Двумерный тор н векторные поля на нем

Дивергентные схемы. При сквозном расчете разрывных решений уравнений газовой динамики с помощью искусственной вязкости или метода сглаживания сеточная аппроксимация, вообще говоря, может быть произвольной (но, конечно, устойчивой), так как в результате действия вязкости или сглаживания разрывное решение становится непрерывным и гладким (с формально математической точки зрения). Однако сглаженное решение обладает узкими переходными зонами, где велики производные и где погрешности аппроксимации при умеренна густой сетке могут быть значительными. Величина погрешности приближенного решения, обусловленная такими погрешностями, локализованными в узких переходных зонах, зависит от свойств используемой сеточной схемы. Наиболее выгодными оказываются дивергентные схемы. Опишем этот важный класс схем на примере модельного уравнения (6.5). Напомним, что при переходе от дифференциального уравнения (6.5) к интегральному соотношению (6.6) было использовано то обстоятельство, что левая часть уравнения (6.5), представляет собой дивергенцию некоторого векторного поля. Поэтому интеграл по двумерной области превратился в интеграл по одномерному контуру, ограничивающему область. Сеточные схемы, обладающие аналогичным свойством, называют дивергентными или консервативными. Суммируя дивергентные сеточные уравнения по двумерной сеточной области, получаем сеточную аппроксимацию контурного интеграла. [c.157]

Пример 2. Рассмотрим негиперболическую особую точку векторного поля с двумерным центральным многообразием и парой чисто мнимых собственных значений ограничение поля на центральное многообразие имеет нормализованную 3-струю, задающую уравнение вида [c.89]

Простейший пример нелокальной бифуркации на двумерной поверхности — появление седловой связки , когда выходящая сепаратриса одного седла пересекается при изменении параметра в некоторый момент с входящей сепаратрисой другого (и, следовательно, сливается с ней при этом значении параметра). При прохождении бифуркационного значения параметра сепаратрисы обеих седел меняются местами . Эта бифуркация встречается неустранимым образом в однопараметрических семействах векторных полей, т. е. является типичной. [c.97]

Нелокальные бифуркации на сфере однопараметрический случай. Начнем с определений. Пусть М — двумерная замкнутая гладкая поверхность, —множество С -гладких семейств -гладких векторных полей на М это множество состоит из С -отображений отрезка /=[0, 1]Эе в пространство уЛ(М). Семейство типично, если оно принадлежит множеству второй категории Бэра в [c.99]

Для векторных полей на двумерном торе установлен более слабый результат. [c.104]

Бифуркации на двумерной сфере. Многопараметрический случай. Хотя даже локальные бифуркации в высоких коразмерностях (начиная с трех) на диске полностью не исследованы, тем не менее, полезно затронуть вопрос о нелокальных бифуркациях в многопараметрических семействах векторных полей на двумерной сфере. При их описании возникает необходимость выделения множества траекторий, определяющих перестройки в семействе. [c.106]

Получим трехмерные многообразия и К , гомеоморфные друг другу и прямому произведению двумерного диска на 5 ), и векторные поля и соответственно. Легко проверяется, что [c.114]

Лемма ([30], [33]). Пусть в однопараметрическом семействе общего положения встретилось векторное поле с негиперболическим циклом, имеющим мультипликатор 1, объединение которого со всеми его гомоклиническими траекториями компактно. Тогда это объединение состоит из конечного числа (скажем, р) непрерывных двумерных многообразий, каждое из которых гомеоморфно тору или бутылке Клейна. Если цикл — типа узел [c.115]

Теорема. Пусть в теореме пункта 5.2 оба условия 1 и 2 нарушены, то есть при 0<О (о>0) ведущее неустойчивое (соответственно, устойчивое) направление комплексно (и двумерно). Тогда все векторные поля семейства достаточно близкие к критическому, имеют гиперболические инвариантные множества преобразование монодромии поля имеет при е=5 0 конечное число подков Смейла, неограниченно растущее при стремлении е к нулю и равное бесконечности для поля Vo. Каждое из полей при достаточно малом е имеет счетное множество гиперболических предельных циклов, устойчивые многообразия которых имеют такую же размерность, как устойчивое многообразие гиперболического седла. [c.137]

