Эквивалентность критических точек

Рис. 5.2. Схема застойной зоны, возникающей на выходе из вихревого свистка при Re < 300 (с - застойная точка, эквивалентная критической точке при обтекании осесимметричного тела)

Эквивалентность критических точек. Рассмотрим множество Оп ростков функций в точке ОеС". [c.12]

Очевидно, что коранги эквивалентных критических точек совпадают, поэтому коранг является простейшим инвариантом особенности. [c.13]

Параметры теплопередачи в критической точке торца можно определить, найдя эквивалентный радиус сферы / , при котором кривизна ударной волны на оси приблизительно одинакова с кривизной волны перед торцом [c.701]

Кроме использования критических параметров или связанных с критической точкой стандартных состояний можно также воспользоваться экспериментальными данными о рассматриваемом свойстве в двух произвольных точках. Математически это эквивалентно тому, что два независимых критических параметра, входящих в соответствующие уравнения (5.19), выражаются через значения рассматриваемого свойства в двух выбранных точках и поэтому образуется совокупность новых приведенных параметров. Такой подход особенно целесообразен в тех случаях, когда точные значения критических параметров неизвестны. [c.414]

При ускорении нагрева (рис. 102) величина уменьшается, а T.J растет, но величина всегда уменьшается. Этот вывод не изменится, если в процессе нагрева в теле будет происходить равномерное тепловыделение или теплопоглощение за счет протекания тех или иных превращений, например при переходе через критические точки. С теплотехнической точки зрения эти тепловые эффекты могут быть приближенно учтены введением величины эквивалентной теплоемкости с ж [c.192]

Эти критерии получаются из основных уравнений с учетом общей функциональной зависимости для т] и Я, путем, вполне аналогичным обычному совокупность критериев подобия остается при этом той же самой, т. е. не меняется. Существенно отметить, однако, что в выражение критериев подобия — в отличие от той формы, в которой они получались раньше в предположении о постоянстве вязкости и теплопроводности жидкости — входят не сами коэффициенты вязкости и теплопроводности, а только размерные множители приведенных выше общих функциональных зависимостей т) и X (или же, что эквивалентно, значения т) и А, в соответственных состояниях, например в критической точке). [c.15]

Задание распределения скорости на профиле эквивалентно заданию потенциала скорости (принимаемому равному нулю в передней критической точке S,) [c.170]

Механизм наводороживания алюминия при взаимодействии с влагой изучали А. А. Жуховицкий и др. [3]. Согласно полученным ими данным, образование водорода происходит на границе металла с окислом в результате окисления алюминия водяным паром. Поскольку окисная пленка на алюминии плохо проницаема, при окислении в образцах накапливается много водорода. Так, при 600° С и давлении водяных паров 18 мм рт. ст. содержание водорода в алюминии достигает значений, эквивалентных растворимости водорода при давлении 5—10 атм. В работе [232] рассмотрена задача о росте газовых пор в твердых металлах. Авторы исходили из того, что каждой температуре соответствует некоторое давление газа в порах, связанное с пластическими свойствами металла. Превышение этого давления ведет к увеличению объема пор. Если концентрация газов в растворе превышает критическую, то пора растет вследствие выделения в ней газа и повышения внутреннего давления. В противном случае растворенный газ и газ в порах находятся в равновесии. Увеличение объема поры приводит к уменьшению газового давления и в пору поступает новая порция газа, пока давление не повысится до критического. [c.165]

