Уравнения и граничные условия в безразмерной форме

При записи уравнений и граничных условий в безразмерной форме сохраним принятые в 1 единицы в качестве единицы концентрации примем величину (010// 2. Тогда будем иметь Эу [c.128]

Уравнения и граничные условия в безразмерной форме будут в принятых единицах иметь вид [c.53]

Уравнения и граничные условия в безразмерной форме. [c.208]

Перейдем к безразмерным переменным, выбрав такие же единицы измерения, как в 1.1. Обозначая вертикальную компоненту скорости ио, а горизонтальную компоненту и, запишем уравнения движения и граничные условия в безразмерной форме [c.26]

В зависимости от характера наших знаний об исследуемом процессе возможны два пути вывода обобщенных параметров. Первый путь заключается в том, что основные уравнения, описывающие процесс, записываются в безразмерной форме. Безразмерная форма предполагает такую запись основных уравнений и граничных условий, в которой каждый член одного уравнения равен соответствующему члену другого, умноженному на некоторое постоянное число, одинаковое для всех членов уравнения. Анализ условий, при которых имеет место тождественность безразмерных форм уравнений, позволяет выявить обобщенные параметры, называемые критериями подобия. [c.13]

Из первого и второго условий следует, что подобные процессы должны описываться одинаковыми (тождественными) безразмерными дифференциальными уравнениями и безразмерными граничными условиями. В безразмерной форме математическая формулировка рассматриваемых подобных процессов одна и та же. Следовательно, подобные процессы описываются единой формулой типа (3.40). .. (3.49), функция / будет одной и той же для всех подобных процессов. [c.77]

Пример 2. Рассмотрим задачу об устойчивости формы равновесия >у=0 прямоугольной пластины, шарнирно опертой по трем кромкам и загруженной следящей нагрузкой N по свободной кромке (рис. 7.4.2, а). Уравнения возмущенного движения пластины в безразмерной форме и граничные условия принимают вид [c.488]

Основная идея многих приближенных методов расчета ламинарного пограничного слоя состоит в представлении распределения скорости и температуры поперек слоя в виде некоторых функций, зависящих, кроме переменной у, еще от ряда параметров. Проведенный в работе [3] анализ показывает, что, как минимум, следует, для удовлетворения уравнениям и граничным условиям ввести еще три параметра, т. е. представить безразмерные профили скоростей и температур в сечениях слоя в форме [c.546]

Законы подобия. Из уравнения стационарного движения вязкой жидкости в безразмерной форме [в частности из уравнения (11.9)] видно, что при двух различных течениях одного и того же типа (т. е. происходящих в геометрически подобных областях при тождественных граничных условиях) безразмерные скорости па,- = являются одинаковыми функциями без- [c.367]

Совокупность параметров, определяющих какой-либо гидродинамический процесс, можно рассматривать как конкретное решение дифференциальных уравнений этого процесса. Ему соответствуют вполне определенные начальные и граничные условия. Они представляют собой зависимости или константы, определяющие физические параметры в начальный момент и на границах во время движения. Следовательно, не только уравнения процесса, но также безразмерные формы начальных и граничных [c.121]

В систему условий (5.3.2) должны входить также условия, накладываемые на критерии подобия, которые получают при приведении конкретных граничных условий к безразмерному виду. Наоборот, если выполняются условия (5.3.2), можно утверждать, что безразмерные формы рассматриваемых математических уравнений натурного явления и его модели тождественны следовательно, эти явленья подобны. Таким образом, мы приходим к следующему утверждению [c.196]

В первом и втором условиях не содержится каких-либо требований, ограничивающих численные значения постоянных, таких как физические параметры, характерные значения скорости и размеры. Такие ограничения накладываются третьим условием подобия, в соответствии с которым должны быть равны численные значения одноименных определяющих критериев. Список актуальных для рассматриваемого процесса безразмерных комплексов получают методами теории подобия или анализа размерностей (см. 1.2). Второе и третье условия подобия требуют соблюдения геометрического подобия модели и оригинала. Действительно, одинаковость граничных условий предполагает одинаковую форму записи уравнений поверхностей, на которых задаются значения температур, скоростей, концентраций если для описания геометрии системы необходимы-два или более характерных размера, третье условие подобия обеспечивает их одинаковое соотношение для модели и оригинала. Например, два кольцевых.канала подобны, если сохраняется отношение внешнего и внутреннего диаметров. [c.89]

