Оптико-механическая аналогия Гамильтона

Эти уравнения в вариациях обладают рядом свойств, стоящих в тесной связи с оптико-механической аналогией Гамильтона. [c.282]

Геометрическое решение уравнения в частных производных. Оптико-механическая аналогия Гамильтона. В наших предыдущих рассуждениях предполагалось, что у нас есть полное решение дифференциального уравнения в частных производных Гамильтона— Якоби. Предположим теперь гораздо меньшее, а именно что мы знаем лишь некоторое частное решение заданного уравнения в частных производных [c.302]

Оптико-механическая аналогия Гамильтона 303 [c.303]

Оптико-механическая аналогия Гамильтона 305 [c.305]

Оптико-механическая аналогия Гамильтона 313 [c.313]

Таким образом, канонический формализм Гамильтона распространяется на разрывное движение расширенной системы. Отсюда следует вывод об оптико-механической аналогии динамики расширенной системы и волновой теории света Гюйгенса (оптико-механическая аналогия Гамильтона, основанная на представлении движения с помощью группы канонических преобразований). [c.141]

Рассматриваемый двумерный пример и свойство (2.65) общеизвестны (этот пример обычно приводят как пояснение связи принципа Гюйгенса с оптико-механической аналогией Гамильтона). [c.79]

Контактная геометрия составляет математический базис геометрической оптики в таком же смысле, в каком симплектическая геометрия является базисом классической механики. Оптико-механическая аналогия Гамильтона позволяет интерпретировать проблемы и результаты симплектической геометрии на языке контактной геометрии и наоборот. Тем не менее, прямой подход в терминах контактной геометрии во многих случаях предпочтительнее, по крайней мере с точки зрения геометрической интуиции он демонстрирует геометрическое содержание формул симплектической теории. Связь между симплектической и контактной геометриями подобна связи между геометрией линейных пространств и проективной геометрией для того чтобы получить контактный аналог симплектического утверждения, необходимо заменить функции гиперповерхностями, аффинные пространства проективными и т. д. [c.59]

Оптико-механическая аналогия Гамильтона [c.278]

Кратко изложим основы оптико-механической аналогии Гамильтона и рассмотрим нестрогий вывод канонических уравнений в оптике. Будем исходить из принципа Гюйгенса (1690 г.), который заключается в следующем. [c.278]

Следовательно, группа движений рассматриваемой голономной системы одинакова с группой распространения света в изотропной среде по волновой теории Гюйгенса. Это и составляет существо открытой Гамильтоном оптико-механической аналогии. [c.277]

Связь инварианта (16) с оптико-механической аналогией обнаруживается, если заметить, что левая часть (16) есть иное выражение билинейного коварианта принципа аналогии Гамильтона [c.283]

Исследования Гамильтона в области геометрической оптики и оптико-механической аналогии [c.804]

Мы видим, что Гамильтон рассматривает вводимую им функцию как результат индукции в оптической науке. Эта функция охватывает всю геометрическую оптику. Но важно и другое. Гамильтон уже здесь отмечает в общем виде родство принципа Ферма и принципа наименьшего действия. Конечно, отсюда еще довольно далеко до построения такой математической схемы, в которой оптика лучей совпала бы с механикой материальной точки. Здесь еще нет ничего принципиально нового, ибо родство принципа Ферма и принципа наименьшего действия отмечалось и ранее. Лишь в последующее время, когда в разработанной Гамильтоном математической теории совпадут формы уравнений лучевой оптики и механики, определится то, что мы называем оптико-механической аналогией. Но уже в 1827 г. Гамильтон прекрасно [c.810]

Следующий шаг в развитии оптико-механической аналогии сделал Э. Шредингер ) в 1926 г. Он усмотрел в принципе Гамильтона результат игры волн, который лежит в основе движения материальных точек. Он использовал оптико-механическую аналогию для того, чтобы спасти сущность механики, чье дыхание ясно чувствовалось в микрокосмосе ). [c.861]