Основным критерием возникновения срыва на лопасти служат значения углов атаки или коэффициентов подъемной силы (рассматриваемые непосредственно либо представленные посредством эквивалентных параметров). Влияние срыва на винте заметно проявляется в тех случаях, когда на значительной части диска винта углы атаки сечений лопастей превысят критические углы для профилей. Расчет границ летных режимов винта на основании такого критерия является сложной задачей. Углы атаки изменяются по диску винта неравномерно, и их трудно рассчитать с удовлетворительной точностью, особенно для экстремальных режимов полета. Кроме того, на вращающейся лопасти срыв представляет собой более сложное аэродинамическое явление, чем на профиле крыла. Поэтому используемые для него критерии имеют эмпирическую основу. Срыв может диагностироваться на основе значений обобщенных характеристик работы винта, например параметров Ст/а и i. Если срыв охватывает лишь ограниченную часть диска винта, то предпочтительны более частные критерии. Установлен ряд таких критериев, в которых используется значение угла атаки сечения лопасти в некоторых критических точках диска винта. Однако лучше производить детальный расчет аэродинамических нагрузок лопастей при заданных условиях полета, используя описанную в гл. 14 схему определения сил при срыв-ном обтекании сечений. Но даже столь полный анализ, учитывающий упругие свойства лопастей, пока не дает адекватного представления о срыве, поскольку наши знания в этой области аэродинамики лопасти еше недостаточно полны. [c.796]

Вблизи критической точки соотношения (9.2.9) и (9.2.11) не эквивалентны, поэтому функционал энтропии S a) приходится строить специально, например, используя модельное выражение (9.1.76) для плотности энтропии. [c.234]

Для определения положения точки отрыва потребовалось применить искусственный математический прием (гл. VI, п. 6), физический смысл которого был выяснен [с использованием условия (1.16)] лишь недавно [7, гл. II, п. 5]. Для широкого класса двумерных препятствий, включая круговые цилиндры, следующие условия оказываются эквивалентными 1) отрыв происходит как можно ближе к критической точке, 2) давление минимально на поверхности каверны, 3) каверна имеет выпуклую форму, 4) кривизна каверны в точке отрыва конечна. [c.30]

Безотрывное равномерно дозвуковое обтекание профиля топологически эквивалентно обтеканию круга несжимаемой жидкостью [19]. Это означает, что линия тока ф = О разветвляется на профиле в двух критических точках О2, одна из которых (будем называть ее задней ) в соответствии с условием Жуковского-Чаплыгина, является острой кромкой крыла. [c.156]

Это равенство позволяет для каждого данного напряжения определить эквивалентные температуру и время до разрушения при условии, что протекающие при эквивалентной температуре -структурные изменения не отличаются существенно от тех, кото-рые происходят в течение более продолжительного срока при заданной (меньшей) температуре. Для перлитных сталей эквивалентная температура (превышающая заданную) не должна быть близка к критической точке Ас (во избежание сфероидизации), для аустенитных сталей она может превышать заданную не более чем на 50—70°, особенно в области температур, при которых происходят значительные структурные изменения (дисперсионное твердение, коагуляция избыточной фазы, образование о-фазы и т. п.). [c.266]

Перейдем от описания специальной ситуации систем с дискретным временем к общей постановке задач лагранжевой механики, сформулированной в 5.3. Мы хотим показать, что решение уравнения Лагранжа (5.3.2), переписанное ниже как (9.4.2), которое описывает ньютонову динамику, эквивалентно решению вариационной задачи, т. е. нахождению критических точек некоторого функционала. В отличие от случая дискретного времени, которым мы занимались до этого, естественно определенный функционал действия оказывается заданным на некотором бесконечномерном пространстве. Это приводит к существенным техническим усложнениям и требует развития локальной теории. Со временем мы научимся находить минимумы такого функционала действия (определенного ниже), как мы уже умеем делать в случае дискретного времени. Прежде всего найдем взаимосвязь между уравнением Лагранжа и вариационными задачами. [c.371]

Если же все седла не более чем двойные, то в теореме 14.7.4 можно добиться гладкой орбитальной эквивалентности. Сначала заметим, что если векторные поля одинаковы в окрестности критического множества, то возникающее в результате сопряжение также будет тождественным в этой окрестности. Таким образом, вблизи каждой критической точки можно найти локальную замену координат, которая переводит седло в стандартную форму. Для простого седла это аналог упражнений 6.6.4-6.6.5 для сл) ая непрерывного времени. Производя замену времени и аккуратно используя теорему Мозера 5.1.27, мы сводим проблему к случаю потоков, которые совпадают в окрестности критического множества. [c.490]

