ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Оптико-механическая аналогия Гамильтона из "Теоретическая механика " В своих знаменитых работах 1824—1828 гг., представленных Ирландской Академии наук, Гамильтон, решая проблему оптики о распространении света в оптически неоднородных и неизотропных средах, пришел к уравнениям, впоследствии получившим название уравнений Гамильтона, или, по предложению Якоби, канонических уравнений. Удивительна судьба этих уравнений. Сам Гамильтон показал, что канонические уравнения могут быть с успехом использованы и в аналитической механике. Позже уравнения Гамильтона были применены в электронной оптике для описания движения заряженных частиц в электромагнитных полях. Развитие квантовой механики привело к созданию уравнений, совпадающих по форме с классическими уравнениями Гамильтона (Гайзенберг). Уравнения Гамильтона используются в различных областях механики и математики в небесной механике, в теории управления, в теории устойчивости движения, в теории нелинейных колебаний и т. д. [c.278] В своих исследованиях по оптике Гамильтон установил тесную связь между интегралами системы обыкновенных дифференциальных уравнений и решением двух уравнений в частных производных первого порядка. Эта идея Гамильтона была развита Якоби, который, обратив ход рассуждений Гамильтона, показал, что если известно решение (полный интеграл) одного уравнения в частных производных, то интегралы системы канонических уравнений можно получить дифференцированием известного полного интеграла по координатам и постоянным. Так возник метод Гамильтона — Якоби, который мы подробно рассмотрим в 10 настоящей главы. [c.278] Кратко изложим основы оптико-механической аналогии Гамильтона и рассмотрим нестрогий вывод канонических уравнений в оптике. Будем исходить из принципа Гюйгенса (1690 г.), который заключается в следующем. [c.278] Волновой фронт, или геометрическое место возмущений в оптической среде, представляет собой в момент времени I некоторую поверхность 2. Каждая точка этой поверхности является источником возбуждения элементарных волн а (рис. 5.1). [c.278] С точки зрения математики переход поверхности 2 в поверхность 2 есть некоторое преобразование, причем преобразование-контактное, или касательное (С. Ли), т. е. сохраняющее свойство прикосновения поверхностей. [c.279] Точка А поверхности 2 называется сшпвежтвующей точке А поверхности 2, если волна, выходящая в момент времени t из точки А (aii, Xi, Хз), касается поверхности 2 в момент t в точке А (x t, xi, xi). [c.279] И если две поверхности касаются в какой-либо точке, то в соответствующей точке будут касаться и преобразованные поверхности. [c.279] ЦИЯ V — характеристическая функция Гамильтона, то мы можем описать поведение лучей в изотропной среде. [c.280] Величины 5,- и li были названы Гамильтоном компонентами нормальной медлительности ) распространения волн в точках А и А. [c.280] Таким образом, аналитическое описание бесконечно малого преобразования волнового фронта приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (5.9), в которой неизвестными функциями являются координаты точки волновой поверхности и компоненты нормальной медлительности. Система (5.9) есть система канонических уравнений, в которой правые части получены частным дифференцированием по Xi и i функции Гамильтона Я ). [c.281] Некоторая нестрогость приведенного выше вывода системы уравнений (5.9) будет устранена при полном выводе канонических уравнений механики. [c.282] Исследования Гамильтона в области оптико-механической аналогии продолжил Н. Г. Четаев. В работе Об оптико-механической аналогии Н. Г. Четаев рассматривал вопросы развития аналогии динамики с после-гюйгенсовыми теориями света, опираясь на методы теории групп [36]. [c.282] В этой работе им было высказано глубокое суждение о том, что выражение аналогии состоит в совпадении группы преобразований одного явления с группой преобразований другого явления . [c.282] Вернуться к основной статье