Построение полиномов ат

Построение элемента. Разбить область на элементы можно различными способами. Можно, например, ограничить каждый элемент двумя соседними узловыми точками, образовав четыре элемента (рис. 7.9, а), или разбить область на два элемента, каждый из которых содержит три узла (рис. 7.9, б). Соответствующий элементу полином определяют по значениям Т х) в [c.198]

Аналитическими преобразованиями или непосредственным графическим построением можно проверить, что уравнение (146) определяет ту же поверхность прочности, что и уравнение (14а). Раскрывая скобки в левой части уравнения (146), получаем полином, который можно сравнить с полиномом в формуле (10). Для упрощения выкладок при таком сравнении рассмотрим лишь первый квадрант в пространстве деформаций. Тогда при [c.418]

При построении сетки характеристик давление газа на конце трубопровода может оказаться больше требуемого давления Р, от которого должен сработать исполнительный механизм, в то время как давление Р , найденное из расчета в предыдущий интервал времени, было меньше Р (рис. 6). Для точного определения времени передачи давления Р через трубопровод проводим интерполирование, используя полином Лагранжа (блок 21). Запишем выражение, для давления Р на конце трубопровода как функцию tp [c.101]

Задачи интерполирования 1) определение значений функции, заданной таблицей, для тех значений аргумента, которые находятся между двумя соседними значениями, находящимися в таблице 2) построение такой функции, которая для данных значений аргумента принимала бы данные значения. Наиболее употребительной интерполирующей функцией является многочлен f U) = = Со + 31- +. . . + а х (параболическая интерполяция), а для периодических функций применяется тригонометрический полином (тригонометрическая интерполяция) (стр. 306, 313). [c.303]

Полином (7.7) удовлетворяет бигармоническому уравнению равновесия, однако при использовании этого полинома возникают разрывы в первой производной по нормали к границе между элементами. Как показали численные эксперименты, несмотря на этот недостаток, поле перемещений в виде (7.7) дает хорошие результаты при решении практических задач и в дальнейшем будем использовать это поле для построения матрицы реакций элемента в виде пологой оболочки. [c.226]

Построение интерполирующего полинома и условия сходимости МКЭ [13]. После выбора узловых неизвестных строят интерполирующий полином, которым выражается закон изменения искомой функции (х, у, z) по объему конечного элемента через значения его узловых неизвестных. [c.56]

Вопросы построения интерполирующих полиномов для конечных элементов определенной геометрии рассмотрены ниже. Пока же предположим, что интерполирующий полином для е-то конечного элемента определен и может быть представлен в виде [c.56]

Для решения этой задачи воспользуемся точечным квадратичным аппроксимированием функций. С целью сокращения вычислений при построении аппроксимирующего полинома ограничимся участком обобщенной характеристики, полученным при квазистационарном состоянии. В этом случае аппроксимирующий полином может быть представлен как в = + С. Вычислив по формулам (4.9) значения его коэффициентов, найдем. [c.46]

Простой и универсальный способ построения функций формы для лагранжева семейства прямоугольных элементов (рис. 60) состоит в перемножении соответствующих полиномов по каждой из двух координат [15]. Так, для элемента, изображенного на рис. 61, функция формы для узла, обведенного кружочком, может быть представлена в виде произведения полином а по g, равного единице в узлах второго столбца и нулю во всех остальных узлах, на полином четвертой степени по [c.218]

Работа, посвященная критерию Михайлова, требует по заданному характеристическому полиному 7—10-й степени дать заключение об устойчивости, используя две формы критерия и составить программу построения кривой Михайлова для ЭВМ. [c.59]

Для построения решения, имеющего определенный порядок на бесконечности, следует наложить определенные ограничения на полином Р (г), а также на функцию Ъ t) (см. Н. И. Мусхелишвили, 1966). [c.53]

Проблема заключается в том, что если полином используется для построения кривой, т. е. для аппроксимации некоторой осевой функции, заданной в виде последовательности дискретных данных, то высокий интерполяционный шум, обсуждавшийся в разд. 3.3.5, может полностью нарушить первоначальное распределение. Следовательно, полиномиальную интерполяцию нельзя использовать в качестве практического рабочего инструмента. [c.538]

Изложим еще один подход к построению интерполяционного полинома, пригодного во всем треугольнике. Выше указывалось, что кубический полином не содержит достаточного числа параметров для обеспечения непрерывности нормальной производной. Обратимся к полиному четвертой степени, который содержит 15 параметров. Для такого полинома требуется пять условий на стороне, чтобы задать функцию и. В дополнение к значениям и и ди д8 в угловых точках можно выбрать значение и посередине данной стороны. Отметим, что мы уже ввели в сумме 12 узловых величин. Далее нормальная производная описывается полиномом третьей степени и требуются четыре условия для ее однозначного определения. В дополнение к уже введенным ранее двум производным на концах стороны в число этих четырех условий можно включить значения нормальной производной в двух внутренних точках на каждой стороне. В результате общее число узловых неизвестных возрастает до 18, а полином четвертой степени содержит лишь 15 произвольных параметров. Следовательно, использование такого полинома не может обеспечить получение совместного элемента. [c.126]

