Построение плоскостей, касательных к поверхностям

Для построения плоскости, касательной к поверхности проходящей через [c.143]

Построение плоскостей, касательных к поверхностям [c.84]

Построение касательной плоскости. Рассмотрим некоторые примеры построения плоскостей, касательных к поверхностям. [c.226]

Ниже на конкретных примерах покажем построение плоскости, касательной к поверхности, с эллиптическими (пример 1), параболическими (пример 2) и гиперболическими (пример 3) точками. [c.178]

Для построения плоскости, касательной к поверхности, проходящей через точку, не принадлежащую поверхности, нужно исходить из следующих соображений через точку вне поверхности, состоящей из эллиптических точек, можно провести множество плоскостей, касательных к поверхности. Огибающей этих поверхностей будет некоторая коническая поверхность. Поэтому, если нет дополнительных указаний, то за- [c.178]

Плоскость, касательная к поверхности в данной точке, содержит касательные прямые, построенные к любой из кривых линий, намеченных на кинематической поверхности и проходящих через данную точку. Из этого следует, что касательную плоскость в данной точке поверхности можно определить как плоскость, образованную касательными к двум любым линиям, построенным на поверхности и пересекающимся в заданной на поверхности точке. [c.266]

При построении плоскостей, касательных к торсам и проходящих через точки, лежащие вне поверхности торса, а также плоскостей, параллельных данной прямой линии, можно пользоваться и другой схемой, основанной на применении вспомогательного (направляющего) конуса торса. [c.270]

Пространственные кривые линии, как линии пересечения поверхностей, обычно содержат в себе иррегулярные вершины. Рассмотрим некоторые пространственные кривые линии пересечения поверхностей. Заметим, что прямую линию, касательную к кривой линии пересечения поверхностей, можно построить как линию пересечения плоскостей, касательных к поверхностям в выбранной на кривой линии точке, а положение нормальной плоскости кривой линии пересечения поверхностей в намеченной на ней точке определяется нормалями поверхностей, построенными в данной точке кривой линии. [c.356]

Для выполнения показанных на рис. 290 построений необходимо, чтобы плоскость, касательная к поверхности, касалась ее по прямой [c.196]

Плоскости, касательные к поверхностям. Поверхности, касательные к поверхностям. Построение очертаний поверхностей. [c.7]

Рассмотрим некоторые случаи преломления света в одноосных кристаллах. При анализе будем пользоваться принципом Гюйгенса (см. 2.4) —простым и в то же время достаточно эффективным способом изучения распространения света в анизотропных средах. Поверхности, фигурирующие в построении Гюйгенса, есть лучевые поверхности, а не поверхности нормалей. Действительно, по правилу Гюйгенса для получения фронта плоской волны проводят плоскость, касательную к поверхности Гюйгенса. А фронт волны касателен именно к лучевой поверхности И пересекает поверхность нормалей. Таким образом, используя представление о сферической и эллиптической волновых поверхностях, можно найти направления обыкновенного и необыкновенного лучей в одноосных кристаллах. Разберем частные случаи. [c.47]

Для построения двух касательных к поверхности вращения в точке М, определяющих искомую плоскость, целесообразно взять на поверхности параллель k ki, k ) и меридиан m(mi), проходящие через заданную точку. [c.253]

При изображении кривых поверхностей и при выполнении связанных с ними построений может оказаться необходимым проведение плоскости, касательной к поверхности. [c.224]

Плоскость вполне определяется двумя пересекающимися прямыми поэтому для построения плоскости, касательной к кривой поверхности в некоторой ее точке, достаточно через эту точку провести на поверхности две кривые и к каждой из них касательную в той же точке. Эти две прямые (касательные) определяют касательную плоскость. [c.225]

На рис. 353 показано построение плоскости, касательной к конической поверхности в ее точке А. Поверхность задана вершиной 5 и направляющей — эллипсом, лежащим на пл. Н. [c.227]

Через такую точку можно провести бесчисленное количество прямых, касательных к сфере. Геометрическое место касательных прямых представляет собой коническую поверхность с вершиной в заданной точке А. Эта коническая поверхность описана вокруг сферы и касается ее по окружности Е—К—Р—Е. Любая плоскость Р, касательная к конусу, будет вместе с тем касаться и сферы. Действительно, у плоскости Р, которая касается конуса по образующей АМ, и сферы имеется только одна общая точка К — точка касания. Задача, таким образом, допускает бесчисленное множество решений. Искомые плоскости легко построить, если прямая, соединяющая точку А и центр сферы 2, перпендикулярна к одной из плоскостей проекций. В случае, когда Л2 — прямая общего положения, необходимо преобразовать эпюр с таким расчетом, чтобы одна из проекций прямой Л2 оказалась точкой. Решение завершается построением плоскости, касательной к вспомогательному прямому круговому конусу. [c.206]

