Основные конечно-разностные

Основные конечно-разностные формулы [c.39]

Некоторые основные конечно-разностные формулы [c.39]

Основные конечно-разностные формулы для частных производных могут быть получены при помощи разложения в ряды Тейлора. Используемая прямоугольная сетка показана на рис. 3.1. Нижние индексы I и ] относятся к х и у, а верхни< [c.39]

Li. Основные конечно-разностные формулы 43 [c.43]

Основные конечно-разностные формулы полиномиальная аппроксимация [c.43]

Основные конечно-разностные формулы 45 [c.45]

Как следует из схемы, представленной на рис. В.1, информация о НДС является ключевой для анализа прочности и долговечности элементов конструкций. Поэтому правильность оценки работоспособности той или иной конструкции в первую очередь зависит от полноты информации о ее НДС. Аналитические методы позволяют определить НДС в основном только для тел простой формы и с несложным характером нагружения. При этом реологические уравнения деформирования материала используются в упрощенном виде [124, 195, 229]. Анализ НДС реальных конструкций со сложной геометрической формой, механической разнородностью, нагружаемых по сложному термо-силовому закону, возможен только при использовании численных методов, ориентированных на современные ЭВМ. Наибольшее распространение по решению задач о НДС элементов конструкций получили следующие численные методы метод конечных разностей (МКР) [136, 138], метод граничных элементов (МГЭ) [14, 297, 406, 407] и МКЭ [32, 34, 39, 55, 142, 154, 159, 160, 186, 187, 245]. МКР позволяет анализировать НДС конструкции при сложных нагружениях. Трудности применения МКР возникают при составлении конечно-разностных соотношений в многосвязных областях при произвольном расположении аппроксимирующих узлов. Поэтому для расчета НДС в конструкциях со сложной геометрией МКР малоприменим. В отличие от МКР МГЭ позволяет проводить анализ НДС в телах сложной формы, но, к сожалению, возможности МГЭ ограничиваются простой реологией деформирования материала (в основном упругостью) [14]. При решении МГЭ упругопластических задач вычисления становятся очень громоздкими и преимущество метода — снижение мерности задачи на единицу, — практически полностью нивелируется [14]. МКЭ лишен недостатков, присущих МКР и МГЭ он универсален по отношению к геометрии исследуемой области и реологии деформирования материала. Поэтому при создании универсальных методов расчета НДС, не ориентированных на конкретный класс конструкций или вид нагружения, МКЭ обладает несомненным преимуществом по отношению как к аналитическим, так и к альтернативным численным методам. [c.11]

Для построения полей линий скольжения в кольцевой -мягкой прослойке, работающей в составе сферической толстостенной оболочки, использовали методы, основанные на конечно-разностных соотношениях и свойствах линий скольжения. На первом этапе исследований ограничивались рассмотрением случая, когда основной металл сферической оболочки не вовлекается в пластическую деформацию, последняя полностью локализуется лишь по объему мягкого металла (рис. 4.15). Дан- [c.232]

Ниже будут рассмотрены основные идеи метода характеристик и подробно описан нашедший широкое применение конечно-разностный метод сквозного счета сверхзвуковых течений, являющийся стационарным аналогом метода С. К. Годунова. [c.267]

Погрешность определения температурного поля с помощью R- e-ток, так же как и с помощью С-сеток, в основном обусловлена заменой дифференциального уравнения теплопроводности его конечно-разностной аппроксимацией, неточностью параметров электрической модели, неточностью задания условий однозначности и неточностью измерений. [c.88]

В данном разделе сначала коротко рассмотрим основные понятия теории численных методов, а затем более подробно остановимся на применении конечно-разностных схем для решения уравнений теплопроводности. Метод конечных элементов будет изложен в следующей главе. [c.69]

Дифференциальные уравнения, записанные относительно двух компонент перемещений, заменяются разностными уравнениями, которые выводятся при помощи вариационного метода, основанного на минимизации полной потенциальной энергии. При этом граничные условия в напряжениях, обычно затрудняющие решение задачи, становятся естественными, они входят в выражение для энергии и автоматически удовлетворяются при ее минимизации. Полная потенциальная энергия тела равна сумме энергий для всех ячеек сеточной области. При этом можно считать, что все функции и их производные остаются постоянными в каждой ячейке. Сетка может быть как равномерной (регулярной), так и неравномерной. Конечно-разностные функции для ячеек имеют, кроме того, весовые коэффициенты для учета неполных ячеек, примыкающих к наклонной границе. Получающаяся система алгебраических уравнений относительно узловых значений перемещений оказывается симметричной и положительно определенной и имеет ленточную структуру. В работе [8] дополнительно к основной, сетке строится вспомогательная и перемещения определяются в точках пересечения этих сеток. В результате этого нормальные деформации и напряжения вычисляются в центре ячеек основной сетки только через центральные разности. [c.55]

Основным численным методом решения дифференциальных уравнений теплопроводности является метод конечных разностей [23]. Формально он базируется на приближенной замене в дифференциальном уравнении и граничных условиях производных разностными соотношениями между значениями температур в узлах конечно-разностной сетки. В итоге для каждого узла с неизвестным значением температуры получается алгебраическое уравнение, которое для задачи стационарной теплопроводности может быть также получено из условия баланса тепловых потоков в дискретной модели тела, состоящей из теплопроводящих стержней [12, 18]. Методы решения таких уравнений хорошо разработаны [24], а для реализации этих методов в математическом обеспечении современных ЭВМ предусмотрены стандартные программы. Алгебраическому уравнению для каждой узловой точки можно дать вероятностную интерпретацию и использовать для решения задач метод статистического моделирования (метод Монте-Карло) [12]. [c.44]