При помощи указанной схемы могут быть найдены и все последующие полиномы am(s, v) и Pm(s. v). Чтобы это доказать предположим, что система уравнений (3.7) нами решена вплоть до пары уравнений, соответствующей m= r—I. Другими словами, предположим, что полиномы j(s, v) при j r — 2 и полиномы Pi(s, v) при j r—I нам известны полностью, а полином ar-i(s, v) —за исключением свободного члена r-i, o(s). Для построения полиномов ar(s,v) и Pr(s, v), а также для определения функции г-1, о (s) выпишем уравнения системы (3.7), соответствующие т = г. При этом в левых частях уравнений оставим только неизвестные полиномы ar(s, v), Pr(s, v) и функцию r-i, o(s) [c.168]

Легко показать, что полином в числителе не имеет действительных корней, а знаменатель обращается в нуль при uj = /2. Поэтому искомая кривая имеет вертикальную касательную в точке с координатами (А ( ),А"( )) = (1/2,3 /8), а горизонтальные касательные отсутствуют. Этих данных достаточно, чтобы качественно представить себе вид граничной кривой. С помощью компьютера ее можно построить более точно, результат такого построения показан на рис. 2.7. [c.64]

Важно отметить, что для произвольного. четырехугольника такие кусочно билинейные функции не будут непрерывными при переходе от одного элемента к другому. Предположим, что два четырехугольника прилежат к пря мой у — тх + Ь. Вдоль этой общей стороны билинейная функция будет квадратичной она линейна, только если сторона расположена горизонтально или вертикально. Квадратичный полином не определяется двумя узловыми значениями на концах стороны на v влияют и другие узлы. Поэтому билинейные элементы можно использовать только на прямоугольниках. Правда, для общего случая четырехугольника можно изменить координаты так, чтобы он стал прямоугольником, и тогда допустимы билинейные функции. Более того, эту замену переменных можно также описать билинейной функцией, так что в замене координат участвуют те же функции, что и в построении самого элемента. Это простейшие из изопараметрических элементов, которые подробно обсуждаются в разд. 3.3. [c.107]

Замечание 2. Для доказательства даже более простой теоремы нужна одна вспомогательная лемма. Разложение Тейлора, на котором основана поточечная аппроксимация, здесь применить нельзя функция и может иметь достаточно производных для определения ее интерполянта, но не для разложения Тейлора с остаточным членом Следовательно, нам необходимо привлечь функциональный анализ для построения полинома, настолько же близкого к функции и в среднем квадратичном, насколько были близки к и главные члены ряда Тейлора в поточечном смысле. Основной результат (см. работы [15] и [Б21]) таков для каждого элемента найдется такой полином Ри-, что остаточный член Я = и — Р -1 удовлетворяет неравенству [c.173]

I = а + Ьх, то в зависимости от того, какие значения исполЬ зуются для определения а я Ь значения /, и fг+l или и -и для 6f/6x получаются формулы с разностями вперед или назад соответственно. Очевидно, что при линейной аппроксимации f нельзя получить выражение для 6 f/бд . Однако если использовать полином первой степени для построения разностных ана- [c.44]

Адекватный реальному полю геологического параметра вид функции можно установить, анализируя графики зависимости параметра от координат, построенные вдоль главных направлений изменчивости. Анализ можно выполнять визуально. Критерием правильности подбора функции для построения математической модели поля является наибольшее соответствие между этой моделью и ее характеристиками, с одной стороны, и оценками, полученными на основании экспериментальных данных, с другой. Этап построения модели поля включает выбор точки начала отсчета координат снятие координат точек и соответствующих оценок параметра с экспериментальной основы и перевод их на машинные перфокарты для ввода в ЭВМ. Положение точки начала отсчета координат во многом определяет устойчивость получаемых на ЭВМ решений, особенно когда в роли аппроксимирующих функций выступает экспоненциальная функция или неортогональный полином. [c.214]

Основной задачей метода планирования эксперимента является построение математической модели изучаемого процесса, которая задается функцией отклика в виде у = хг, х ,. ... х ), где X — факторы. Это уравнение в многомерном пространстве факторов, часто называемом факторным пространством, имеет некоторый геометрический образ — поверхность отклика и, следовательно, задача сводится к получению представления о поверхности отклика. Метод планирования эксперимента дает возможность получить полином п-й степени (функцию отклика) для математического описания исследуемого явления в некоторой локальной области многофакторного пространства. Полученную функцию отклика можно использовать также для оптимизации процессов [269], т. е. определять значения факторов, при которых явление или процесс будет протекать наиболее эффективно. [c.320]

