Число Бетти

Размерность пространства Н (Л/, К) называется -мерным числом Бетти многообразия М оно обозначается Ьк М) или просто Ьк. Например, если М—п-мерный тор Т", то Ьк = (см., например, [54]). По теореме двойственности Пуанкаре Ьк = Ьп-к- Для связных многообразий 6о = = 1- Эйлерова характеристика выражается через числа Бетти по формуле М) = [c.136]

Если дМ = 0, то мы снова получим теорему 1 1. Теорема 1 настоящего параграфа сначала была установлена автором в предположении, что первое число Бетти поверхности М больше двух. Затем С. В. Болотин заменил это условие более слабым х(М ) < < О, где X — эйлерова характеристика [25]. [c.142]

Следствие 1. Система (9.1) на замкнутом трехмерном многообразии с нулевым первым числом Бетти, допускающая нетривиальное поле симметрий, не может быть эргодической. [c.174]

Размерность пространства (М, R) называется к-мерным числом Бетти многообразия М. [c.173]

Задача 18. Найти одномерное число Бетти тора = S - у. S . [c.173]

Ранг этой группы также равен й -мерному числу Бетти многообразия М ( теорема Де Рама ). [c.174]

Доказательство. Числа Бетти для 3 имеют вид = 1 [c.335]

Определение П7.4. Группа Hl (М, Z) = = Z,. 3 называется к -й группой гомологий М с целыми коэффициентами. Как и всякая конечно порожденная абелева группа, может быть представлена в виде ф F, где F — конечная абелева группа. Группа Z тогда называется свободной частью Я , и число j3i называется к -м числом Бетти. [c.717]

Пример. Для 5" числа Бетти имеют вид Д, = /3 = 1 н /3 =0, 0<к <т. [c.718]

Пример. Для шара единственное отличное от нуля число Бетти =1, так как он гомотопен точке. [c.718]

Если, напротив, все циркуляции положительны, используя идею Паль-мора [13], можно найти нижнюю предельную оценку числа относительных состояний равновесия. Гамильтониан стремится к нулю на диагонали А, а все критические точки гамильтониана Н лежат на компактном подмножестве пространства — А. Если гамильтониан представляет собой функцию Морса (все критические точки являются невырожденными), то нижнюю предельную оценку числа этих критических точек и их индексов можно рассчитать, используя числа Бетти пространства — А. [c.348]

Максвелла теорема о взаимности перемещений 143 Маха число 658 Метод Бетти 254 = Колосова 357 [c.861]

Перейдем к выводу формул Бетти. Пусть есть конечная область трехмерного пространства, заполненная упругой средой, 5 — ее граница, п — единичный вектор внешней нормали к поверхности 5, (18 — элемент поверхности и о — элемент объема. Пусть аир — произвольные действительные числа, ограниченные единственным условием [c.15]

Покажем теперь, что собственные частоты однородных задач (0°) и (Т )—неотрицательные числа. Пусть ш и ш — некоторые собственные числа соответственно задач (0°) и (Т°), а (х) и (х) — соответствующие решения уравнений (6.410) и (6.420). Подставим эти значения u( >(x) и и( >(х) в формулу Бетти (1.9 ), в обоих случаях в силу граничных условий получим [c.185]

Этот параграф посвящен классификации компактных поверхностей (двумерных многообразий) с различных точек зреиня. Каждая ориентируемая компактная поверхность гомеоморфна пространству, полученному из сферы вклейкой нескольких ручек. Вклейка ручки означает удаление двух непересекающихся дисков из сферы и отождествление пары возникающих в результате окружностей с граничными окружностями цилиндра. Число g вклеенных ручек называется родом поверхности и является топологическим инвариантом. Как дифференцируемые многообразия, поверхности определяются своим родом с точностью до диффеомтфизма. Род связан с эйлеровой характеристикой х поверхности соотношением х = 2 - 2j. Эйлерова характеристика может быть определена различными способами. Во-первых, можно рассмотреть триангуляцию поверхности (см. определение П 7.1), т. е. представление поверхности в виде полиэдра с треугольными гранями. Пусть / — число граней, е — число ребер и v — число вершин этого полиэдра. Тогда х=/-еЧ-и их не зависит от триангуляции. (На самом деле X = - А + А) — числа Бетти (определение П 7.4). Для поверхности рода g мы иые-ем Д, = / = 1 и так что х = 2-2д.) Во-вторых, можно рассмотреть векторное поле [c.713]