Третье правило. На всех этапах разработки математической модели должны контролироваться сохранение инвариантов уравнений (записанных в безразмерной форме) при преобразованиях координат, размерность членов, коэффициентов и критериев и соответствие граничных условий типу уравнений математической физики. [c.200]

При составлении таблиц обязателен переход к безразмерной форме математической модели процесса теплопередачи. Преимущества безразмерной формы математической модели процесса теплопередачи очевидны, так как [Л. 38] решение уравнений, представленных в безразмерной форме менее трудоемко, чем решение тех же уравнений в размерном виде, поскольку число переменных сокращается. По этой же причине объем расчетной работы по безразмерным решениям будет минимальным. Использование безразмерной формы записи дифференциальных уравнений и краевых условий позволяет обобщить явления различной физической природы, поскольку для большой группы взаимосвязанных явлений переноса системы дифференциальных уравнений оказываются тождественными, а физический смысл соответствующих безразмерных коэффициентов аналогичным. Следовательно, создается возможность не только научно обосновать моделирование нестационарных взаимосвязанных процессов, но и путем моделирования исследовать, отрабатывать сложные процессы, составлять таблицы, графики и т. д. Нестационарный тепловой режим твердого тела представляет несомненный интерес для конструктора, занимающегося проектированием тепловых машин и теплообменных устройств различного назначения. В связи с отмеченным рассмотрим тепловой режим твердого тела в условиях несимметричного нагревания для граничных условий третьего рода. [c.153]

Исследование коэффициента теплопроводности плохих проводников тепла. Применяя общую теорию регулярного режима к телам определенной геометрической формы, можно получить ряд частных зависимостей, связывающих темп охлаждения с искомым коэффициентом теплопроводности. Эти зависимости можно получить, если развернуть безразмерные уравнения, выражающие граничные условия применительно к неограниченному цилиндру и шару, приведенные в табл. 2-1. Для неограниченного цилиндра и соответственно шара они имеют вид [c.75]

Используя безразмерные величины, определим порядок величин в основных уравнениях движения и граничных условиях. Граничные условия [уравнения (30), (33) 4.4] в безразмерной форме имеют следующий вид [c.165]

Постановка задачи такова [19]. Вертикальный слой жидкости с однородным тепловыделением ограничен плоскостями х - Н,ш которых поддерживаются постоянные одинаковые температуры. Границы слоя являются проницаемыми, причем через левую границу происходит однородное отсасывание со скоростью Uq, а через правую - вдувание с той же скоростью. Уравнения движения, записанные в безразмерной форме, с тем же выбором единиц, что ив 25, сохраняют вид (25.3). Меняются лишь граничные условия — нормальная компонента скорости на границе слоя теперь отлична от нуля и определяется скоростью отсасывания (вдувания) [c.184]

В задаче (1.1.8)-(1.1.13) удобно перейти к безразмерным переменным, выбрав в качестве единиц длины — величину (ск/р ) / , времени — скорости — agf и давления — apg) . В выбранных единицах уравнение (1.1.9) и граничные условия (1.1.11), (1.1.13) сохраняют прежнюю форму, уравнение движения (1.1.8) принимает вид [c.14]

Уравнения (1.4.1) и граничные условия (1.4.3)-(1.4.5) сохраняют в безразмерной форме прежний вид, а условие (1.4.6) в каждой из сред записывается как [c.57]

Уравнения (12.4) превращаются теперь в систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений относительно трех неизвестных функций я (I), g (I), V (I). В систему входят показатели степеней постоянные числа аир. Аналогичным путем преобразуются к безразмерной форме и начальные и граничные условия задачи, которые превращаются в условия для функций я, gf, V. [c.614]

Если уравнения в безразмерной форме, начальные и граничные условия одни и те же для двух течений, то эти течения подобны между собой. В этом случае числа Рейнольдса и Струхаля для двух течений одинаковы. Для идеальной жидкости подобие вьшолняется, если обеспечено геометрическое подобие обтекаемых тел. [c.67]