Некоторое распространение для исследования систем со сосредоточенными параметрами получил метод амплитудно-фазовых характеристик, который с успехом может быть применен и к исследованию систем с распределенными параметрами (Я. 3. Цыпкин [2], В. В. Солодовников [3j). Однако указанный метод применяется лишь к системам, допускающим размыкание, и требует построения амплитудно-фазовых характеристик, что часто приводит к большим вычислениям. Н. Г. Чеботарев [4] и Л. С. Понтрягин [о] дали решение задачи Гурвица для трансцендентных уравнений вида Я (2, е )=0, где Р — полином, и указали несколько важных теорем. [c.129]

Рис.1.5.4. К вопросу построения иигерполирующего полинома для одномерной области а - одномерная область, разбитая на четыре конечных элемента б - интерполирующий полином для всей области в - локальные координатные функции, вызванные смещением лишь одной узловой точки

Рассмотрим примеры построения решений обратной плоской задачи теории ynpyi o TH с помощью алгебраических полиномов. Как было показано в предыдущем параграфе, решение плоской задачи в напряжениях сводится к бигармоническому уравнению (2.8). Очевидно, что полином [c.41]

Еще один высокоточный элемент описан е [166,16 . При его построении используется полином пятой степени для всех трех перемещений ( U, V,W ) с условием кубичного изменения норцаль-ных производных Un, V , WT вдсль края элемента. Для осей , (рис.1.8) пробные функции имеют 1зид [c.59]

Определение значени]1 функции, заданной таблицей, для значений аргумента, находящегося между двумя соседними табличными значениями, или построение тахой фуикции, которая для даины.х значений аргумента принимала бы данные значения, называется интерполировачие.м. Наиболее употребительной интерполяционной функцией является многочлен ф (л-) = a + ],v - -... Ч а х , а для периодических функций — тригонометрический полином. [c.74]

Подстановка этих рядов в граничные условия даёт последовательность рекуррентных соотношений, из которых определяются коэффициенты и а . Особенно просто решается задача в тех случаях, когда отображающая функция ш(С) есть полином. В этом случае система совместных уравнений, которую приходится решать, оказывается конечной. Важность этого случая для практических приложений заключается в том, что заданную область 6 можно апроксимировать с произвольной точностью областью S , отображаемой на круг при помощи полинома достаточно высокой степени п. На этом может быть построен метод приближённого решения задачи. Ограничившись здесь только этими общими замечаниями, мы займёмся изложением другого метода решения поставленных краевых задач, именно сведением их к некоторым функциональным уравнениям. Этот приём основан на приложении интегралов типа Коши. [c.229]

Критерий Рауса-Гурвица не всегда удобен для определения устойчивости. Так, для больших значений п приходится проделывать слишком громоздкие вычисления определителей и, следовательно, трудно записать условие устойчивости в общем виде. Кроме того, если система неустойчива, то трудно сказать, сколько имеется корней с положительной действительной частью, т.е. каков порядок неустойчивости. Хорошо бы иметь критерий, свободный от этих недостатков, который мог бы быть обобщен на распределенные системы (левая часть характеристического уравнения которых не полином, а квазиполином, т.е. полином по ехр6 р)). Для построения такого критерия удобен метод Д-разбиений. Он заключается в следующем. [c.136]

Примерами аппроксимаций, удовлетворяющих условию (3.3) при определенных п и (величина е выбирается в зависимости от желаемой точности), могут служить 1) отрезок ряда (8.35) гл. 2 2) отрезок ряда (1.1) 3) интерполяционный полином для т и т. д. Именно такие аиироксимации но существу использованы нами выше при построении решений уравнения (7.1) гл. 1 для больпшх %. [c.132]

В противном случае при определении старшего коэффициента Рд-2, -1(5) полинома Рд-2(5, V) возникает задача Штурма — Лиувилля на собственном адсле ) и при помощи указанной схемы этот полином, вообще говоря, построен быть не может. Напомним, что если условие (7.9) не выполняется, собственные значения в первом приближении оказываются многократно вырожденными. [c.225]

Развивались и другие подходы к построению матрицы жесткости элемента Т48. Так, в [10.1] вначале строится полный (двадцатиэлементный) кубический полином в объемных координатах, а далее в предположении, что перемещения меняются по квадратичному закону вдоль граней элемента, число членов доводится до 16. Для определения элементов в криволинейных координатах используются также различные метрики. В [10.2] полный квадратичный полином в объемных координатах (10 членов) дополнен шестью членами, взятыми из кубического разложения. [c.314]