Несколько более тщательное использование этих соображений показывает, что левая и правая половины орбиты периода 2" нашей переплетенной системы переставляются отображением / для любого п 6 N. Кроме того, мы можем исследовать динамику орбиты периода восемь более подробно, рассматривая действие р на любой ее половине. Поскольку эти половины переставляются отображением /, такое действие корректно определено, и мы попадаем в ситуацию, аналогичную той, что встретилась нам в приведенном выше доказательстве, так что отсюда легко получить описание действия р на левой половине. Покажем, что левая половина ж.,..., а отображается в правую половину 15,..., а так, что /( а ,, а ) = а , х ) для г = 5 или г = 7 (т. е. пакетами ). Предполагая противное, мы в конце концов заключим, что должна существовать орбита периода шесть. Орбита периода восемь определяет шесть отрезков, не содержащих неподвижную точку переплетенной системы. Обозначая их символами от 7, до Ь, мы должны показать (в порядке рассмотрения представительного случая), что отношение 7, —> 7д запрещено. Но в этом случае должно выполняться условие 75 —> 7,, так как Р известно на левой половине орбиты и 7, — I. для / = 4, 5, 6, поскольку концы 1 обязательно переходят в критические точки правой половины. Так как 7 —>7, по крайней мере для одного / = 4, 5,6, мы получаем подграф Маркова 7, —> 7б /3 —> 7 . —> 7,, который содержит цикл длины шесть, вынуждая, по следствию 15.1.4, существование орбит периода шесть. Эквивалентная формулировка этого вывода состоит в том, что ни один из отрезков, содержащих точки периода четыре, не может покрыть под действием / отрезок, содержащий точки периода два. В общем случае те же самые соображения показывают, что ни один из отрезков, определенных орбитой периода 2"+ и содержащих точку периода 2" переплетенной системы, не может покрыть под действием / отрезок, содержащий точку системы периода 2" . [c.513]

Предложение 5. Пусть ф° — п-звенная периодическая траектория, соответствующая критической точке функции L на 1. Тогда следующие три условия эквивалентны [c.76]

Определение. Критические точки эквивалентны, если эквивалентны определяющие их ростки. Класс эквивалентности ростка в критической точке называется особенностью. [c.13]

Стабильная, эквивалентность Для вырожденной критической точки справедливо обобщение предыдущего результата лемма Морса с параметрами. [c.13]

Теорема (113]). В окрестности критической точки ко-ранга к голоморфная функция f (С , 0)- -(С, 0) эквивалентна функции [c.13]

Это позволяет определить отношение эквивалентности для критических точек разного числа переменных. [c.13]

Пример. Для невырожденной критической точки, как следует из леммы Морса, функция эквивалентна своему многочлену Тейлора степени 2. Таким образом, 2-струя функции с невырожденной критической точкой достаточна. [c.15]

Вещественные особенности. Рассмотрим пространство гладких вещественных функций с критическими точками О и критическими значениями 0. Под эквивалентностью функций, как и ранее, понимается принадлежность одной орбите действия на этом пространстве группы ростков вещественных диффеоморфизмов и определение стабильной эквивалентности (см. пп. 1.2, 4.3) - ------- --------- [c.34]

Аналогичное определение дается для ростков. Класс эквивалентности ростка в критической точке называется особенностью. [c.156]

В настоящей главе рассматриваются классификации относительно наиболее часто встречающихся и естественно возникающих групп эквивалентности. При этом основное внимание уделяется простым особенностям, а также топологии неособого слоя отображения и геометрии бифуркационных диаграмм. Многие свойства, на которых мы останавливаемся, аналогичны приведенным в [22] свойствам функций с изолированными критическими точками. Чтобы сделать изложение по возможности не зависимым от [22], мы в соответствующих местах напоминаем определения и конструкции, вводившиеся в [22] для изолированных особенностей функций и переносящиеся иа те особенности, к которым мы обращаемся в этой главе. [c.10]

Приме ром такой системы могут служить ферромаг-иетики, для которых можно записать уравнения (5-7) — (5-12), если в них провести замену эквивалентных физических величин Н—и( з—/7кр) М—>-(р—Ркр) X— — др/др)-, Сн— -с , где Н и М — напряженность магнитного поля и магнитный момент х=(дМ 1дН)т] Сн — магнитная теплоемкость. В бинарной двухфазной системе жидкость — жидкость (гл. 10) кривая сосуществования фаз вблизи критической точки раствора является симметричной параболой (в Т, х-диафамме). Точные [c.99]