На рис. 593 показано построение падающей и собственной тени конуса. Найдя мнимую тень (5 ) вершины на плоскости П,, проведем через нее касательные к основанию, представляющие собой границу падающей от конуса тени. Построение основано на том, что граница падающей тени определяется линией пересечения плоскостей, касательных к поверхности, с плоскостью, на которую падает тень. Эти плоскости заданы лучом 5 (Б ) и прямыми, проходящими через точку (5 ) касательно к основанию (см. 27, рис. 326). [c.239]

Касательные плоскости играют большую роль в геометрии. В теоретическом плане плоскости, касательные к поверхности, используются в дифференциальной геометрии при изучении свойств поверхности в районе точки касания. Не менее важное значение приобретает построение касательных плоскостей и в практическом отношении, так как наличие их позволяет определить направление нормали к поверхности в точке касания. Эта задача находит широкое применение в инженерной практике. К помощи касательных плоскостей обращаются также для построения очерков геометрических фигур, ограниченных замкнутыми поверхностями. [c.176]

Для выполнения показанных на рис. 269 построений необходимо, чтобы плоскость, касательная к поверхности, касалась ее по прямой образующей, которую принимаем за первоначальное положение оси вращения. [c.191]

На рис. 211 показано построение конической поверхности 7, касательной к сфере р. Любая плоскость а, касательная к конической поверхности 7, будет касательной к поверхности 3. [c.143]

Коническая поверхность относится к поверхностям с параболическими точками (см. рис. 207). Плоскость, касательная к конической поверхности, касается ее по прямолинейной образующей. Для ее построения необходимо [c.144]

При построении проекций линий пересечения поверхностей на эпюре в первую очередь необходимо определить опорные точки, которые получаются при сечении поверхностей а и (3 плоскостями, касательными к одной, в частном случае к двум, пересекающимся поверхностям. [c.149]

В этом случае плоскость откоса будет касательной к поверхности конуса, горизонтали откоса будут касательны к однозначным горизонталям конуса. Дальнейшее построение очевидно из чертежа. [c.425]

В каждой точке Mi на линии I строится касательная плоскость Pi к поверхности Ф] и соприкасающаяся плоскость Qi линии I. Затем в каждой точке линии I строят плоскость Ri, симметричную касательной плоскости Pi относительно соприкасающейся плоскости Qi. Поверхность, огибающая построенное однопараметрическое семейство плоскостей Jii, и будет искомой развертывающейся поверхностью Фг, пересекающей заданную поверхность Ф1 по линии I, не распадающейся на их совместной развертке. [c.150]

Ось вращения, как в предыдущей задаче, есть пересечение двух плоскостей, касательных к конусам постоянного удлинения, на которых лежат данные линии. Чтобы найти две другие не изменяющие направления линии, пользуемся началом, на котором основано вышеприведенное построение конуса постоянных направлений. Для этого строим поверхность удлинения и концентрическую с ней сферу, проходящую через точку, в которой ось вращения пересекает поверхность удлинения, и проводим через эту точку плоскость, перпендикулярную к данной нормали плоскость пересечет поверхность удлинения по кривой второго порядка, а сферу — по кругу из четырех точек А, В, С, В пересечения этих линий точка А будет лежать на оси вращения, точка В будет обладать тем свойством, что хорда АВ параллельна характеристике данной нормали, точки же С и В дадут нам хорды СА и СВ, параллельные искомым не изменяющим направления линиям. [c.54]

Так как радиус сферы, проведенный в точку касания, является нормалью сферической поверхности, то задача построения касательной плоскости сводится к построению плоскости, перпендикулярной к радиусу АЛ. Эта плоскость может быть определена прямыми АВ и АС, первая из которых горизонталь (аЬ аа), а вторая — фронталь (а с J (D a ). [c.190]

Если точка, через которую надо провести плоскость, касательную к данной конической поверхности, находится вне этой поверхности, то для построения касательной плоскости надо провести прямую через вершину 5 и заданную точку, найти горизонтальный след этой прямой и провести через него касательные к эллипсу (подобно тому, [c.227]

Проведем плоскость, касательную к параболоиду вращения в данной точке Л (рис. 339). Выполним построение в соответствии с /126/. Проведем через Л параллель поверхности и к ней касательную а. Горизонтальная проекция прямой а проходит через точку Ах перпендикулярно радиусу горизонтальной проекции параллели, проходящему через ту же точку, фронтальная проекция прямой перпендикулярна линиям проекционной связи (почему ). В качестве второй линии поверхности, проходящей через точку Л, возьмем меридиан. Так как он расположен в горизонтально-проецирующей плоскости, то его горизонтальная проекция проходит через точки Ах и Вх- Не строя фронтальной проекции меридиана, повернем его вокруг оси поверхности до совпадения с главным меридианом. Вместе с меридианом повернем и точку Л, которая займет положение Л. Теперь можно провести прямую Ь, касательную к меридиану (см. /92/ и рис. 212), и отметить точку В ее пересечения с осью поверхности. Повернем меридиан [c.226]

