Регулярные и нерегулярные решения

Регулярные и нерегулярные решения [c.308]

Если в радиальное уравнение Шредингера вместо г ввести новую переменную г = Г", то получим уравнение того же вида, но только перед будет стоять множитель г". Таким образом, точка г = оо является нерегулярной особой точкой. Вследствие этого любое решение уравнения имеет существенную особенность на бесконечности. Для нас более важно то, что поведение решений качественно зависит от знака сингулярного члена уравнения с Если отрицательно, то на бесконечности одно решение быстро стремится к нулю (оно регулярное), а другое неограниченно возрастает (оно нерегулярное). Если положительно, то оба решения осциллируют на бесконечности и невозможно провести различия между регулярным и нерегулярным решениями. [c.363]

В отличие от несингулярного случая это можно сделать, так как, согласно (12.210), произведение регулярного и нерегулярного решений в окрестности точки г = О ведет себя как [c.367]

Воспользуемся символическими обозначениями, аналогичными введенным в гл. 15, 2, п. 2 только теперь мы будем использовать символические обозначения также и для матрицы волновых чисел. Запишем в этих обозначениях интегральные уравнения для регулярного и нерегулярного решения. Индекс / мы опустим, так как сейчас в первую очередь нас интересует не угловой мо.мент мы рассмотрим уравнения при некотором фиксированном значении /. Для регулярного решения мы имеем интегральное уравнение [c.469]

При решении краевых задач, естественно, возникает вопрос о разностной аппроксимации краевых условий. Допустим, что решается краевая задача для некоторой области, которая заменяется совокупностью узлов (среди них будут такие, которые окажутся расположенными на границе области и за ее пределами). Оставшиеся узлы делятся на две группы, называемые регулярными и нерегулярными. К первой относятся такие узлы, для которых образованные шаблоны будут состоять только из внутренних узлов, ко второй группе — остальные. В нерегулярных узлах следует получить разностные соотношения, приближенно эквивалентные краевым условиям. Наиболее простой и. [c.173]

Имеются, однако, две причины, по которым приближение (11.40а) приносит значительно меньшую пользу. Во-первых, если становятся заметными волны с высокими угловыми моментами, то энергия должна быть столь высокой, что формула (11.40) перестает служить хорошим приближением для фазы s-волны. Поэтому в первую очередь ее нужно улучшить, но при этом в ней следующие члены будут зависеть уже от формы потенциала. Во-вторых, если ф вводить с помощью определения, аналогичного (11.37), но соответствующего другим значениям угловых моментов, то благодаря наличию центробежного барьера интеграл, аналогичный фигурирующему в (11.39), уже не будет обращаться в нуль вне области взаимодействия. С другой стороны, если принять, что Ф совпадает с волновой функцией, являющейся точным решением во внешней области, т. е. соответствующей комбинацией регулярной и нерегулярной функций Риккати — Бесселя, то при г —> О она будет стремиться к бесконечности [c.289]

Определение регулярной и нерегулярной функций граничными условиями (12.2) и (12.15) н исследование их свойств посредством решения соответствующих интегральных уравнений методом итераций принадлежит Иосту [448] и Левинсону [529]. [c.369]

В данном параграфе мы исследуем зависимость элементов 5 [к) S- матрицы от углового момента I, который будем считать непрерывным (действительным) параметром. Как было отмечено в 2, полученные там результаты справедливы также при нецелочисленных значениях I. Необходимо только, чтобы выполнялось неравенство I > — Указанное ограничение возникает вследствие наличия граничного условия (12.132), накладываемого на регулярное решение. Ситуация здесь аналогична той, которая имеет место для функции / к, г), рассматриваемой как функция переменного к. Мы знаем, что нерегулярное решение в точке л = О ведет себя как r . Когда I > — V2, функция больше функции Следовательно, в этом случае граничное условие (12.132) позволяет однозначно выделить регулярнее решение. С другой стороны, если I < — V2, то больше л" и с помощью граничного условия (12.132) нельзя однозначно выделить регулярное решение, так как нельзя исключить произвольную примесь второго решения. [c.355]

