ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Канонические уравнения Гамильтона Первые интегралы из "Теоретическая механика " Уравнения Лафанжа второго рода ,. [c.144] Здесь (Ро, Яо) — начальные условия — обобщенные импульсы и координаты в момент времени /=0. Пространство переменных (р, Ч. t) размерности 2я + 1 на[зывается расширенным фазовым пространством. Как и прежде, правые части уравнений (1.4) удовлетворяют теореме существования и единственности решений (например, непрерывны вместе со своими частными производными по всем переменным). [c.144] Это непосредственно следует из определения функции Гамильтона (1.2) и определения преобразования Лежандра (1.1). [c.145] Если дополнительно предположить, что со = О (обруч неподвижен), то получаем задачу о движении математического маятника (см. 3.13), а написанный выше интефал становится просто законом сохранения энергии. [c.147] Траектории, описывающие движения механических систем в расширенном конфигурационном и фазовом пространствах, обладают замечательным свойством — они являются экстремалями некоторой вариационной задачи, дсжтавляют стационарные значения функционалу действие. [c.147] Таким образом, уо — действительная траектория (рис. 45). Рассмотрим класс окольных траекторий у , где у = (q + 6q, О q + 6q е е A , Ге [io, i], 8q(/ o)= 6q(/i) = 0 . Вариация 6q(f) — произвольная функция из класса С, обращающаяся в нуль на концах отрезка [ij,, / ]. [c.147] Вариационный принцип Гамильтона—Острофадского формулируется следующим образом функционал действие по Гамильтону принимает стационарное значение на действительной траектории в классе окольных траекторий, т.е. вариация Si lyo] = 0. [c.147] Отсюда следует, что вариация 85(Го] = 0, если р(/), я(г) удовлетворяют каноническим уравнениям Гамильтона (2.4). и, наоборот. из условия независимости вариаций 8р(Г), 8ч(0 следуют уравнения (2.4) согласно основной лемме вариационного исчисления. [c.149] Таким образом, доказана справедливость принципа наименьшего действия в фазовом пространстве системы функционал действие [Г], заданный на пространстве окольных траекторий Г , принимает стационарное значение на действительной траектории, т.е. б51Го1 = 0. [c.149] В моменты времени /д. Ь кривая Ро проходит через точки Р , Р, (рис. 47). В качестве окольных путей будем рассматривать гладкие кривые, проходящие через точки Р , Р, при условии, что временная параметризация 4 = 4(0 удовлетворяет закону сохранения энергии (3.1) с одной и той же постоянной Л Отсюда следует, что временной интервал, соответствующий каждой кривой р, вообще говоря, отличен от временного интервала [Го, /1], так как скорость движения я в каждой точке кривой р определяется из интеграла энергии (3.1). Введем вспомогательный параметр т е [2о, Г ], параметризующий окольные пути р, т.е. д = я(х). Тогда возникает взаимно однозначное отображение г=/(т) для каждой кривой р = = я Я е Л , Ч = ч(/(х)), /, х е Л, т е (/д. Г,] и верно соответствие Я(г(/ ,)) = Ро. Ч( ( 1)) = Л- Для действительного пути /= т. [c.151] Принцип наименьщего действия Лафанжа функционал укороченное действие И [р] принимает стационарное значение на действительном пути (5И [Ро1 = 0), если окольные пути проходят через точки Р , Р, и движение по ним происходит с той же полной энергией, что и по действительному пути. [c.151] Интефал (4.2) выражает длину кривой р в метрике Якоби р, а принцип наименьшего действия утверждает, что действительный путь системы из положения Рд в положение Р, есть кривая наименьшей длины, геодезическая в римановом пространстве К с метрикой Якоби, так как его вариация равна нулю на действительном пути. Другими словами, принцип наименьшего действия в форме Якоби позволяет найти действительный путь среди всех гладких кривых, соединяющих начальную и конечную конфигурации системьг, при условии, что движение происходит с заданной полной энергией И. [c.153] Принцип наименьшего действия в форме Якоби и принцип Ферма в оптике позволяют установить аналогию между траекториями материальной точки, движущейся в консервативном поле, и световыми лучами, распространяющимися в неоднородной изо-, тройной среде. [c.154] Здесь Л — постоянная энергаи. Если положить и (г) = 2 Н-У т)), то функционал укороченное действие совпадает с функционалом (5.1) и, следовательно, истинный оптический путь окажется действительной траекторией материальной точки единичной массы. В этом и состоит оптико-механическая аналогия, проиллюстрированная в таблице. [c.155] Отличием рассматриваемой вариации от вариации в принципе Гамильтона—Острофадского является варьирование концов траекторий по времени и выбор в качестве класса кривых действительных фазовых траекторий механической системы. [c.156] Интеграл (6.6) называется относительным интегральным инвариантом Пуанкаре. [c.157] Если для любого контура С интеграл (6.6) постоянен вдоль соответствующей трубки траекторий, то система уравнений (6.7) гамильтонова, т.е. Р -У,Я(р, q, /), Р = У,,Я(р, д, Г). [c.157] Вернуться к основной статье