Рассмотрим построение аксонометрии поверхности второго порядка на примере. Построим прямоугольную аксонометрию отсека параболоида вращения, заданного ортогональными проекциями (рис. 533). Направление проецирования параллельно 5 (5г 81). Повернем прямую 5 так, чтобы она стала параллельной плоскости Пг. Так как ось параболоида параллельна этой плоскости, то поворот отсека поверхности не изменил его проекций. Это дает нам возможность провести проецирующую прямую, касательную к поверхности, параллельно ( г х ). Горизонтальная проекция проецирующей прямой совпадает с горизонтальной осью проекции поверхности на плоскость Пх. Фронтальная проекция будет касательной к фронтальной проекции параболоида. Чтобы найти проекцию линии соприкосновения проецирующей цилиндрической поверхности с заданной поверхностью, следует построить сечение параболоида проецирующей плоскостью (параллельной 5 и, кроме того, перпендикулярной плоскости Па). Это эллипс с большой осью ВС. Его малая ось — отрезок ОЕ — на фронтальную плоскость проецируется в точку >а = Ег. Проведем через точку Оа г Еа прямую параллельно оси фронтальной проекции параболоида в ее пересечении с фронтальной проекцией очерка поверхности найдем точку Аг. Проведенная прямая является фронтальной [c.371]

При построении перспективы других поверхностей второго порядка множество проецирующих прямых, касательных к поверхности, представляет собой коническую поверхность второго порядка, -соприкасающуюся с данной. Линия соприкосновения поверхностей -- кривая второго порядка — являегся контуром изображаемой поверхности (рис, 560), а линия сечения конуса картинной плоскостью — его перспективой, [c.223]

Обычно в учебниках встречается утверждение, что законы преломления не приложимы к необыкновенному лучу в одноосном кристалле и к обоим лучам в двуосном. Это — правильное утверждение, но оно имеет чисто отрицательный характер, показывая, что простое построение, предписываемое законом преломления, не при-ложимо к решению задачи о направлении распространения светового луча. Если взамен не дается никаких правил, то решение даже весьма простых вопросов кристаллооптики оказывается затруднительным. Между тем существует гораздо более общий прием отыскания направления распространения преломленной световой волны, а именно, построение, основанное на принципе Гюйгенса, следствием которого для изотропной среды является закон преломления Декарта — Снеллия. Напомним, что сам Гюйгенс рассматривал при по.мо-щн этого приема вопрос о распространении света в двоякопрелом-ляющих телах (исландский шпат) и получил крайне важные результаты. Применение построения Гюйгенса является простым и действенным средством для разбора вопроса о распространении света в анизотропных средах. Поверхность, фигурирующая в построении Гюйгенса, есть, очевидно, лучевая поверхность, а не поверхность нормалей. Действительно, по правилу Гюйгенса для получения фронта (плоской) волны проводят плоскость, касательную к поверхности Гюйгенса. А фронт волны тсателен именно к лучевой поверхности (рис. 26.11, а) и пересекает поверхность нормалей (рис. 26.11, б). [c.509]

В этом случае любой вектор д, построенный из точки Р и касательный к поверхности в этой точке, будет представлять o6oi возможную скорость. Соответствующее возможное перемещение rfr = о Л также лежит в плоскости, касательной к поверхности в точке Р. Разность br=d r—dr двух касательных векторов в свою очередь представляет собой вектор, касающийся поверхности В той же точке. Таким образом, любой вектор, построенный из [c.17]

Построение касательной плоскости. Построим плоскость, касательную к конической поверхности П и проходящую через точку А( П (рис. 326). В соответствии с /143/ плоскость касается поверхности по прямой, следовательно, проходит через верщину. Проведем прямую и определим точку ее пересечения с плоскостью направляющей йоверхности. Проведем прямые ВС и ВО, касательные к эллипсу. Эти прямые совместно с прямой А5 определяют две плоскости, касательные к поверхности. Через точки Си О и верщину проходят линии касания. [c.120]