Как известно, существует два линейно независимых решения, которые в начале координат ведут себя как г г+ь Если больше нуля, то одно из этих решений регулярное, а второе нерегулярное ). Очевидно, положительно, если а > О т. е. когда потенциал Т/ в окрестности начала координат соответствует отталкиванию. Кроме того, 2 > О, если а < О, но — а< 1 - /г) , т. е. когда потенциал соответствует довольно слабому притяжению. Однако если притяжение становится достаточно сильным в том смысле, что начинает выполняться неравенство — а > (/ + 72) , то Ь будет мнимым и оба решения будут вести себя как г -/- ехр (+1 Ь 1 1п г). Оба эти решения осциллируют, и не существует никакого физического критерия, позволяющего предпочесть одно решение другому. Более того, оба решения радиального уравнения ведут к решениям трехмерного уравнения Шредингера. [c.366]

Считая, что потенциалы и в выражении (15.96) постоянны при г< Гд, иайти регулярное матричное решение Ф1 для j = 1 путем разложения в окрестности точки г = 0. Аналогичным образом найти линейно независимое нерегулярное решение. [c.437]

Рассеяние света происходит также на свободной поверхности (на границе раздела жидкость—воздух) жидкости и на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей. На возможность такого рассеяния указал Смолуховский еще в 1908 г. Однако это явление им не было обнаружено и теория явления не была разработана. Этот вопрос рассеяния света как экспериментально, так и теоретически был решен Л. И. Мандельштамом . Он пишет Ниже мне хотелось бы подробнее обсудить вопрос, относящийся к форме поверхности жидкостей. Поверхность жидкости, которая при идеальном равновесии должна быть, напрнмер, плоской, вследствие нерегулярного теплового движения непрерывно деформируется. Если заставить отражаться от такой поверхности световой луч, то наряду с регулярным отражением должно появиться н диффузионное. Достаточны уже очень малые — по сравнению с длиной волны — шероховатости, чтобы это рассеяние обладало заметной величиной . [c.321]

Представляется естественным к точкам, в которых нарушается регулярность решения, относить и те точки, в которых происходит изменение характера краевых условий (даже, если сама граница гладкая). Указанные особенности нельзя выявить заранее, однако весьма важные сведения могут быть все же получены. В работе [122], относящейся к поведению решения общих эллиптических краевых задач (и, следовательно, задач теории упругости) в окрестности нерегулярных точек границы, установлены следующие результаты. Показано, что решение в окрестности этих точек представляется в виде асимптотического ряда и бесконечного дифференцируемой функции. Слагаемые этого ряда содержат специальные решения однородных краевых задач для модельных областей (для конуса, если на поверхности коническая точка, для клина, если угловая линия). Эти решения зависят только от локальных характеристик (величины телесного или плоского угла и типа краевых условий). В ряде случаев (они далее будут подробно рассмотрены) построение этих решений сводится к трансцендентным уравнениям. Величины же коэффициентов при них зависят от задачи в целом. [c.306]

Оба метода при использовании вариационного принципа и соответ-ствуюш,их разностных схем могут быть сведены к одним и тем же уравнениям [9] и одинаково пригодны для решения задач подобного типа. С точки зрения практической реализации на ЭВМ МКЭ целесообразно использовать для задач с контуром сложного очертания, для которых необходима сильно нерегулярная структура сетки получающуюся при этом систему линейных алгебраических уравнений практически можно решать только одним из прямых методов. Метод конечных разностей для подобных задач требует сгущения сетки, однако структура уравнений в этом методе упрощается, и даже частичное использование регулярной сетки позволяет сильно уменьшить количество различных коэффициентов уравнений систему уравнений при этом можно решать как прямым, так и итерационным методом. [c.103]

Для выполнения подобного расчета необходимо прежде всего знать вид профильной кривой контролируемой поверхности. Если на поверхностях с регулярным профилем поведение системы можно определить с известной степенью достоверности, то для нерегулярных поверхностей результат будет зависеть от характера профильной кривой и распределения неровностей на трассе измерения. Очевидно, что многообразие технологических обработок делает задачу в достаточной мере неопределенной. В связи с этим при разработке норм точности и технических требований на профилометры типа 740 мы применили несколько иной подход к решению задачи была сделана попытка характеризовать си стему определенным кругом параметров. Предполагалось, что при соответствующем нормировании по этим параметрам можно ожидать удовлетворительное совпадение в показаниях приборов на технических поверхностях. [c.98]