Векторные поля на двумерном торе. Класс систем Морса—Смейла на двумерном торе так же, как и на любой двумерной поверхности (см. 2), совпадает с классом структурно устойчивых (и грубых) систем. Поэтому любая негрубая система лежит на границе множества систем Морса—Смейла. [c.149]

Для общего двухпараметрического семейства векторных полей, в котором происходит рождение двумерного тора из цикла с мультипликатором е , ф О, я, 2я/3, л/2, можно показать, что бифуркационная кривая, отвечающая в этом семействе векторным полям с некоторым фиксированным иррациональным числом вращения, будет гомеоморфным и, как вытекает из [18] для почти всех чисел вращения, диффеоморфным образом отрезка. Может ли теряться гладкость этой кривой для некоторых (иррациональных) чисел вращения, неизвестно. [c.150]

Пример. Множество всех касательных векторов к двумерной поверхности Л/ образует двумерное векторное Р. (касательное Р.) 1 = ГЛ/. Векторное поле на № определяет сечение в Р. ГД/ . Классич. теорема Пуанкаре утверждает, что единственное замкнутое многообразие Л/ , допускающее гладкое касательное поле без особенностей на Л/ , — тор Г . Нетрудно доказать, что теорема Пуанкаре включает следующее утверждение только касательное Р, к Г есть прямое произведение. [c.284]

Pu . Векторное поле узловых скоростей в двумерном сечении (время процесса 5 мкс, максимальная скорость 212 3 м/с). [c.159]

Иллюстрацией к этому утверждению может служить следующее рассуждение. Рассмотрим на двумерном торе (р2 mod 2тг постоянное векторное поле [c.46]

В этой главе исследуются качественные свойства типичных вращений тяжелого твердого тела в случае Горячева-Чаплыгина, когда первые интегралы уравнений движения независимы. Найдены числа вращения касательных векторных полей на двумерных инвариантных торах. Показано, что нутация твердого тела — квазипериодическое движение, а собственное вращение и прецессия обладают главным движением. Если число вращения иррационально, то в случае быстрых вращений твердого тела главное движение линии узлов равно нулю. [c.148]

Многообразие Е ориентируемо. Значит, каждая связная компонента Е является двумерным тором (как всякое связное, ориентируемое, компактное двумерное многообразие, допускающее касательное векторное поле без особых точек см., например, [62]). [c.153]

Следует иметь в виду, что аналитическая система дифференциальных уравнений может иметь векторные поля симметрий конечной гладкости. В качестве примера рассмотрим на двумерном торе = Ж1,Ж2 mod 2тг динамическую систему вида [c.80]

Итак, рассмотрим необратимую систему с двумерным тором в качестве конфигурационного пространства. Уточняя классический результат Биркгофа [18, гл. Н], укажем критерий существования многозначного линейного интеграла. Под многозначным интегралом мы понимаем замкнутую 1-форму на фазовом пространстве, производная от которой вдоль векторного поля обращается в нуль. Целесообразность рассмотрения многозначных интегралов обусловлена двумя причинами [c.374]

Элементы теории монотонных векторных полей. Рассмотрим семейство достаточно гладких векторных полей 9 в области В двумерной ориентированной римановой поверхности. В касательном пространстве Т р каждой точки д еВ можно измерять углы между векторами рассматриваемого семейства. [c.109]

Векторное поле В (с, а) дается в двумерном случае формулой [c.299]

Обсудим простой пример, показывающий, что требование близости сопрягающего отображения к тождественному в определении модуля вполне разумно. Рассмотрим линейный поток (1.5. на двумерном торе. Он порождается постоянным векторным полем ы, -Ь Очевидно, что если угловые коэффициенты двух таких потоков равны, то онн имеют одни и те [c.79]

Далее мы покажем, как в двумерном случае для потоков, сохраняющих площадь, асимптотический цикл может быть расширен до инварианта, дающего законченную локальную (в пространстве векторных полей) классификацию с точностью до гладкой орбитальной эквивалентности. [c.488]

Замечание. Пусть для векторного поля на двумерной поверхности существует контур. Если Qj — положение равновесия, то оно либо седло, либо седло-узел, а если цикл, то — с мультипликатором +1". Если в состав контура входнт более одного положения равновесия или одного цикла, то векторное поле принадлежит множеству коразмерности, не меньшей двух, в пространстве векторных полей. Действительно, если в состав такого контура входит t циклов, i6 0 1 2 , то существует не менее (2—I) сепаратрис, соединяющих соседние седла или седло-узлы. [c.93]