Построение откосов наклонной дороги показано на рис. 380, а, б. Проградуировав плоскость дороги, построим в верхней точке ее кромки конус с уклоном, равным уклону откосов, и градуируем его (рис. 380, а). Затем 380 через точки, лежащие на кромке дороги и соответствующие 4, 3 ж 2 горизонталям, проведем касательные к соответствующим горизонталям конуса (т. е. построим плоскость, касательную к поверхности конуса, и, следовательно, имеющую тот же уклон, что и образующие конуса). Если часть дороги имеет в плане криволинейное очертание (рис. 381), следует градуя- 381 ровать ее ось и, отложив по ней заложение в соответствии с заданным уклоном, провести горизонтали дороги перпендикулярно оси до пересечения с кромкой. Используя полученные точки как вершины конусов, нужно построить конусы с вершинами в каждой точке и градуировать их. Горизонталями откосов явятся кривые линии, касательные к соответствующим горизонталям откосов. В том числе, когда дорога в плане идет по окружности, поверхность откосов и сама дорога представляют собой винтовую поверхность. [c.312]

Подвижным аксоидом является плоскость, касательная к неподвижному аксоиду-цилиндру. Горизонтальной проекцией линии сужения поверхности являегся кривая линия ас — эвольвента горизонтальной проекции направляющей линии цилиндра-ак-соида. Горизонтальные проекции положений производящей прямой линии совпадают с касательными кривой линии ас. Соответствующими построениями определены фронтальные проекции ряда положений производящей прямой линии. [c.373]

Покажем построение спироидальных поверхностей с направляющей плоскостью, сохраняя, как и для ротативных поверхностей, в задании неподвижный аксоид-ци-линдр и производящую прямую линию в ее начальном положении. Производящая прямая линия поверхности располагается в плоскости, перпендикулярной одновременно к направляющей плоскости и плоскости, касательной к аксоиду-цилиндру. [c.375]

Так как тшоскость определяется двумя пересекающимися прямыми, то для задатжя плоскости, касательной к пове])хности в заданной точке, достаточно провести через эту точку две произвольные линии, принадлежащие поверхности (желательно простые по форме), и к каждой из них построить касательные в точке пе[)есечения этих линий. Построенные касательные однозначно опре деляют касательную плоскость. Наглядное представление о проведении плоскости а, кас-ательной к поверхности (j в заданной точке М, дает рис. 204. На этом рисунке показана также нормаль п к поверхности /3. [c.140]

Для этого в плоскости, касательной к рассматриваемой поверхности в точке М (рис. 205, 206), на касательных к нормальным сечениям по обе стороны от данной точки откладываются отрезки, равные корням квадратным из величин соответствующих радиусов кривизны этих сечений. Множество точек - концов отрезков задают кривую, называемую индикагрисой Дадпена. Алгоритм построения индикатрисы Дюпена (рис. 205) можно записать [c.141]

I и II лежат на сфере, то вместо образующей .прямой мы получаем образующую дугу N — /у/большого круга на построенной сфере. Число сфер, которыми мы можем пересечь указанные конусы, бесконечно велико, и для каждой сферы можно получить соответствующие окружности, аналогичные окружностям / и Я, и образующие дуги, аналогичные дуге N—N. Геометрическим местом всех образующих дуг N—N есть некоторая плоскость 5 , содержащая прямую ОРо и наклоненная к плоскости, касательной к начальным конусам, под углом а угол а, обычно принимаемый равным 20°, является углом зацепления, а плоскость 5 — образующей плоскостью. Если из точек оси ОО1 опустить перпендикуляры на плоскость 5, то эти перпёндикуляры образуют плоскость, содержащую ось ООх- Эта плоскость перпендикулярна к плоскости 5. В пересечении этой плоскости с плоскостью 5 получаем прямую АО. Вращением прямой АО вокруг оси ОО1 получается конус I, который назовем основным конусом. Плоскость 5 касательна к основному конусу. Аналогично может быть построен второй основной конус 2. Профили зубьев могут быть образованы перекатыванием без скольжения плоскости 5 по основным конусам. В результате этого перекатывания на поверхности сферы получаются сферические эвольвенты. [c.640]

Один из приемов построения перспективы отсека параболоида вращения с вертикальной осью показан на рис. 619. Пусть заданы ортогональные проекции параболоида, известны расположение картинной плоскости (прямая к — основание картины) и точки зрения (точка 5). Известны точка 51 и высота точки 5 над предметной плоскостью. Заменим плоскость Па наПд, расположив новую плоскость параллельно плоскости, проходящей через ось параболоида и точку 5. Проведя новую фронтальную проекцию крайней проецирующей прямой касательной к поверхности, построим через точку касания Л 4 проекцию линии соприкосновения параболоида и проецирующей поверхности. Эта проекция (в натуре — парабола) представляет собой прямую, проходящую через точку А 4 параллельно оси параболоида (почему ). Дальнейшие построения (на чертеже не показанные) сводятся к нахождению перспективы плоской фигуры (параболы), лежащей в вертикальной плоскости. Конечный результат построений показан на рис. 620. [c.429]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...