В достаточно регулярных случаях условия (18.7)—(18.8) смыкаются с известными соотношениями принципа максимума и методов динамического программирования. В самом деле, сравнивая, например, соотношения (13.7) и (18.5), замечаем, что в регулярных случаях роль функции ф может играть потенциал V, фигурирующий в уравнении Беллмана. Однако и в этих случаях функция ф, удовлетворяющая нужным условиям, подчас может быть найдена проще, причем здесь не оговариваются жесткие априорные ограничения класса. С другой стороны, описываемый здесь подход нашел эффективные приложения и в нерегулярных случаях, в частности, при построении оптимальных скользящих режимов. Таким путем для этих случаев были разработаны методы, позволившие разрешать нелинейные вариационные задачи об управлении в ситуациях, характерных для приложений, и, в частности, были опубликованы методы решения таких задач, которые возникают при исследовании проблем оптимального снижения и торможения летательных аппаратов. Заметим, что решение ряда сложных задач (в частности, для нелинейных систем третьего порядка) было найдено описанными методами в замкнутой форме. Так же были исследованы нерегулярные обстоятельства, характерные для задач об управлении движением точки переменной массы в центральном поле, причем были выяснены дискуссионные вопросы, связанные с этой задачей. Далее, была исследована задача о реактивной стабилизации твердого тела с неподвижной точкой при условии минимума расхода топлива, причем снова были обнаружены и изучены экзотические оптимальные движения. [c.219]

Если сумма ряда (7.25) определяет регулярный в B вектор и(х), то, подставив его в (4.10J, получим продолжение и(х) на В , и построенное таким образом регулярное решение системы функциональных уравнений (4.10,) и (4.10j будет единственным решением задачи А, как это показано в 7 этой главы. Если же ряд (7.25) определяет вектор, нерегулярный в В,, т. е. такой, к которому нельзя применить формулу Бетти, то этот вектор, будучи продолжен на Вд, представит решение уравнений (4.10,), (4.10J, но не будет решением задачи в обычном смысле. Он может быть принят за слабое или обобщенное решение задачи (Л). Ясно, что в этом случае задача (Л) решения в обычном смысле не имеет вообще. [c.228]

Если для системы обыкновенных дифференциальных уравнений бесконечно удаленная точка является регулярной особой точкой, то решения могут быть получены в виде сходящихся рядов по обратным степеням координаты исключение составляют лишь некоторые случаи задач с регулярной особой точкой, в которых одно из решений может содержать логарифм координаты. В данной главе нас будут интересовать случаи с нерегулярной особенностью, когда решение должно быть представлено асимптотическим разложением. При получении возмущений по параметру последний может быть малым или большим, причем первый случай охватывает также случай с медленно меняющимися коэффициентами. В этих случаях разложения получаются с помощью преобразования Лиувилля—Грина (ВКВ) и его обобщений. Получающиеся разложения являются пригодными всюду, за исключением некоторых точек, называемых точками возврата, или переходными точками. Разложения, пригодные всюду, включая и точки возврата, получаются с помощью преобразования Лангера и его обобщений. [c.329]

Выше были сформулированы основные задачи теории фильтрации в средах со случайными неоднородностями и указаны методы их решения. При этом основное внимание было уделено стационарным фильтрационным процессам. Далее решается одна из наиболее важных нестационарных задач и указывается связь полученного решения с широко применяемыми методами определения параметров пласта по кривым изменения давления в остановленных скважинах [26, 34]. Следует отметить, что интерпретация результатов таких определений проводится обычно при помощи решения соответствующей задачи для однородного пЛаста либо пласта, неоднородность которого носит регулярный характер, что определенным образом ограничивает возможности метода. В то же время очевидно, что решение указанных задач для нерегулярных сред и тем более нахождение их эффективных характеристик требуют использования статистических методов расчета. [c.72]

Допустим, что взаимодействие двух частиц описывается потенциалом V (/ ), включающим в себя отталкнвательный потенциал непроницаемой сферы. Вывести интегральные уравнения для регулярного и нерегулярного решений и рассмотреть свойства функции Иоста, S-матрицы и фазового сдвига. Доказать теорему Левинсона для разности между фазовым сдвигом, соответствующим данному потенциалу, и фазовым сдвигом, соответствующим потенциалу непроницаемой сферы. [c.408]

