Отображение бесконечной области

При решении этих задач необходимо воспользоваться конформным отображением бесконечной области, занятой матрицей, на внешность единичного круга 1 1 >1. Рассмотрим частный случай функции, производящий отображение [c.130]

Отображение бесконечных областей. В большинстве приложений конформного отображения к гидродинамике одна или обе рассматриваемые области простираются до бесконечности. Поэтому важно иметь ясное представление о том, что составляет внутреннюю часть области. Для объяснения этого рассмотрим отображение области плоскости г, ограниченной дугами окружностей г = а, г = Ь и радиусами 0 = 0, 0 = я/а (рис. 98), задаваемое функцией [c.145]

Для уяснения смысла понятий внутренний и внешний при отображении бесконечных областей, вообще говоря, пригодны те простые соображения, которые указаны выше действительно, уже одно знание направления обхода дает требуемые сведения. [c.146]

Таким же образом легко найти отображение бесконечной области, состоящей из точек, расположенных вне двух данных окружностей Li и L3 (рис. 21а), на кольцо, заключенное между двумя концентрическими окружностями У1 и Уз с радиусами Qi и Q3. В этом случае Qg > 1/а. [c.172]

В дополнение к замечаниям по поводу преобразований растяжения, приведенным выще, отметим следующие положения, существенные для отображений бесконечных областей на конечные. [c.441]

Отношение размеров шагов сетки 42, 180, 199, 351 Отображение бесконечной области на конечную 439—441, 452 Отражение ударной волны от места изменения шага сетки 353, 427 Отражения способ см. Граничные условия для течения жидкости сжимаемой на стенке [c.606]

В которых рассматривается одно некруговое отверстие в бесконечной области, функция, осуществляющая конформное отображение, будет выбираться таким образом, чтобы единичная окружность р = 1 на плоскости отображалась на кривую L. При этом вместо прямоугольных координат I, удобно использовать полярные координаты р, 0. Функция о>( ), кроме того, будет выбираться таким образом, чтобы любая точка Р (внутри окружности или на ней) отображалась только в одну точку Р. Эта функция [c.215]

При отображении решетки на полосу некоторое неудобство в практических вычислениях представляет бесконечная протяженность полосы (— оо < < оо). Чтобы избежать этого, целесообразно применять комбинированное отображение части области течения, включающей межлопаточный канал, на полосу, а остальных частей — на круги без центров (см. рис. 21 и рис. 26). Такое отображение, очевидно, соответствует замене переменных Z и при некоторых 1 1 >С на ZJ и 65 (или Z2 и 63) по формулам (9.10) и (9.12). Отметим, что в случае полосы выбранной ширины те в точках [c.75]

Для определения потенциала скорости ср на контуре годографа было найдено конформное отображение его области на круги в плоскостях 2, и Д2 с переходом бесконечностей в центры этих кругов (рис. 73). [c.202]

Напомним основные факты из теории конформных отображений многосвязных областей [46] а) всякую п-связную область, включающую бесконечную удаленную точку, всегда можно конформно отобразить на внешнем виде некоторых /г разрезов, параллельных действительной оси, с соответствием бесконечно удаленных точек б) при п > 3 это отображение единственное, если задать поведение отображающей функции на бесконечности при [c.50]

Рассмотрим сначала нахождение комплексных потенциалов для случая одного отверстия. Если граница области, занимаемой телом, представляет собой простой замкнутый контур, то, согласно [65], можно воспользоваться конформным отображением этой области на единичный круг или на бесконечную область, ограниченную единичной окружностью. Будем для определенности рассматривать случай, когда область S, занимаемая телом, бесконечна и осуществляется конформное отображение этой области на бесконечную область О, ограниченную единичной окружностью с центром в начале координат. Пусть аналитическая функция t ( ) ( G О, 2 = t ( ) G S) определяет конформное отображение области S на область О. Уравнение границы в преобразованной области имеет вид = 1, или = 1, или = 1/ . [c.76]