Определение ([201]). Векторное поле на двумерной поверхности называется квазиобщим, если неблуждающее множество порождаемой им динамической системы состоит из конечного числа положений равновесия и циклов, причем выполнено одно из двух условий [c.100]

Теорема. Множество квазиобщих векторных полей на двумерной сфере или проективной плоскости плотно в множестве всех негрубых векторных полей с внутренней топологией. [c.101]

Точки накопления бифуркационных значений в семействе из ф - -(Л ) и бифуркации в окрестностях этих точек могут быть рассмотрены аналогично соответствующим бифуркациям в семействе Ф (5 ), по крайней мере, если поверхность ориентируема [169]. Однако для поверхностей, на которых система может иметь нетривиальные (т. е. отличные от положения равновесия и цикла) устойчивые по Пуассону траектории, т. е. для всех поверхностей, кроме сферы S , проективной плоскости и бутылки Клейна К , в типичном однопараметрическом семействе могут неустранимым образом встречаться векторные поля с бесконечным неблужающим множеством. Бифуркации в таких семействах совершенно не описаны, кроме бифуракций систем с глобальной секущей на двумерном торе (см. следующий пункт). Однако известно, что существуют типичные однопараметрические семейства на поверхностях, отличных от S , Р , К , которые содержат негрубые векторные поля бесконечной степени негрубости (С. X. Арансон, Функц. анализ и его прил., 1986, 20, № 1, 62—63). Для систем на справедлив следующий результат. [c.103]

В [84] построено однопараметрическое семейство U векторных полей на бутылке Клейна и двумерном торе, в котором, происходит катастрофа голубого неба, причем на бутылке Клейна семейство является типичным, а поле Vi — квазиобщим оно имеет двукратный предельный цикл L, а все остальные-траектории— двоякоасимптотические к нему (при е=1 на бу- [c.105]

Пространства состояний упругой системы как линейные и аффинные пространства. Совокупность возможных состояний упругой системы (т. е. полей перемещений, усилий, деформаций, функций напряжений), среди которых отыскивается нстниное состояние, целесообразно рассматривать как линейное (векторное) пространство (пространство состояний, см. гл. 2). liro элементами являются трехмерные (или двумерные) векторные или тензорные функции и(г), а (г) и т. д. положения точки в области V, занимаемой упругим телом (или в области S, занимаемой базисной поверхностью оболочки) здесь т—радиус-вектор точки в какой-либо декартовой системе координат. Таким образом, различные пространства состояний упругой системы являются пространствами функций, определенных на V или S (функциональными пространствами) н имеют бесконечную размерность. [c.204]

Используя обозначения компонент векторного поля скорости, указанное на рис. 51, ваписать в матричной форме интерполяционные зависимости для двумерного и трехмерного симплекс-элементов. Решение. В двумерном симплекс-элементе горизонтальная составляющая скорости v аппроксимируется выражением [c.212]

При /X = О инвариантная поверхность является двумерным тором и фазовое векторное поле на нем имеет два замкнутых цикла 71 и 72, которые, конечно, совпадают с постоянными вращениями вокруг средней оси инерции Г1 и Г2. Циклы 71 и 72 невырождены, что следует из невырожденности периодических решений Г1 и Г2. При малых /х инвариантный тор не исчезнет, а лишь немного изменит свое положение в фазовом пространстве. Так как векторное поле на [c.105]

Замечание. Число вращения векторных полей на двумерных инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо вычислены в 2 гл. II. Нетрудно показать, что в случае Лаигранжа-Пуассона числа вращения равны отношению периода изменения угла нутации к периоду среднего собственного вращения. [c.206]

Пусть теперь поверхность М является двумерным тором Т , на котором введены угловые изотермические координаты 51,52 rnod 2тг. Оператор дифференцирования вдоль гамильтонова поля V имеет вид (7.1). Пусть и—векторное поле с оператором [c.157]