Наличие иотеищшда привело к смешиванию регулярного и нерегулярного решений однородного уравнения. [c.30]

Решение уравнения (2.25) при отрицательных энергиях по-прежнему должно представлять собой суперпозицию регулярного и нерегулярного решений / п и, (от мнихлюго аргумента ЫЮ. Граничное условпе, отвечаюп1,ее связанному состоянию, есть требование конечности нормировочного интеграла. Это значит, что нри г оо значение 5 долн но стремиться к нулю быстрее, чем Единственной комбинацией /, и i],, удовлетворяющей этому условию, является функция yt описывающая расходящуюся волну (см. (2.31)). Следовательно, сравнивая (2.31) и (2.57), [ы получаем условие существования связанного состояния [c.38]

Представленный выше вариант структурной модели среды предназначен для качественного и количественного описания деформационных свойств циклически стабильных (стабилизированных) материалов при различных типах регулярного и нерегулярного нагружения. Исключение из рассмотрения эффектов, связанных ( процессом изотропного циклического упрочнения, позволило обеспечить обозримость полученных качественных результатов, простоту решения задачи идентификации модели. Изотропное [c.225]

В отличие от (3.1), уравнения вида (3.3) и (3.3 ) допускают решения, соответствующие регулярным и нерегулярным вращениям маятника в ту или иную сторону. Такие решения получены численно в [543] и наблюдались зксперимептальпо в [432]. [c.275]

Сферические функции Бесселя, Неймана, Ганкеля. Уравнение (2.25) всегда имеет два лпне1шо независимых решения — регулярное и нерегулярное в начале координат. В случае нулевого потенциала решения (2.25) известны [1, 2], они называются сферическими функциями Бесселя и Неймана соответственно fiix), n ix), где X = хг. Приведем вид этих функций для нескольких первых значений индекса I [c.26]

Для описания входных данных (количества и типа размещаемых объектов, размеров прямоугольников, координат вершин объектов и др.) используется специальный язык. Пакет ориентирован на решение трех классов задач (регулярное размещение, нерегулярное, компоновочные задачи) и может быть сгенерирован на решение любой из них. Пакет реализован на ЭВМ БЭСМ-6 и ЕС ЭВМ. Язык программирования ФОРТРАН-4. Время решения задачи двухрядного раскроя (с поворотом полосы) для заготовки средней сложности около 20 мин. [c.395]

Нерегулярные решения. Ввиду того что S-матрица и фазовые сдвиги определяютси поведением ф на больших расстояниях, удобно ввести в рассмотрение другие решения уравнения (12.1), удовлетворяюш,ие определенным граничным условиям на бесконечности. Вообще говоря, эти решения не регулярны в точке г -- 0. Точка г = оо является нерегулярной особой точкой дифференциального уравнения (12,1) и при определении асимптотического поведения решения в окрестности этой точки нужно сохранять член с k . Таким образом, граничное условие в точке г = оо неизбежно должно зависеть от k. Зная решения уравнения (12.1) при f = О, мы приходим к следующему выводу вообще говоря, самое большее, что можно сделать, это потребовать, чтобы ) [c.312]

Для получения приближенного решения уравнения (7.31) контур области в плоскости rz аппроксимируется конечным числом прямолинейных отрезков. Исследуемая область покрывается согласованной нерегулярной (или регулярной) сеткой, состоящей из линий r = onst и г — onst так, что точки пересечения иря-М0уг0ль> 0Й сетки совпадают с точками пересечения отрезков, аппроксимирующих контур (рис. 7.Я, а). [c.121]