Основные конечно-разностные формулы для частных производных могут быть получены при помощи разложения в ряды Тейлора. Используется прямоугольная сетка инжние индексы i hJ используются для аргументов х и у, а верхний индекс п соответствует временному слою. Опуская для упрощения верхний индекс, рассмотрим три узловые точки 1, 2 и 3. Разложение в ряд Тейлора около узловой точки 3, расположенной посредине между точками 1 и 3, дает [c.93]

Что касается охваченного материала, то необходимо преду предить читателя, что это не математическая книга см. по этому поводу работу Форсайта Подводные камни в вычислениях или о чем не пишут в математических книгах (Форсайт [1970]). Здесь в прямой и, как мы надеемся, вполне доступной форме приводятся основные конечно-разностные схемы для расчета внутренних точек области течения. Обсуждается также важность численного представления граничных условий. Последнему вопросу до настоящего времени вообще не уделялось внима- [c.7]

Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый способ заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, впервые полученных Прандтлем, и основывается на использева-нии вычислительных машин. В настоящее время разработаны различные математические методы, позволяющие создавать рациональные алгоритмы для решения уравнений параболического типа, к которому относится уравнение пограничного слоя. Такой подход широко используется для определения характеристик ламинарного пограничного слоя. Развиваются приближенные модели турбулентности, применение которых делает возможным проведение расчета конечно-разностными численными методами и для турбулентного потока. Второй способ состоит в нахождении методов приближенного расчета, которые позволяли бы получить необходимую информацию более простым путем. Такие методы можно получпть, если отказаться от нахождения решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям для каждой частицы, и вместо этого ограничиться отысканием решений, удовлетворяющих некоторым основным уравнениям для всего пограничного слоя и некоторым наиболее важным граничным условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Основными уравнениями, которые обычно используются в этих методах, являются уравнения количества движения и энергии для всего пограничного слоя. При этом, однако, необходимо задавать профили скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность получаемых результатов. Поэтому получили распространение методы расчета параметров пограничного слоя, в которых для нахождения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения. Далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения. [c.283]

В книге, написанной известными советским и болгарским учеными по программе спецкурса, читаемого для сту-дентов-механиков, излагаются основные теоретические результаты о течениях вязкой жидкости. Рассматриваются краевые задачи, возникающие при математическом описании обтекания тел, внутренних течений и течений с поверхностями раздела. Приводятся решения методами сведения к автомодельным переменным, асимптотическими разложениями, численными конечно-разностными и прямыми методами. Наряду с известными результатами отражены также новые разработки. [c.296]

Одним из рещавщихся методических вопросов был выбор расчетной схемы. По-видимому, для учебных задач еще в большей степени, чем для научных расчетов, справедливо высказывание Цель расчетов — не числа, а понимание . Поэтому основным требованием к расчетной схеме было получение разумных, качественно правильных, результатов при счете на грубых сетках и с большими шагами по времени, что связано с ограниченным объемом памяти и небольшим быстродействием микро-ЭВМ. Следует отметить две особенности разработанной программы приведение граничных условий 1-го и 2-го рода к эквивалентным условиям 3-го рода, что обеспечило определенную универсальность программы, и модификацию конечно-разностной аппроксимации граничных условий, позволившую избежать осложнений при счете с большими сеточными числами Био. [c.203]

Если учесть более благоприятные условия в смысле устойчивости и точности, то неявные уравнения предпочтительнее явных. Однако в случае кратковременных процессов и процессов с переменными краевыми условиями неявные уравнения теряют свои преимущества в отношении как устойчивости, так и точности по сравнению с явными, а метод расчета становится сложным вследствие неявности и необходимости решения системы алгебраических уравнений. Следует отметить, что если отношение шага интегрирования по времени неявного метода к соответствующему шагу интегрирования явного меньше трех, то количество алгебраических операций в неявном методе будет больше, чем в явном методе расчета. В этом случае явная схема расчета предпочтительнее неявной. Следует также иметь в виду, что в реальных условиях работа конструктивных элементов происходит при переменных краевых условиях. Постоянные условия теплообмена на практике встречаются крайне редко. Чтобы учесть изменение условий теплообмена, как правило, приходится принимать малый шаг интегрирования по времени. Кроме того, как было уже отмечено, численный метод будет нами использован для расчета процессов с малым временем теплового воздействия. В связи с указанным приходим к выводу, что для расчета нестационарных тепловых процессов в элементах конструкции тепловых двигателей явные конечно-разностные уравнения предпочтительнее неявных. Поэтому при изложении численных методов расчета основное внимание будет сосредоточено на явных уравнениях и на явном методе расчета. Неявный метод ргсчета изложен в 2-9. [c.39]

Некоторые методы решения задач термовязкоупругости рассматривались в [39, 49, 11, 99], где можно найти и дополнительную библио-трафию. Наиболее при решении связанных динамических зада.4 термовязкоупругости представляется применение численных методов, основанных на конечно-разностной и конечноэлементной аппроксимации системы основных соотношений. [c.188]

Для вывода разностных уравнений используется конечно-разностная аппроксимация с двойной сеткой. На исследуемую область в плоскости rz наносится прямоугольная сетка с шагом As, но оси г и шагом Mj по оси z (рис. 1, сетка пз сплошных линий). Вторая сетка — вспомогательная (рис. 1, сетка из пунктирных линий) наносится так, что линии ее проходят посредине между линиями основной сетки. Узел (г, ]) вспомогательной сетки сяжтаем сдвинутым относительно узла (i, /) основной сетки вправо и вниз. [c.104]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...