Во второй главе затрагиваются некоторые вопросы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, от решений которых зависит исследование как (чисто) диссипативных динамических систем, так и систем с переменной диссипацией, рассматриваемых ниже и возникающих в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой. Рассматриваются такие проблемы как бифуркация рождения предельного цикла из слабого фокуса наличия замкнутых траекторий, в том числе, таких, которые охватывают фазовый цилиндр качественные вопросы теории топографических систем Пуанкаре и более общих систем сравнения проблемы существования и единственности траекторий, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно удаленные точки для систем на плоскости элементы качественной теории монотонных векторных полей, а также вопросы существования семейств дпинноперио-дических и устойчивых по Пуассону траекторий. Исследуются также возможности перенесения теории двумерных топографических систем Пуанкаре и систем сравнения на многомер-ныйслучай(см. также[168,250, 251, 266, 291, 300]). [c.69]

Если на плоскости (2.39) у системы (2.40) вблизи начала координат есть предельный цикл, то возникает вопрос появятся ли у общей системы третьего порядка в области (х ,Х2,Хз)е X, >О, Х3 >0 какие-либо нетривиальные предельные множества В общем случае данный вопрос достаточно сложный, но, используя трехмерную топографическую систему Пуанкаре как совокупность (двумерных) поверхностей уровня функции К=х, +х +Хз, Л е7 , вблизи начала координат и исследуя знак скалярного произведения (gradV x),v), где V — векторное поле исследуемой трехмерной системы, можно поймать предельные циклы не только вблизи особой точки (см. также [116,125]). [c.137]

Предположим, что область течения D двумерна и ориентирована. Метрика и ориентация задают на D симплектическую структуру, векторное поле скоростей имеет дивергенцию нуль и потому гамильтоново. Следовательно, это поле задается функцией Гамильтона (вообще говоря, многозначной, если область D неодносвязна). Функция Гамильтона поля скоростей называется в гидродинамике функцией тока и обозначается через т 5. Таким образом, [c.299]

Доказательство этой теоре ш основано на том, что индекс векторного поля градиента гладкой функции двух переменных в изолированной критической точке не может быть больше единицы (хотя может быть равен 1, О, —1, —2, —3,. . .), а сумма индексов всех неподвижных точек сохраняющего ориентацию диф оморфизма двумерной сферы на себя равна двум. [c.388]

Этот параграф посвящен классификации компактных поверхностей (двумерных многообразий) с различных точек зреиня. Каждая ориентируемая компактная поверхность гомеоморфна пространству, полученному из сферы вклейкой нескольких ручек. Вклейка ручки означает удаление двух непересекающихся дисков из сферы и отождествление пары возникающих в результате окружностей с граничными окружностями цилиндра. Число g вклеенных ручек называется родом поверхности и является топологическим инвариантом. Как дифференцируемые многообразия, поверхности определяются своим родом с точностью до диффеомтфизма. Род связан с эйлеровой характеристикой х поверхности соотношением х = 2 - 2j. Эйлерова характеристика может быть определена различными способами. Во-первых, можно рассмотреть триангуляцию поверхности (см. определение П 7.1), т. е. представление поверхности в виде полиэдра с треугольными гранями. Пусть / — число граней, е — число ребер и v — число вершин этого полиэдра. Тогда х=/-еЧ-и их не зависит от триангуляции. (На самом деле X = - А + А) — числа Бетти (определение П 7.4). Для поверхности рода g мы иые-ем Д, = / = 1 и так что х = 2-2д.) Во-вторых, можно рассмотреть векторное поле [c.713]

Эта теория принадлежит Пуанкаре (второй мемуар [257]) и Бенедиксону [39]. В первой половине нашего столетня дифференциальная динамика обычно называлась качественной теорией обыкновенных дифференциальных уравнений и анализ векторных полей в случае размерности два (в частности, на плоскости и на торе) рассматривался как одно нз центральных наггоавлений в теории, как, например, это представлено в таких классических трудах, как [66] н [223]. К числу главных достижений этого периода относятся теория Данжуа для потоков (см. предложение 14.2.4), анализ структурной устойчивости двумерных потоков, данный Андроновым и Понтрягиным [13], конструкция потока Черри (п. 14.4 а) и классификация Майера орбит потоков на поверхностях высшего рода [186]. Позже, в связи с лучшим пониманием гиперболической теории, теория потоков на поверхностях отошла на второй план. [c.732]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...