Собственные функции классической системы могут быть всюду разрывны (см. пример А. И. Колмогорова [1]), но если они непрерывны, то ранг дискретного спектра меньше или равен первому числу Бетти Ьх = (11т7 1(М, пространства М. Более точно, справедлива следующая теорема. [c.145]

При наличии замкнутых траекторий, неравенства (3) — для систем М.—С. они называются неравенствами Морса—Смейла— сохраняются со следующими модификациями под понимается сумма числа положений равновесия индекса i и числа замкнутых траекторий индексов i и i-hl если среди замкнутых траекторий имеются закрученные или обращающие ориентацию, то числа Бетти надо брать иад полем характеристики два. Если же замкнутых траекторий нет, то неравенства (3) и их уточнение (с 6i + < + i i) сохраняются дословно (т< теперь — число периодических точек индекса i). [c.197]

В таблицах Ьп — среднее число Бетти неособого ело Смысл последнего столбца будет объяснен позже. Нормал ные формы серий изолированных особенностей, предельн] члены которых появляются в нашей классификации, см. [20] или [22, гл. 1]. [c.80]

Рассмотрим полное пересечение (или его неособый слой Милнора) как гиперповерхность уровня некоторой функции на полном пересечении, размерность которого на 1 превосходит размерность исходного полного пересечения. Критические точки этой функции определяют исчезающие циклы в средних гомологиях слоя Милнора и системы отмеченных циклов. В общем случа , однако, эти системы не являются базисами, так как число критических точек больше чем среднее число Бетти слоя. [c.181]

D. D. Ang [77], ]VI. Mitra [119]. При этом удается использовать фактически тот же математический аппарат, что и для неподвижной нагрузки. Отмечается зависимость характера решения от диапазона, в котором лежит скорость движения нагрузки (О < У < С2 — дозвуковая скорость, 2трансзвуковая скорость, V > i — сверхзвуковая скорость), и, в том числе, наличие разрывов при У = Сд. R. С. Payton [124] в аналогичной задаче использовал в пространстве преобразований Лапласа теорему взаимности Бетти-Релея. [c.353]

В общем случае поставленная задача представляет собой пространств, задачу У. т., решение к-рой трудно осуществимо. Точные аналитич. решения имеются лишь для нек-рых частных задач об изгибе и кручении бруса, о контактном взаимодействии двух тел, о концентрации напряжений, о действии силы на вершину конич. тела и др. Т. к. ур-ния У. т, являются линейными, то решение задачи о совместном действии двух систем сил получается путём суммирования решений для каждой из систем сил, действующих раздельно (принцип суперпозиции). В частности, если для к.-н. тела найдено решение при действии сосредоточенной силы в к.-л. произвольной точке тела, то решение задачи при произвольном распределении нагрузок получается путём суммирования (интегрирования). Такие решения получены лишь для небольшого числа тел (неограниченное пространство, полупространство, ограниченное плоскостью, и нек-рые др.). Предложен ряд аналитич. методов решения пространственной задачи У. т. вариационные методы (Ритца, Бубнова — Галёркина, Кастильяно и др.), метод упругих потенциалов, метод Бетти и др. Интенсивно разрабатываются численные методы (конечно-разностные, метод конечных элементов и др.). Разработка общих методов решений пространственной задачи У. т.— одна из н-аиболее актуальных проблем У. т. [c.788]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...