было интегралом канонических уравнений, согласно равенству [c.94]

Так как f = и /2=Сг — интегралы канонических уравнений,, то справедливы равенства [c.94]

Интегралы канонических уравнений 91 [c.342]

Примечание. Предположим, что известна система интегралов канонических уравнений фь ф2,. .., фт- Если скобки Пуассона (ф,-, фй) для произвольной пары интегралов тождественно равны нулю, то система интегралов фь , Фт находится в инволюции. Если скобки Пуассона для произвольной пары интегралов из системы фь. .., фт определяются через интегралы этой же системы, то система интегралов фь Ф21 .. > фт образует группу. Существование систем интегралов, образующих группу. [c.367]

Три уравнения (JJ), разрешенные относительно д , д , д , определяют ЭТИ величины как функции времени и шести постоянных а . С2, Ад, 2 3- Если эти значения подставить в уравнения (43), то последние определяют р , рз в функции времени и тех же постоянных. Необходимо показать, что полученные таким образом выражения являются общим интегралом канонических уравнений [c.474]

Так как уравнения (124 ), помимо произвольных постоянных, содержат аргументы р, q, то их можно рассматривать как п интегралов канонических уравнений, между тем как уравнения (124") вместе с q содержат q и потому представляют собой п первых квадратичных интегралов для первоначальных динамических уравнений Лагранжа, эквивалентных канонической системе. [c.342]

ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ [c.131]

Теорема Пуассона. Если F p, q, t), G(p, q, f) — первые интегралы канонических уравнений с функцией Н р, q, /), то их скобка Пуассона F, G) — тоже интеграл тех же уравнений. [c.135]

В разработку всей этой теории существенный вклад внес М. В. Остроградский. В исследованиях по уравнениям динамики он дал каноническую форму уравнений динамики и установил теоремы о характеристической функции, принимая связи системы зависящими от времени. В работах этого цикла, независимо от Гамильтона и Якоби, он развивает также и теорию того уравнения в частных производных, которое обычно называется уравнением Гамильтона — Якоби. Независимо от Гамильтона и Якоби Остроградский доказал, что задача определения интегралов канонических уравнений эквивалентна нахождению полного интеграла некоторого дифференциального уравнения в частных производных. Все искомые интегралы канонических уравнений можно найти дифференцированием полного интеграла уравнения в частных производных. [c.217]

Этот определитель не существует, если обращается в нуль хотя бы одно из по коренных выражений знаменателя. Определитель обращается в нуль, если аг= а также когда становятся нулями г и тЭ. При этих условиях функция V пег стает быть полным интегралом рассматриваемой задачи и уже не определи первых интегралов канонических уравнений Гамильтона. [c.490]

Скобки Пуассона. Рассмотрим некоторые свойства первых интегралов канонических уравнений Гамильтона [c.497]

Функция f t, ди д2,...,дк, ри р2,—,рк) называется первым интегралом канонических уравнений Гамильтона, если она сохраняет постоянное значение на всяком конкретном движении системы (постоянная меняется при переходе от одного движения системы к другому). Производная от функции взятая в силу системы канонических уравнений Гамильтона, тождественно обращается в нуль, т. е. [c.497]

Условие, что функция (1, д, р) является первым интегралом канонических уравнений Гамильтона, с помощью скобок Пуассона запишется следующим образом [c.497]

Последнее равенство означает, что скобка (/, g) является первым интегралом канонических уравнений. [c.499]

Ограничение содержания аналитической динамики изучением методов решения уравнений движения, нахождением инвариантных соотношений и постоянных движения. Эта тенденция сложилась потому, что весьма эффективными стали методы получения первых интегралов при известном полном интеграле соответствующим образом составленного уравнения в частных производных, например, уравнения Гамильтона—Якоби. К тому же условия каноничности преобразований, составленные для произвольно выбранного гамильтониана преобразованной системы могут привести к интегрируемым уравнениям относительно производящей функции, с помощью которой определяются в дальнейшем первые интегралы канонических уравнений движения. Усилению этой тенденции способствует, причем весьма действенно, всевозрастающее внедрение ЭВМ в учебный процесс. [c.43]