Переход к новому типу каузальной связи, который условно можно было бы назвать <(Квантовым и который характерен для квантовой (нерелятивистской и релятивистской) механики, где уже классические величины заменяются операторами, где вероятность состояния индивидуальной частицы и индивидуального акта взаимодействия имеет, как известно, совсем иной смысл, чем вероятность состояния ансамбля в классической статистической механике, приводит к тому, что положение и роль принципа Гамильтона оказываются в квантовой механике совершенно иными, чем в классической физике. Важная историческая роль, сыгранная принципом и оптико-механической аналогией в начальной стадии формирования волновой механики, объясняется не только тем, что существует реальная связь и предельный переход от механики атома к классической физике, но также и тем, что существуют общие черты в типах каузальной связи макро- и микрокосмоса. Но именно потому, что для энергии и времени, так же как для импульса и соответствующей координаты, в квантовой механике имеют место перестановочные соотношения, а сами они являются уже операторами, классический интеграл Гамильтона (и принцип наименьшего действия) имеет в ней не- [c.873]

Благодаря рассмотренным свойствам методы Лагранжа и Гамильтона приобрели значение в физике. Это значение еще более увеличивается, если учесть тесную внутреннюю связь принципа Гамильтона и оптики — связь, выраженную в оптико-механической аналогии, являющуюся одним из проявлений фундаментального синтеза полевого и корпускулярного аспектов физических процессов. Принцип Гамильтона дает общие формы [c.877]

В 30-х годах XIX в, Гамильтон строит свой общий метод динамики на основе рассмотрения и развития оптико-механической аналогии. [c.205]

Мы видим, что Гамильтон рассматривает вводимую им функцию как результат индукции в оптической науке. Эта функция охватывает всю геометрическую оптику. Но важно и другое. Гамильтон ун е здесь отмечает в общем виде родство принципа Ферма и принципа наименьшего действия. Конечно, отсюда еще довольно далеко до построения такой математической схемы, в которой оптика лучей совпала бы с механикой материальной точки. Здесь еще нет ничего принципиально нового, ибо родство принципа Ферма и принципа наименьшего действия отмечалось и ранее. Лишь в последующее время, когда в разработанной Гамильтоном математической теории совпадут формы уравнений лучевой оптики и механики, определится то, что мы называем оптико-механической аналогией. Но уже в 1827 г. Гамильтон прекрасно сознает математическую новизну своего метода, подчеркивая, что благодаря этому методу математическая оптика представляется... в совершенно новом виде, аналогичном тому, в каком Декарт представил применение алгебры к геометрии Рассмотрим теперь математический метод Гамильтона, с помощью которого он исследовал законы систем лучей. [c.207]

Оптико-механическая аналогия. Одним из важнейших откры тий аналитической механики является оптико-механическая анало гня, обнаруженная Гамильтоном, который установил одинаковы вид канонических уравнений [c.512]

Использ) я волновую теорию света, Гамильтон получил возможность написать уравнения динамики в форме, зависящей лишь от одной функции Я. Дальнейшим развитием теории распространения света занимались Коши, Кирхгоф, Максвелл, Гельмгольц и другие физики. Коши поставил задачу о дальнейшем развитии оптико-механической аналогии. В рамках аналитической механики этой задачей занимался немецкий математик Феликс Клейн (1849—1925). Развитие аналогии следует искать в области колебательных движений, поскольку свет представляет собой некоторый колебательный процесс. Аналогией между математической теорией света Коши и устойчивыми движениями голономной консервативной системы занимался Н. Г. Четаев (1902—1959), но рассмотрение этих вопросов выходит за рамки нашего курса. [c.517]

Б. Оптико-механическая аналогия. Вернемся теперь к механике. Здесь траектории движения также являются экстремалями вариационного принципа, и можно строить механику как геометрическую оптику многомерного пространства. Именно так и поступил Гамильтон мы не будем проводить это построение во всех деталях, а только перечислим те оптические понятия, которые привели Гамильтона к основным механическим понятиям. [c.221]

УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ И ОПТИКО-МЕХАНИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ [c.206]

Рассмотренная аналогия между классической механикой и геометрической оптикой была установлена Гамильтоном в 1834 г, однако ее физический смысл оставался неясным вплоть до рождения современной квантовой механики. Только в 1926 г. де Бройлем и Шредингером было показано, что истинный смысл оптико-механической аналогии состоит в том, что она указывает на существование у материальных объектов волновых свойств наряду с корпускулярными свойствами. [c.212]