Вернемся к негативу ситуации 2, в которой имеет место касание многообразий и 8 седловой неподвижной точки, но введем теперь параметр е так, что при е > О касания нет, при е = О происходит касание и при е < О — пересечение. Соответствующие этим случаям негативы отображений Г (тге == 1, 2,. . .) и отображения Ь, которое тоже равно некоторой степени отображения Т, изображены на рис. 6.11, б. Отображение Г преобразует область А в область А, а отображение Ь — в область В в В. Позитив, отвечающий этим отображениям, показан на рис. 6.13. Здесь отображение Г преобразует область В, в область Ви Это отображение двузначно, в соответствии с этим область В состоит из двух областей Вп и В,2. Отображение преобразует область В в область В . Если В попадает внутрь области В то это означает существование двух неподвижных точек у отображения Т Ь. При достаточна большом т в зависимости от величины параметра е область В находится либо вне области В либо внутри нее. Входит она в область В, через ее границу Ъ, на которой происходит рождение двух однозначных ветвей отображения Г, и константа Липшица отображения Г обращается в бесконечность. Пусть для конкретности отображения Т ж Ь представимы в виде [c.178]

I = и = а свободные границы отображаются на действительный диаметр. Бесконечно удаленным точкам струй между кавернами соответствует 2= +оо. Это отображение можно выполнить в два приема. Во-первых, посредством функции е гг/в (3 —разность комплексных координат двух сходственных точек соседних дужек) решетка отображается на односвязную область, граница которой взаимно однозначно соответствует границе одного периода течения, а бесконечность перед решеткой переходит в начало координат. Во-вторых, по известной теореме конформного отображения, полученная область может быть конформно отображена на единичный полукруг с указанным выше соответствием. Комплексный потенциал, очевидно, имеет логарифмические особенности в точках t = t и = О, причем первая соответствует вихреисточнику, а вторая — стоку той же интенсивности. При дифференцировании эти точки становятся [c.188]

Мы видели, что при помощи конформного отображения односвязных областей можно решать все задачи, относящиеся к плоскому движению. Однако при переходе к областям двусвязным, как это имеет место, например, в случае бипланов бесконечного размаха, полученные ранее результаты становятся неприменимыми. [c.151]

Криволинейные координаты, связанные с конформным отображением на круговую область. В дальнейшем нам придется пользоваться конформным отображением данной области S, находящейся на плоскости Z, на область 2 плоскости представляющую собой либо круг, либо круговое кольцо, либо бесконечную плоскость с круговым отверстием начало С = мы будем брать в центре. [c.177]

Добавим еще одну формулу, относящуюся к бесконечной области S, отображенной на бесконечную область 2 так, что точке = оо соответствует точка Z = ОС. [c.180]

Граничные условия в преобразованной области. Рассмотрим сперва случай, когда область 8 (конечная или бесконечная) ограничена одним простым замкнутым контуром Ь. Отобразим эту область на круг радиуса 1 или на бесконечную область, находящуюся вне этого круга (принципиально безразлично, каким отображением пользоваться, но вообще в практических вопросах удобнее брать первое отображение в случае конечной области 1 , а второе — в случае бесконечной). [c.180]

Решение первой основной задачи для бесконечной плоскости с эллиптическим отверстием ). В этом случае мы воспользуемся отображением рассматриваемой области на область ] С] > 1, т. е. на бесконечную плоскость с круговым отверстием ). [c.303]

Таким образом, задача решена. В случае бесконечной области иногда более удобно ) (главным образом в смысле наглядности) пользоваться отображением на область > 1. Все сказанное выше с очевидными небольшими изменениями применимо и к этому способу отображения. [c.328]

Мы можем увеличить Q2 ДО бесконечности. Тогда мы получим отображение бесконечной области, состоящей из точек, pa noflOHieHHHX вне эллипса Lj, на бесконечную область, состоящую из точек, находящихся вне yi. В этом случае мы всегда будем брать для простоты Ql = 1 и, следовательно, т г <1. При т = i эллипс обращается в прямолинейную щель. При т О мы получим окружность. Если в формуле (16) заменим на 1 / , т. е. положим [c.176]

Итак, мы рассмотрели преобразования конечной области на конечную. Другим широко распространенным типом преобразований является отображение бесконечной области на конечную, впервые, кажется, примененное Ваном и Лонгуэллом [1964] ). Прп помоши стационарных уравнений они рассчитывали задачу о входе потока в воздухозаборник, причем система координат х, у) выбиралась так, что х = О в плоскости входа в трубу, а затем координата х преобразовывалась по следующей формуле [c.439]