Пусть исследуемая задача имеет характерный масштаб длины — а (например, радиус частицы или трубы) и характерный масштаб скорости — и (например, невозмущенная скорость потока вдали от частицы или скорость жидкости на оси трубы). Рассмотрим сначала граничные условия (3.1.2) и (3.1.3). Тогда уравнение конвективного массопереноса (3.1.1) удобно представить в безразмерной форме следующим образом. Введем безразмерные переменные по формулам [c.100]

Используя уравнения (4.1.27), (4.1.28), в которых / 1 = 0 при х Фа, и граничные условия (4.1.5), (4.1.6) п (4.1.29) аналогично тому, как это сделано ранее, получим следующее характеристическое уравпепие, записанное в безразмерной форме [c.140]

Отметим, что при Le = l, т. е. при a = D, приведенные к безразмерной форме основные уравнения распространения тепла и диффузии (4-23) и (6-11) совершенно тождественны. Следовательно, при тождественности соответствующих граничных условий безразмерные распределения температур и концентрации в потоке будут также совершенно тождественны. Именно к такой ситуации относится соотношение Льюиса. [c.182]

В главе 3 приводятся сведения о свойствах и поведении бингамовских сред, полученные в результате последних научных исследований общие уравнения, описывающие течения вязкопластичных сред в новой форме их записи и как частные случаи течения вязких, пластичных и бингамовских сред новая постановка граничных условий безразмерная форма уравнений течения и представление предложенных уравнений течения в различных ортогональных системах координат. [c.6]

Следовательно, в уравнение энергии, которое заменяло нам в 11.6 и начальное (при х=0), и граничное на теле условия, форма тела войдет лишь через S x). Прибегая к закону подобия обтекания тел вращения, получим все тела с одинаковым законом изменения безразмерной площади 51(д 1) = [c.306]

При анализе вынужденных колебаний удобно задать возмущающее воздействие в форме экспоненциальной функции 5>>, ==5 У ехр(/с5/ ), где 5/ —амплитуда /-го возмущающего воздействия ш —безразмерная частота вьшужденных колебаний. Черта сверху над вариацией (размерной или безразмерной) обозначает амплитуду при вынужденных колебаниях. Так как решаемые уравнения (2.2.28) и (2.2.29), а также граничные условия (2.3.5) и (2.3.6) линейные, то решения будем искать в комплексной форме также в виде экспоненциальных функций, а вещественные части решений (при необходимости) выделять на [c.74]

При Ki oo функции этого параметра в (127,5—6) стремятся к постоянным пределам. Это утверждение является следствием существования предельного (при Mi->oo) режима обтекания, свойства которого в существенной области течения не зависят от М (С. В. Валландер, 1947 К- Oswatits h, 1951). Под существенной подразумевается область течения между передней, наиболее интенсивной, частью головной ударной волны и поверхностью обтекаемого тела, не слишком далеко от его передней части (подчеркнем, что именно эта область, с наибольшим давлением, определяет действующие на тело силы). Если описывать течение приведенными скоростью v/u], давлением P/P 0f и плотностью р/р как функциями безразмерных координат, то картина обтекания тела заданной формы в указанной области оказывается в пределе независящей от М]. Дело в том, что, будучи выраженными через эти переменные, оказываются независящими от М] не только гидродинамические уравнения и граничные условия на поверхности обтекаемого тела, но и все условия на поверхности ударной волны. Ограничение области движения существенной частью связано с тем, что пренебрегаемые в последних условиях величины — относительного порядка i/m 51п ф, где ф —угол между Vi и поверхностью [c.660]

Из последнего определения физического подобия следует, что для всякой совокупности подобных явлений все безразмерные характеристики (безразмерные комбинации рг змер-ных величин) имеют одинаковые числовые значения. Справедливо и обратное зшточ пш если безразмерные характеристики одинаковы, то явления подобны. Для подобных явлений вид уравнений и граничных условий не будет зависеть от выбора единиц, если величины, определяющие физическое явление, выразить в безразмерной форме, т. е. отнести данную величину к характерному масштабу. [c.188]

Для получения решения нелинейных задач с переменными тепло-физическими коэффициентами широко используются счетно-решающие устройства. Для того чтобы полученные цифровые данные носили более общий характер, дифференциальные уравнения и граничные условия записываются в безразмерной форме на основе общей теории подобия, т. е. цифровые данные характеризуют зависимость между критериями лодобия. Таким образом, в теории теплопроводности широко используются критерии подобия, которые являются обо1бщенными переменными. [c.10]