Связь, о которой было упомянуто, известна теперь как оптико-механическая аналогия [76]. В явной аналитической форме эта связь отображена в уравнении с частными производными первого порядка, связанном с именами Остроградского, Гамильтона и Якоби. [c.6]

Принцип Ферма, канонические уравнения Гамильтона, оптико-механическая аналогия [c.42]

Следующий шаг был сделан в 1924 году де БРОЙЛЕМ. Действуя по аналогии с электромагнитным излучением, для которого, как мы уже упоминали, была выяснена необходимость двойного — корпускулярного и волнового — описания, и используя давно развитую ГАМИЛЬТОНОМ оптико-механическую аналогию, де Бройль пришел к тому, чтобы сопоставить каждой материальной частице — волну, частота и волновой вектор которой были бы связаны с энергией и импульсом частицы соотношением [c.326]

В главе V продолжается изложение аналитической механики— рассматривается механика Гамильтона. Глава содержит оптико-механическую аналогию, канонические уравнения, вторую форму принципа Гамильтона, канонические преобразования, метод интегрирования канонических уравнений, известный под названием метода Гамильтона — Якоби, и ряд других вопросов. [c.7]

Это есть одно из проявлений оптико-механической аналогии, развитой Гамильтоном (см. гл. V, 1). [c.263]

Лучевые свойства механических траекторий являются лишь частью глубокой аналогии, существующей между оптикой и механикой. Построение волнового фронта на основе принципа Гюйгенса также имеет механическую аналогию. Действительно, дифференциальная формулировка принципа Гюйгенса совпадает с уравнением в частных производных Гамильтона для оптики. [c.307]

Эта оптико-механическая аналогия привела В. Гамильтона от законов гедметрической оптики к установлению основных уравнений движения материальных систем. [c.364]

После Лагранжа принципиально новых мыслей было высказано не так много Гамильтон развил оптико-механическую аналогию Гаусс установил принцип наименьшего принуждения в работах Лагранжа, Лапла/са, Пуассона, Пуанкаре, Ляпунова через основные космогонические проблемы стихийно обнаружился принцип устойчивости. [c.209]

Основное в динамике Гамильтона—Якоби —это вариационный принцип, связанный с оптико-механической аналогией, теория интегрирования кано- [c.830]

Руководствуясь идеей оптико-механической аналогии, усматривая ее прежде всего в единой математической форме законов движения лучей и материальных частиц, Гамильтон использует в механике так называемый принцип наименьшего действия. Применяя этот принцип к определенным явлениям, Гамильтон исходил из того, что для действительного, осуществляющегося движения тел величина, равная произведению энергии на время и на-яванная им действием , должна иметь некоторое минимальное значение. Несколько позже Гамильтона и независимо от него принцип наименьшего действия был разработан русским ученым М. В. Остроградским, который распространил его на значительно более широкий круг явлений. Этот принцип теперь справедливо называется принципом Гамильтона—Остроградского. Он оказался мощным математическим оружием физики и был широко использован в работах Максвелла, Гельмгольца, Умова, Эйнштейна, де Бройля, Шредингера и других ученых. [c.208]

Отметим еще раз, что геометрическая оптика, как показал Гамильтон, сводится к одному и тому же аналитическому аппарату, независимо от того, пользуемся мы в физической оптике волновыми или корпускулярньши представлениями. Геометрическая оптика есть предельный случай физической оптики. Картины корпускулярная и волновая, вообще говоря, существенно различны, но при исследовании геометрических свойств оптического луча приводят к одним и тем же результатам. Луч может быть истолкован и как нормаль к некоторой волновой поверхности, и как траектория потока световых частиц. Математический формализм теории и в том и в другом случае один и тот же. Уже в этом. заключена идея оптико-механической аналогии. [c.210]

Таким образом, как объективные причины — потребности небесной механики, так и субъективные — деятельность Гамильтона в качестве королевского астронома и профессора астрономии, и, наконец, внутренняя логика его работ (оптико-механическая аналогия) определили направление работы Гамильтона в области дальнейшей разработки найденного и примененного им в оптике математического метода. Сам Гамильтон неоднократно подчеркивал тесную связь своих работ но динамике с предшествовавшими работами по теории систем лучей. В письме к Уэвеллу (18 марта 1834 г.) он пишет, что публикуемая им в Phylosophi al Transa tions работа есть новое приложение тех математических принципов, которые. .. (он.— Л. П.) уже прилагал к оптике . В его письме к Дж. Гершелю (17 октября 1834 г.) мы читаем следующее ...почти достигнув в оптике желаемой цели..., я вернулся к старому проекту применения того н е метода к динамике . Гамильтон не ставит себе задачи создания новых или даже видоизменения классических основных принципов механики. Его задача — иная она точно выражена в названии его работы Об общем методе в динамике, с помощью которого изучение движения всех систем взаимно притягивающихся или отталкивающихся тел сводится к отысканию и дифференцированию определенной центральной зависимости или характеристической функции [c.211]