К проявляющимся в этих веществах конкурирующим взаимодействиям, влияющим на установление разл. видов магн. упорядочения, относятся обменное взаимодействие и косвенное обменное взаимодействие ферро-п антиферромагн. характера зависящее от взаимной ориентации магн. моментов диполь-дипольное взаимодействие, осциллирующее РККИ-обменное взаимодействие. В регулярных кристаллич. структурах такие взаимодействия могут приводить к появлению сложной неколлинеарной магнитной атомной структуры (в т. ч. несоизмеримой). В нерегулярных твердотельных системах (аморфных веществах, неупорядоченных двух-или многокомпонентных сплавах и твёрдых растворах) благодаря конкуренции и хаотич. взаимному расположению магн. а примесных ионов (вызывающих иногда случайное изменение локальной оси маги, анизотропии) возникает фрустрация магн. моментов, приводящая к образованию состояния С. с. В этом случае для расчёта наблюдаемых физ, величин кроме обычного термодвнамич. усреднения по ансамблю систем е Гиббса распределением вероятности (обозначаемого <...)) необходимо дополнит, усреднение (обозначаемое чертой сверху) по всем возможным реализациям хаотич. расположения маги, моментов или набора взаимодействий между ними при этом в качестве ф-цНи распределения обычно выбирается комбинация дельтафункций или Гаусса распределение. Полное (но математически сложное) решение задачи усреднения по случайным конфигурациям для свободной энергии С. с, даёт т. н. метод реплик (от франц. replique — копия, образ). [c.634]

Проблема, решенная в [27] и в Главе 8.3 А. П. Крайко и Е. И. Васильевым (Волгоградский Университет), как и задача о скачках, замыкающих МСЗ, имеет более чем полувековую историю. Речь идет о дифракции слабых скачков на клине в условиях так называемого парадокса Пеймана (ПП) . Условия ПП характеризуются такими углами при вершине клина и интенсивностями падающего скачка (ПС), при которых его отражение не может быть регулярным. С другой стороны, наблюдаемые в экспериментах картины нерегулярного отражения нельзя объяснить трехударной (по числу скачков - падающему, отраженному и стеблю Маха) теорией, которая для других условий дает адекватное описание экспериментов. В системе координат с началом в тройной точке (ТТ - точке пересечения указанных скачков), [c.213]

Для получения приближенного решения уравнения (18) удобно контур области аппроксимировать конечным числом прямолинейных отрезков. Исследуемая область покрывается нерегулярной (нлн регулярной) сеткой, состоящей нэ линий х = onsl к у " = onst. Точки пересечения прямоугольной сетки должны совпадать на границах области с точками иа отрезках, аппроксимирующих контур (рис. 1, а). [c.480]

Будем искать поле внутри нерегулярного волновода в виде самосогласованного решения [39], [115] — суммы двух лучевых полей и и . Поле м+ распространяется от нижней стенки к верхней и при отражении от верхней стенки дает поле В свою очередь, поле и , отражаясь от нижней стенки, порождает поле и+ Таким образом, условие самосогласованности означает, что каждое из полей и+ и и- преобразуется само в себя после двукратного отражения от стенок волновода. Простейшим примером самосогласованного решения является собственная волна регулярного вол новода, когда и — плоские волны Брнллюэна, сумма которых и является собственной волной. [c.50]

Следует заметить, что непосредственное наблюдение присоединенной волны в эксперименте является довольно трудной задачей. Дело в том, что присоединенная волна суш,ествует лишь при некоторых дискретных значениях приведенного поверхностного импеданса Т1, определяемых из уравнения (1.7.12). Для регулярных волноводов из-за флуктуаций параметров, неточностей в изготовлении и т. д., мы практически всегда будем находиться в условиях существования только невырожденных волн, хотя фазовые постоянные и структуры полей двух волн могут оказаться достаточно близкими. В таком случае присоединенная волна — это некоторая Jчaтeмaтuчe кaя абстракция, удобная для описания процессов трансформации волн при сближении их фазовых постоянных и распределений полей. Иное дело — нерегулярные волноводные переходы, например импедансные волноводы с переменным приведенным импедансом г (2). Если 11(2) в процессе изменения проходит через точку /-кратности, в данной системе могут возникать новые физические эффекты, обусловленные возбужде нием присоединенной волны. Для плоского волновода такая задача рассмотрена в [34]. В основу анализа положен метод поперечных сечений решение системы дифференциальных уравнений проводится асимптотически в пулевом порядке по параметру малости г д 1дг. Основной результат [34] состоит в следующем если на участок переменного импеданса падает 5-я собственная волна и имеется точка /-кратности -й и р-й волн, то преобразование 5-й волны в р-ю происходит уже в нулевом порядке по параметру е Данный эффект можно наблюдать экспериментально возможно, он найдет и практическое применение. Заме- [c.62]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...