Работа [12.38] послужила толчком к построению матриц жесткости треугольных элементов для расчета изгиба пластин на базе метода разбиения на подобласти, в котором элемент разбивается на треугольные подэлементы. Эти авторы использовали неполный (девятичленный) кубический полином в каждом из трех подэлементов, выбирая систему координат в каждом подэлементе так, чтобы не возникли трудности из-за отсутствия геометрической изотропии, и в том виде, чтобы обеспечить квадратичный характер изменения [c.367]

При построении несогласованных элементов требовались непрерывность прогиба w во всех точках на границе между элементами и совпадение углов наклона в общих узлах. Это всегда приводило по крайней мере к кубическому закону изменения ш. Если несколько ослабить какое-либо из этих требований, то появляются интересные возможности. Например, можно показать, что для треугольника с шестью узлами, в качестве шести степеней свободы которого приняты значения ш в угловых узлах и значения нормальной производной дт1дп в дополнительных узлах, определяется полный квадратичный полином. В результате получается простейший возможный элемент для [c.205]

Формулы (3.23) и (3.24) с учетом (3.21) и (3.22) в точности совпадают с формулами (3.8) и (3.12) второго порядка с цен-тральными разностями, полученными разложением в ряд Тей лора. Если предположить, что f — полином первой степени, т. е. f = а Ьх, то в зависимости от того, какие значения исполь зуются для определения а и Ь значения и +1 или и fг-l, для ЬЦбх получаются формулы с разностями вперед или назад соответственно. Очевидно, что при линейной аппроксимации f нельзя получить выражение для 6 /8х . Однако если использовать полином первой степени для построения разностных ана- [c.44]

Стандартное условие согласованности хорошо известно пробная функция и ее первые т—1 производных должны непрерывно продолжаться за границы элемента. Это условие, очевидно, достаточно для допустимости, так как т-е производные могут в худшем случае иметь скачок между элементами, а их энергия конечна. С другой стороны, пример loglog(l/г) показывает, что вряд ли это необходимое условие согласованности существуют функции, не обладающие т— 1 непрерывными производными, но принадлежащие и являющиеся допустимыми. К счастью, такие нехорошие функции не могут быть кусочно полиномиальными. Если о — полином. (или отношение полиномов) на каждой стороне границы элемента, то о принадлежит Ж тогда и только тогда, когда производные порядка, меньшего т, непрерывно продолжены за границу элемента. Залог успеха метода конечных элементов состоит в построении таких элементов, чтобы обеспечить удобный базис и одновременно высокую степень- аппроксимации. [c.93]

Докажем непрерывность построенных кусочно квадратичных элементов на сторонах треугольников. Доказательство очень простое. Вдоль каждой стороны у будет полиномом второй степени от одной переменной. На каждой стороне лежат 3 узла — две вершины и средняя точка. Полином второй степени тремя значениями в -узлах определяется однозначно. Для двух соседних треугольников эти значения одинаковы, а значения в остальных узлах не влияют на у вдоль стороны, так что непрерывность доказана. Для стороны, лежащей на внешней границе Г в задаче Дирихле, три узловые значения (а значит, и ве сь полином) равны нулю. [c.98]

Для непрерывных кусочно кубических элементов базис строится точно так же. Кубический полином двух переменных х я у определяется десятью коэффициентами и, в частности, значениями в десяти узлах (рис. 1.11,6). Опять-таки 4 узловых значения на каждой из сторон определяют однозначно кубический полином, заданный на этой сторове, и непрерывность обеспечена. Это треугольный аналог одномерных кубических элементов, построенных в разд. 1.6 (тех, которые только непрерывны и имеют 2 узла внутри каждого интервала). [c.99]

Остается так задать три дополнительных ограничения, чтобы производная по нормали у была непрерывна между треугольниками. Один способ — добавить к узловым параметрам значения у в середине каждой стороны. Так как у — полином четвертой степени от вдоль стороны, он однозначно определяется этим параметром вместе со значениями у и Vns на концах отрезка (нормаль в средних точках сторон треугольника при переходе в соседн> й треугольник тоже надо учесть). Эта конструкция приводит к полному пространству полиномов пятой степени класса построенному независимо по крайней мере в четырех работах. Оно обеспечивает точность по перемешению [c.103]

Сравнительный анализ разверток поля дает возможность качественно оценить эффективность аппроксимации экспериментальных данных выбранной функцией по всей территории, охваченной моделированием. На рис. 55 показана развертка поля, построенная путем его сечения вдоль генерального главного направления изменчивости. Теоретические значения числа пластичрюсти, нанесенные на этот график, отвечают полиномам второго — пятого порядков. График показывает, что полином пятого порядка дает равномерное приближение по всему сечению. Этого нельзя сказать о полиноме второго порядка. Сечение тренд-поверхности второго порядка слишком сглаживает экспериментальное или сечет его, не отражая флуктуаций последовательности, построенной по экспериментальным данным. [c.229]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...