Масштабная инвариантность в теории фазовых переходов 2-го рода. Эти переходы разбиваются на неск. классов, эквивалентности, причём в рамках одного класса особенности термодинамич. величин в совершенно разл. системах описываются одними и теми же степенными законами. Так, наир., изотропные ферромагнетики, антиферромагнетики и сегнетоэлектрики попадают в один класс эквивалентности, а критические точки жидкость — пар, двухкомпонентные растворы, изин-говский ферромагнетик — в другой. [c.61]

ПАР — газообразное состояние, в к-рое переходит вещество в результате испарения, сублимации или ки-пения. Процесс перехода конденсиров, вещества в П. наз. парообразоеанием. Обычно П. находится в контакте с конденсиров. фазой. Понятия газа и пара почти полностью эквивалентны к газам относят вещества при темп-ре выше критической (см. Критическая точка), поэтому при повышении давления газ не переходит в конденсиров. состояние. Процесс конденсации возможен лишь из парообразного состояния, т. е. при темп-ре ниже критической. [c.527]

Интересно отметить, что благодаря счастливой особенности метода годографа скорости в данной задаче построения струйного течения, которое лучше соответствует действительным условиям обтекания, чем рассмотренное выше сплошное потенциальное течение, вычисления оказываются проще отсутствует область двулистности в окрестности второй критической точки вторая особенность комплексного потенциала располагается на контуре годографа, поэтому упрощается расчет потенциала скорости требуется удовлетворять только одному условию совпадения передней критической и нулевой точек наконец, все построенные решетки эквивалентны друг другу, так как они отображаются на одну и ту же каноническую область. [c.128]

Анализ критических точек (точек бифуркаций), отвечающих при движении трещины смене микромеханизма разрушения в условиях подобия локального разрушения, с использованием концепции критической плотности энергии деформации позволил выявить однозначную связь между параметрами, контролирующими локальное и глобальное разрушения. Найденные соотношения и разработанная методология количественной фрактографии с учетом дискретности и автомодельности разрушения при возникновении локальной нестабильности позволяют с помощью микрофрактографических исследований решать важные инй енерные задачи, связанные с оценкой по микрофракто-графическим параметрам скорости и длительности роста усталостной трещины по механизму нормального отрыва, определением эквивалентных напряжений, склонности материала к хрупкому разрушению в точках бифуркаций, соответствующих смене микромеханизма разрушения, с установлением пороговой энергии на единицу длины трещины в этих точках. Это позволило разработать единые для сплавов на данной основе фрактографические карты, объединяющие мйкро- и макропараметры разрушения. [c.6]

В работе Шевчика эта задача решалась асимптотическим методом Толмина — Линя. Профиль скорости конвективного течения U x) обладает двумя критическими точками, в которых Сг= U (Сг — вещественная часть фазовой скорости). Поскольку (в отличие от течения Пуазейля) профиль U x) не является симметричным относительно точки максимума, разложения амплитуды в степенные ряды около критических точек не эквивалентны. Критические числа, определенные по разложениям около внутренней и внешней критических точек,- оказываются сильно различными и плохо согласуются с полученными в той же работе экспериментальными данными. [c.360]

Доказательство теоремы 1 основано на идеях КАМ-теории. Согласно 9, при малых > О инвариантные торы являются гиперболическими. При п = 1 они превращаются в периодические решения, и теорема 1 становится частным случаем теоремы Пуанкаре из п. 5 8. Действительно, условие 3) теоремы 1 при этом заведомо выполнено, а условие 1) совпадает с условием невырожденности кевозмущенной системы. Далее, невырожденность матрицы УК ПК эквивалентна двум условиям det V О и det(/i n/< ) ф 0. Первое из них сводится к условию невырожденности критической точки функции h, а второе эквивалентно второму из неравенств (8.15). Следовательно, применима теорема Пуанкаре. [c.240]