Отображение бесконечной области на конечную при помощи преобразования = ехр(—I), где I — эллиптическая координата, проводилось и до этого см., например, Чушкин П. И. Расчет обтекания профиля и тела вращения в дозвуковом потоке. — В кн. Вычислительная математика, № 3. — М. Изд-во АН СССР, 1958. с. 99--1Ю. Прим. ред. [c.439]

Кенцер [1970а, 19706] рассчитывал трансзвуковое обтекание цилиндра, мгновенно помещенного в равномерный поток невязкого газа. При этом формировалась и распространялась наружу ударная волна. Эта волна в дальнейщем рассматривалась как поверхность разрыва, а область между ней и телом отображалась на прямоугольную при помощи зависящего от времени неортогонального преобразования к криволинейным координатам. В пределе при ( оо этот метод приближается к методу отображения бесконечной области на конечную, однако Кенцер [c.440]

ОТОБРАЖЕНИЯ. С математической точки зрения для произвольного фиксированного значения времени t система функций (III.5) определяет гладкое отображение некоторой области D трехмерного евклидова пространства, снабженного декартовой системой координат ОХ1Х2Х3 (рис. 16,а) в область Е другого трехмерного евклидова пространства, снабженного декартовой системой координат Oxix x (рис. 16,6). Так, что при t=0 это отображение является тождественным Xi=Xi. Последовательность таких отображений, определяющих конфигурацию тела в различные моменты времени t, и описывает движение сплошной, среды и связанную с ним деформацию тела. Модуль якобиана отображения (III.5) является коэффициентом искажения отображения в рассматриваемой точке, он показывает с точностью до бесконечно малых величин высшего порядка, во сколько раз изменяется объем бесконечно малой области, содержащей указанную точку, при ее отображении. Отсюда следует, что якобиан А не может обращаться в нуль, а поскольку отображение (III.5) непрерывно зависит от f и при =0 якобиан тождественного отображения равен единице, то он всегда положителен. [c.94]

Чрезвычайно широкое применение получила теорема Римана г . Хотя, согласно этой теореме, требуются всего две граничные точки в плоскости Z, в практических приложениях желательно отображать в единичный круг кривую, содержащую бесконечное число граничных точек. Проблему конформного отображения Ри-ман разработал в своей диссертации (1851 г.), где были представлены все основные понятия, на которых базируются последующие работы в этой области. Однако его доказательство теоремы об отображении было не полным, поскольку оно зиждилось на спорных допущениях, обоснованность которых была доказана лишь в 1900 г. Гильбертом в теореме, известной под названием принцип Дирихле. Доказательства теоремы здесь не дается, однако полезно рассмотреть условия единственности отображения. Два различных единственных отображения односвязной области на внутреннюю область единичного круга дают единственное отображение единичного круга в самого себя как будет показано далее, это преобразование должно быть линейным. Однако линейное преобразование единичного круга в самого себя имеет три степени свободы (см. следующий раздел). Итак, комплексное число /(0) дает два действительных числа само данное и arg/ (0), что достаточно для обеспечения единственности преобразования, [c.154]

Остановимся далее на выводе уравнений движения вихревых частиц для моделирования плоских течений в односвязных областях с возможностью отрыва на острых кромках. Следуя работе П.А. Куйбина [1993], рассмотрим плоское течение несжимаемой невязкой жидкости в области D, граница которой дО имеет точку излома. Локально граница вблизи точки излома представляется в виде клина с углом раствора р. Введем в D декартовы координаты 2, 22, выбрав начало координат на кромке клина, и соответствующую комплексную переменную z = Z] + iz2 (i - мнимая единица). Пусть известно конформгюе отображение (2) области D на полуплоскость = + i 2 (Q > 0). Граница 3D переходит при этом в линию < 2 = 0. Без потери общности предположим, что (0) = 0. Отрыв течения будем моделировать сходом бесконечно тонкого вихревого слоя (вихревой пелены) с острой кромки. Представим поле завихренности со в виде суммы внешней завихренности og (external), присутствующей в общем случае в потоке в начальный момент времени, и завихренности, генерируемой в результате отрыва со,,, (separated). Зная поле завихренности и функцию Грина оператора Лапласа для полуплоскости [Владимиров, 1976], известным образом находим функцию тока [c.328]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...