Векторные поля на двумерном торе

Для векторных полей на двумерном торе установлен более слабый результат. [c.104]

Векторные поля на двумерном торе. Класс систем Морса—Смейла на двумерном торе так же, как и на любой двумерной поверхности (см. 2), совпадает с классом структурно устойчивых (и грубых) систем. Поэтому любая негрубая система лежит на границе множества систем Морса—Смейла. [c.149]

В этой главе исследуются качественные свойства типичных вращений тяжелого твердого тела в случае Горячева-Чаплыгина, когда первые интегралы уравнений движения независимы. Найдены числа вращения касательных векторных полей на двумерных инвариантных торах. Показано, что нутация твердого тела — квазипериодическое движение, а собственное вращение и прецессия обладают главным движением. Если число вращения иррационально, то в случае быстрых вращений твердого тела главное движение линии узлов равно нулю. [c.148]

Пример. Множество всех касательных векторов к двумерной поверхности Л/ образует двумерное векторное Р. (касательное Р.) 1 = ГЛ/. Векторное поле на № определяет сечение в Р. ГД/ . Классич. теорема Пуанкаре утверждает, что единственное замкнутое многообразие Л/ , допускающее гладкое касательное поле без особенностей на Л/ , — тор Г . Нетрудно доказать, что теорема Пуанкаре включает следующее утверждение только касательное Р, к Г есть прямое произведение. [c.284]

Иллюстрацией к этому утверждению может служить следующее рассуждение. Рассмотрим на двумерном торе (р2 mod 2тг постоянное векторное поле [c.46]

Следует иметь в виду, что аналитическая система дифференциальных уравнений может иметь векторные поля симметрий конечной гладкости. В качестве примера рассмотрим на двумерном торе = Ж1,Ж2 mod 2тг динамическую систему вида [c.80]

Обсудим простой пример, показывающий, что требование близости сопрягающего отображения к тождественному в определении модуля вполне разумно. Рассмотрим линейный поток (1.5. на двумерном торе. Он порождается постоянным векторным полем ы, -Ь Очевидно, что если угловые коэффициенты двух таких потоков равны, то онн имеют одни и те [c.79]

Итак, рассмотрим необратимую систему с двумерным тором в качестве конфигурационного пространства. Уточняя классический результат Биркгофа [18, гл. Н], укажем критерий существования многозначного линейного интеграла. Под многозначным интегралом мы понимаем замкнутую 1-форму на фазовом пространстве, производная от которой вдоль векторного поля обращается в нуль. Целесообразность рассмотрения многозначных интегралов обусловлена двумя причинами [c.374]

Замечание. Число вращения векторных полей на двумерных инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо вычислены в 2 гл. II. Нетрудно показать, что в случае Лаигранжа-Пуассона числа вращения равны отношению периода изменения угла нутации к периоду среднего собственного вращения. [c.206]

Точки накопления бифуркационных значений в семействе из ф - -(Л ) и бифуркации в окрестностях этих точек могут быть рассмотрены аналогично соответствующим бифуркациям в семействе Ф (5 ), по крайней мере, если поверхность ориентируема [169]. Однако для поверхностей, на которых система может иметь нетривиальные (т. е. отличные от положения равновесия и цикла) устойчивые по Пуассону траектории, т. е. для всех поверхностей, кроме сферы S , проективной плоскости и бутылки Клейна К , в типичном однопараметрическом семействе могут неустранимым образом встречаться векторные поля с бесконечным неблужающим множеством. Бифуркации в таких семействах совершенно не описаны, кроме бифуракций систем с глобальной секущей на двумерном торе (см. следующий пункт). Однако известно, что существуют типичные однопараметрические семейства на поверхностях, отличных от S , Р , К , которые содержат негрубые векторные поля бесконечной степени негрубости (С. X. Арансон, Функц. анализ и его прил., 1986, 20, № 1, 62—63). Для систем на справедлив следующий результат. [c.103]

В [84] построено однопараметрическое семейство U векторных полей на бутылке Клейна и двумерном торе, в котором, происходит катастрофа голубого неба, причем на бутылке Клейна семейство является типичным, а поле Vi — квазиобщим оно имеет двукратный предельный цикл L, а все остальные-траектории— двоякоасимптотические к нему (при е=1 на бу- [c.105]

При /X = О инвариантная поверхность является двумерным тором и фазовое векторное поле на нем имеет два замкнутых цикла 71 и 72, которые, конечно, совпадают с постоянными вращениями вокруг средней оси инерции Г1 и Г2. Циклы 71 и 72 невырождены, что следует из невырожденности периодических решений Г1 и Г2. При малых /х инвариантный тор не исчезнет, а лишь немного изменит свое положение в фазовом пространстве. Так как векторное поле на [c.105]

Двумерный тор и векторные поля на нем. Мы будем рассматривать векторные поля на торе Т = х, y)mod2n , для которых первая компонента не равна нулю. Всякое векторное поле без особых точек и циклов на двумерном торе превращается после подходящей замены координат в векторное поле с ненулевой первой компонентой (Зигель (С. L. Siegel), см. 7, [62]). Это, вообще говоря, не так для векторных полей без особых точек, но с циклами (рис. 10). [c.45]

Пусть теперь поверхность М является двумерным тором Т , на котором введены угловые изотермические координаты 51,52 rnod 2тг. Оператор дифференцирования вдоль гамильтонова поля V имеет вид (7.1). Пусть и—векторное поле с оператором [c.157]

Эта теория принадлежит Пуанкаре (второй мемуар [257]) и Бенедиксону [39]. В первой половине нашего столетня дифференциальная динамика обычно называлась качественной теорией обыкновенных дифференциальных уравнений и анализ векторных полей в случае размерности два (в частности, на плоскости и на торе) рассматривался как одно нз центральных наггоавлений в теории, как, например, это представлено в таких классических трудах, как [66] н [223]. К числу главных достижений этого периода относятся теория Данжуа для потоков (см. предложение 14.2.4), анализ структурной устойчивости двумерных потоков, данный Андроновым и Понтрягиным [13], конструкция потока Черри (п. 14.4 а) и классификация Майера орбит потоков на поверхностях высшего рода [186]. Позже, в связи с лучшим пониманием гиперболической теории, теория потоков на поверхностях отошла на второй план. [c.732]

Укажем основные моменты доказательства. Поскольку векторное поле f касается М то дифференциальное уравнение (23) можно ограничить иа Мс. Это уравнение на Мс будет иметь инвариантную меру.(см. гл. I, п. 3.6 там же приведена явная формула для плотности инвариантной меры). Интегрируемость в квадратурах на Мс вытекает теперь нз замечания Эйлера. Заключение 1 теоремы 13 (отмеченное впервые Якоби) тем самым доказано. Заключение 2 составляет известный топологический факт, что всякое связное, компактное, ориентируемое двумерное многообразие, допускающее касательное поле без особых точек, диффеоморфно двумерному тору. Заключение 3 фактически является теоремой Колмогорпва [87][ [c.146]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...