N 9 ) со значением хромоникелевого эквивалента (Сг,к/Ы1эк) данной стали. При этом сумма эквивалентного содержания хрома и никеля характеризует склонность стали к трещинообразованию, а хромоникелевый эквивалент — положение критических точек при нагреве и остывании, а также восприимчивость стали к горячим треш.инам. [c.55]

Уравнение Эйлера — Лагранжа эквивалентно требованию, чтобы его решение было критической точкой функционала F, определенного на множестве всех кривых [О, Т] —> М с данными граничными условиями, принадлежащих классу С . А priori такая критическая точка может не быть даже локальным, тем более глобальным миниумом. Ниже мы покажем, что если два граничных условия выбраны достаточно близкими, то существует единственное кратчайшее решение уравнения Эйлера — Лагранжа, которое на самом деле оказывается глобальным минимумом. Ситуация меняется, когда концы удалены друг от друга. Достаточно длинные отрезки решений уравнения Эйлера — Лагранжа, являющиеся траекториями, перестают быть минимумами. В 6 мы рассмотрим примеры орбит, которые являются глобально [c.373]

Таким образом, переход к отношению стабильной эквивалентности не меняет классификахши критических точек функ ций фиксированного числа переменных и позволяет сравнивать вырождения критических точек функций разного числа переменных. [c.14]

В голоморфном случае конечномерность локальной алгебры эквивалентна изолированности критической точки в буквальном смысле в некоторой окрестности критической точки других критических точек не содержится. [c.14]

Следующая теорема Тужрона утверждает, что любая функция в конечномерной критической точке эквивалентна многочлену. Она справедлива как в комплексном, так и в вещественном случае. [c.15]

Пример. Деформация F х, Х)=х +К ростка f x)=x нереальна. Действительно, всякая деформация f x) имеет вид G(j , n)=a(j , x)j 2-h (n)J -l-T(ix), ( , 0) = 1, (0) = г(0) =0. Диффеоморфизм переноеа координат g x, (i) =х— /2a переводит ее в эквивалентную деформацию, которая при каждом значении параметра х имеет невырожденную критическую точку в начале координат. По лемме Морса с параметрами, эта деформация эквивалентна деформации вида индуци- [c.18]

Пример. Из классификации особенностей вытекает, что особенность коразмерности 1 эквивалентна (стабильно) особенности Лг / (х) =j . Это значит, что в семействе функций общего положения, зависящем от одного параметра, при почта всех значениях параметра фунвдия будет иметь только морсов-ские критические точки и при отдельных изолированных значениях параметра могут появляться критические точки типа Az. [c.25]

Пусть ц—другая конечнократная особенность, О С"ХС -)-->С — ее версальная деформация, причем g примыкает к это означает, что в любой окрестности точки ОбС непусто множество / , состоящее из таких значений параметра хбС , что одна из близких к О критических точек функции С7(-,х) биголоморфно эквивалентна особенности f. Для любой неособой точки хо множества / , достаточно близкой к О, и для любой трансверсали Ь к множеству f в точке хо семейство функций 0(-,х), хбЬ, является версальной деформацией особой точки функция (3(-,хо). Следовательно, деформация Р эквивалентна индуцированной из этого семейства при некотором локальном голоморфном отображении ,0)-> L,кo). При этом Ф (Е(0))с 2( ) и возникает гомоморфивм колец ф (G)->--> (.F). Этот гомоморфизм зависит от выбора точки чо и индуцирующего отображения ф. [c.152]

Теорема ([57]). Для любого набора конечнократных особенностей /ь. .., /я и от п переменных найдется конечнократная особенность к такая, что h примыкает к g и в версальной деформации h неприводимо и непусто множество точек, соответствующ их функциям, имеющим вблизи О A различных критических точек с критическим значением О, почти эквивалентных соответственно fi,..., /. Именно, достаточно взять h= ==xi +...+Хп где i>n(fe(l-i-max(x(/i))—1) и настолько велико, что h примыкает к g. [c.155]

Самойленко А. М., Об эквивалентности гладкой функция полиному Тейлора в окрестности критической точки конечного типа, Функц. анализ и его прил., 1968, 2. № 4, 63—69 [c.240]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...