В задачах конвективного теплообмена Nu есть определяемая величина, безразмерный искомый коэффициент теплоотдачи - число Нус-сельта. В задачах нестационарной теплопроводности в твердом теле [уравнение (2.40) при w = О и граничных условиях (2.42)] аналогичный по форме комплекс а/Д является определяющим критерием Био Bi = otl/X. В отличие от числа Nu в критерии Био X — теплопроводность твердого тела, а значение а входит в условия однозначности. Критерий Био характеризует отношение термического сопротивления стенки 1/к к термическому сопротивлению теплоотдачи на поверхности (1/а), причем оба сопротивления заданы по условию задачи. [c.126]

Используем эти соображения для получения приближенного закона подобия. Как уже отмечалось в 11.5, уравнения движения и граничные условия на скачке уплотнения в ударном слое приводят при переходе к безразмерным переменным (11.5.1) — (11.5.2) лишь к критериям подобия у и Moot. Эти уравнения имеют однозначное решение при заданной форме ударной вол- [c.282]

Умножив уравнение энергии на ilia, уравнение движения на tolliu , уравнение теплообмена на /оА и выполнив аналогичные преобразования для уравнений неразрывности, начальных и граничных условий, получим математическое описание процесса конвективного теплообмена в безразмерной форме [c.68]

В различных задачах в зависимости от их постановки определяющие критерии подобия могут стать неопределяющими, и наоборот. Иногда критериев подобия, полученных из дифференциальных уравнений, оказывается недостаточно, так как не всегда могут быть однозначно сформулированы граничные или начальные условия. В этих случаях недостающие безразмерные величины могут быть определены на основании теории размерностей и результатов экспериментальных исследований на моделях. Так, для шероховатых труб такой величиной является относительная шероховатость, при обтекании твердого тела потоком жидкости или газа — его форма, соотношение размеров и т. п. [c.389]

Однако аналитические методы не дают ответа на вопрос о влиянии формы тела или ее изменения на температуру и скорость разрушения при учете излучения поверхности (при этом граничное условие для уравнения теплопроводности перестает быть однородным). Отклонение от рассмотренного выше пространственно-временного подобия может быть проанализировано только численно. Забегая вперед, можно указать, что параметром, определяющим возможность использования пространственно-временного подобия, оказывается отношение подведенного конвективного до и испускаемого лучистого естТ" тепловых потоков. Влияние этого отношения на температуру поверхности обычно достаточно слабое и в инженерной практике, по крайней мере при температурах набегающего потока Те, значительно превышающих температуру поверхности Tw, может не учитываться. Что касается скорости разрушения, то отклонения от пространственно-временного подобия зависимостей Gj (t) могут быть весьма значительными. В частности, величины безразмерной скорости разрушения, полученные на малых моделях, оказываются обычно выше, чем на больших. [c.193]

Температурное поле в непрерывном и квазинепрерывных режимах. Поле температуры на стадии установившихся процессов находится из решения стационарного уравнения теплопроводности и с учетом граничных условий, например условий третьего рода для пластины толщиной 2h и цилиндрического образца радиусом R при условии 9t( i) = onst (где —безразмерная обобщенная координата, для цилиндра = ri = r/R, для пластины li = г/1 = г//А) оно может быть получено в форме [c.17]

Заметим, что первое и четвертое уравненпя системы (2.2), (1) являются линейными относительио р2 и Т2 соответственно. Необходимо, следовательно, решить нелинейную систему из двух оставшихся уравнении. Исследуемая система и соответствующие граничные условия не содерн%-ат произвольных функций и содержат одип параметр с размерностью длины 1 . Поскольку координаты X ш у равноправны в данной задаче, решение но может. зависеть от х, у по отдельности, но зависит лишь от некоторой их линейной комбинатцтп. Таковой является переменная 6 = xig в — у. Из анализа размерностей следует, что решепие задачи зависит от безразмерного отношения / р. Это выполняется в действительности, но только в интегральной форме. Решение задачи (1), (2) и (2.2) представим в виде (2, 31] [c.197]

В безразмерных переменных уравнение равновесия, условие сплошности, граничные условия на берегах трегцины и на ее продолжении сохраняются в прежней форме, а онределяюгцие соотношения и асимптотическое условие на бесконечности принимают вид [c.368]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...