Ограничение содержания аналитической динамики изучением непрерывных групп преобразований, по отношению к которым известные динамические показатели движения механической системы являются инвариантными показателями. Эта тенденция вызывается тем, что с помощью бесконечно малых преобразований, оставляющих действие по Гамильтону инвариантным до дивергенции, можно получить первые интегралы канонических уравнений, используя теорему Нетер. А канонические преобразования с заданным гамильтонианом преобразованной системы, как уже было отмечено, позволяют составить уравнения в частных производных, полный интеграл которых определяет искомые первые интегралы. Усилению этой тенденции способствует еще и возможность интерпретации самого движения механической системы как последовательность бесконечно малых преобразований координат и импульсов системы. [c.43]

Пример 9.1. Функция Гамильтона и интегралы канонических уравнений в задаче двух тел. [c.388]

С помощью этого тождества нетрудно доказать теорему Пуассона, в которой утверждается если функции /1(9, р, I) ру О являются первыми интегралами канонических уравнений (9.15), то и [/ь /2] также будет интегралом этих уравнений, т. е. [c.395]

Таким образом, плотность вероятности оказывается интегралом канонических уравнений и, следовательно, подчиняется уравнению [c.398]

Пусть известны все независимые интегралы канонических уравнений (9.15) или их решение [c.400]

Большое практическое значение имеет обратное утверждение,, основанное на теореме Якоби, которая дает возможность по известному полному интегралу уравнения Гамильтона — Якоби находить независимые интегралы канонических уравнений (9.15). Согласно этой теореме, если некоторая функция 8 д, а) является полным интегралом уравнения Г амильтона — Якоби, то реше- [c.403]

Пусть Н Р — функция Гамильтона, не зависящая явно от времени. Тогда Я будет интегралом канонических уравнений [c.67]

Знак - во второй группе уравнений (7.4) поставлен из соображений удобства (ср. с (7.3)). Напомним, что общее решение системы 2п дифференциальных уравнений Гамильтона — это семейство решений, зависящее от 2п произвольных постоянных (их можно выразить через начальные координаты и импульсы). Первое из уравнений (7.5) представляет инвариантное соотношение (по теореме 1), а функции д8/дс1,..., д8/дсп с учетом этого соотношения составляют набор независимых интегралов канонических уравнений Гамильтона. Так как выполнено неравенство (7.4), то по теореме о неявных функциях из второго соотношения (7.5) можно найти координаты х как функции от и 2и произвольных постоянных Ь,с. Подставляя полученные выражения в первое соотношение (7.5), получим импульсы в виде функций от 1, Ь, с. [c.76]

Интегралы канонических уравнений тогда будут иметь пид [c.254]

Теперь, на основании теоремы Остроградского — Якоби, пользуясь формулами (139.3) и (139.4), можно составить полную систему независимых интегралов канонических уравнений движ тгия [c.385]

Если ф( , q рз) = onst является интегралом канонических уравнений (14), то выражение [c.283]

При доказательстве различных свойств интегралов канонических уравнений Донкин пользуется одной общей леммой о системе уравнений [c.30]

Применяя это свойство к интегральным щнвариантам (82) и 83), находим, что скобка Пуассона (Д, /2) будет интегралом канонических уравнений. Таким образом, знаменитая теорема Пуассона о скобках является небольшой составной частью обш его учения об интегральных инвариантах. [c.41]

Теорема Пуассона. Если fug — первые интегралы канонических уравнений Гамильтона, то скобка Пуассона g) = onst также является первым интегралом канонических уравнений Гамильтона. [c.499]

Пусть f(t, X, у) — onst является первым интегралом канонических уравнений (2.3). Тогда, используя определение (2.9), имеем тождество [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...