Основное в динамике Гамильтона— Якоби— вариационный принцип, связанный с оптико-механической аналогией, теория интегрирования канонических уравнений Гамильтона и уравнение в частвсых производных Гамильтона — Якоби в связи с касательным преобразованием. Внутренний смысл всей этой математической схемы заключен в ее связи с принципом Гюйгенса, в возможности представлять механическое движение не только в виде перемещения тела (системы точек), но и в виде развертывания касательного преобразования поверхностей равного действия, в глубокой связи траектории луча с некоторой поверхностью (волновой или действия ), выражающей взаимосвязанность корпускулярного и волнового аспектов движения в механике и физике. [c.216]

Развитие принципов механики связано с развитием принципов оптики и приводит к задаче об оптико-механической аналогии. В оптике принципы распространения света высказывались значительно раньше, чем принципы динамики. Герон еще в I в. до н.э. высказывал мысль, что свет распространяется по кратчайшему пути. В XVII в. П. Ферма (1601—1665) предложил принцип распространения света, согласно которому при прохождении границы двух сред свет распространяется по тому пути, на который затрачивается наименьшее время. Дальнейшим развитием этого принципа занимались Эйлер, Лагранж, Гамильтон. Последний установил аналогию принципа Ферма с принципами механики. [c.444]

Исследования Гамильтона в области оптико-механической аналогии продолжил Н. Г. Четаев. В работе Об оптико-механической аналогии Н. Г. Четаев рассматривал вопросы развития аналогии динамики с после-гюйгенсовыми теориями света, опираясь на методы теории групп [36]. [c.282]

ОИТИКО-МЕХАНИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ — аналогия между классич. механикой и геометрич. оптикой, установленная В. Гамильтоном (W. namilton) в 1834. Движение частицы энергни Е и массы т в постоянном потенциьшьном поле V (х, у, z) по классич. механике онисывается Гамильтона—Якоби уравнением. yS,)- = 2m E—V), [c.507]

Резюме. Механические траектории консервативных систем могут быть получены из частного решения уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби с помощью построения ортогональных траекторий к поверхностям S = onst. Это построение аналогично построению волнового фронта и световых лучей в геометрической оптике. Поверхности равного времени в оптике соответствуют поверхностям равного действия в механике, а принцип наименьшего времени Ферма — принципу наименьшего действия или принципу Якоби. И оптические и механические явления могут быть описаны как с помощью волн, так и с помощью частиц. При описании с помощью волн мы оперируем с бесконечным семейством поверхностей, которое определяется уравнением в частных производных Гамильтона. При описании же с помощью частиц мы оперируем с ортогональными траекториями к этим поверхностям, и они определяются принципами. Ферма и Якоби. Аналогия распространяется только на траектории механических частиц, не касаясь того, как движение происходит во времени. Кроме того, ири этой аналогии среди всех возможных механических траекторий выделяются те, по которым движение начинается перпендикулярно к заданной поверхности. [c.314]

Эта теорема позволяет сделать вывод, что для устойчивого невозмущенного движения консервативной голономной системы в соответствующих переменных бесконечно малые возмущенные движения системы аналогичны движениям вблизи устойчивого положения равновесия консервативной голономной системы. Тем самым выявляется колебательный, волновой характер движения механических систем вблизи их устойчивых ведущих движений. Отсюда следует, что задача Коши о развитии открытой Гамильтоном аналогии между динамикой консервативных механических систем и оптикой Гюйгенса тесно связана с некоторой задачей об устойчивости движения. Если существует аналогия между динамикой и математической теорией света Коши, то эту аналогию следует искать в возмущенных движениях вблизи устойчивых движений гол ономных консервативных систем. [c.16]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...