Вращение твердого тела вокруг неизменной оси

В. Вращение твердого тела вокруг неизменной оси [c.185]

Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называют такое движение тела, при котором его точки О и Oi остаются неподвижными (рис. 60). Отсюда все точки на прямой OOi, называемой осью вращения I тела, также неподвижны. Траектории всех точек тела — окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси. Представим себе, что плоскость II неизменно скреплена с телом, а плоскость 1 неподвижна, причем угол ф между этими плоскостями равен нулю при to = 0. Считая, что расположение тела по отношению к плоскости II известно, мы будем знать положение тела по положению плоскости II, которая определяется углом ф, поэтому равенство [c.80]

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Этот частный случай движения твердого тела очень часто встречается в технике и требует более подробного рассмотрения. Неподвижность мгновенной оси вращения означает неизменное ее положение в теле и в пространстве. В данном случае она называется просто осью вращения. Если совместить оси О г и Oz подвижной и неподвижной систем координат с осью вращения тела, то при движении будет изменяться только угол ф (рис. 2.7). При таком движении тело обладает одной вращательной степенью свободы. Кинематическое уравнение вращательного движения задает угол как функции времени ф = ф(/). Во время движения отдельные точки тела описывают окружности с центрами на оси вращения. Перемещения точек тела за один и тот же промежуток времени неодинаковы и пропорциональны расстояниям их до оси вращения. Также неодинаковы и скорости различных точек тела. [c.51]

Движение твердого тела вокруг неподвижной точки, состоящее 113 его вращения вокруг оси, неизменно связанной с телом, и движения, при котором эта ось вращается вокруг пересекающей ев оси, неподвижной в рассматриваемой системе отсчета, называют [c.159]

Аналогично можно рассмотреть частный случай движения твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. В этом случае, очевидно, ни относительное, ни переносное движение не может быть поступательным, так как скорость одной точки тела всегда остается равной нулю движение тела можно рассматривать как вращение тела относительно оси, которая сохраняет неизменным свое положение по отношению к телу и в свою очередь вращается относительно оси, неподвижной в пространстве. При этом линейная скорость каждой точки тела равна геометрической сумме линейных скоростей относительного движения данной точки тела (вращения вокруг неизменной оси) и переносного движения (вращения неизменной по отношению к телу оси относительно другой оси, неподвижной в пространстве). В этом случае результирующее ( абсолютное ) движение тела представляет собой вращение с угловой скоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей относительного и переносного движений. [c.61]

Что касается мгновенной угловой скорости о) вращения твердого тела, то она может быть получена следующим образом. Если ф и б известны, то известно положение триэдра Охуг и остается только определить положение тела относительно этого триэдра. Для этого достаточно знать угол ср, который образует с осью Ох какая-нибудь прямая ОА в плоскости хОу, неизменно связанная с телом, считая этот угол положительным в сторону положительного вращения вокруг оси Ог. [c.190]

Движение твердого тела вокруг неподвижной точки, состоящее из его вращения вокруг оси, неизменно связанной с телом, и движения, при котором эта ось вращается вокруг пересекающей ее оси, неподвижной в рассматриваемой системе отсчета, называют прецессией. Прецессия называется регулярной, если вращение тела вокруг неизменно связанной с ним оси и вращение самой этой оси происходят с постоянными по модулю угловыми скоростями. [c.192]

Отсюда следует, что движение твердого тела вокруг неподвижной точки можно представить себе как непрерывный ряд последовательных вращений вокруг мгновенных осей, проходящих через эту неподвижную точку. Важно заметить, что положение мгновенной оси вращения тела не остается неизменным в различные моменты времени эта ось занимает различные положения как в пространстве, так и в самом движущемся теле ). [c.335]

Определения. Абсолютно твердым телом называют такую систему материальных точек, расстояния между двумя любыми точками которой остаются всегда неизменными. Абсолютно твердое тело либо заполняет некоторую область пространства, либо состоит из нескольких отдельных точек. Перемещения абсолютно твердого тела в пространстве могут быть либо свободными, либо стесненными некоторыми условиями. Так, например, перемещения твердого тела будут стеснены, если одну из его точек сделать неподвижной. Если закрепить две точки твердого тела, то возможными движениями такого тела будут только вращения вокруг неподвижной прямой, проходящей через эти закрепленные точки. Такую прямую называют осью вращения твердого тела. Если закрепить еще одну точку твердого тела, не расположенную на оси вращения, то тело не сможет перемещаться и будет оставаться неподвижным. Таким образом, три точки твердого тела, не расположенные на одной прямой, полностью определяют положение твердого тела. Для определения движения твердого тела достаточно знать закон движения трех его точек, не расположенных на одной прямой. [c.66]

Следовательно, жесткие вращения возможны только вокруг главных осей инерции —они родственны перманентным вращениям абсолютно твердого тела в случае Эйлера (см. гл. VI). Однако имеется и существенное различие, которое состоит в том, что абсолютно твердое тело может вращаться (в действительном движении) относительно любой оси, тогда как система свободных точек может вращаться с сохранением конфигурации только вокруг главных осей инерции. Здесь не имеет смысла постановка вопроса об устойчивости перманентных вращений неизменной конфигурации. В задаче п точек прежде всего возникает вопрос об устойчивости самой конфигурации [c.481]

Наиболее интересным является случай, когда твердое тело представляет собой однородное тело вращения, подвешенное в точке своей оси. Ось тела описывает в этом случае по отношению к системе Гх у 2" конус вращения вокруг оси кинетического момента, который остается неизменным в этой системе отсчета и, следовательно, имеет неизменное направление относительно неподвижных звезд. Кажущееся движение тела получается, в результате наложения суточного движения небесного свода на это простое движение. [c.188]

Циклические координаты, описывающие перемещения или вращения, играют, важную роль при исследовании свойств системы. Поэтому они заслуживают того, чтобы на них остановиться несколько подробнее. Если координата, описывающая перемещение системы, является циклической, то это означает, что перемещение системы как твердого тела не отражается на ее динамических характеристиках. Вследствие этого, если система инвариантна относительно перемещения вдоль данного направления, то соответствующее количество движения сохраняется постоянным. Аналогично, если циклической координатой будет координата, описывающая поворот (и поэтому будет оставаться постоянным кинетический момент системы), то система будет инвариантна относительно вращения вокруг данной оси. Таким образом, теоремы о сохранении количества движения и кинетического момента тесно связаны со свойствами симметрии системы. Если, например, система обладает сферической симметрией, то мы можем сразу утверждать, что все составляющие ее кинетического момента будут оставаться постоянными. Если же система симметрична только относительно оси г, то неизменным будет оставаться только кинетический момент L , и аналогично для других осей. С зависимостью между постоянными, характеризующими движение, и свойствами симметрии мы еще несколько раз встретимся. [c.66]

Равенство (16), естественно, сохраняет свое значение также и в случае твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси а (лишь бы начало О подвижной системы было взято на этой прямой), но поскольку в этом случае угловая скорость <о неизменно сохраняет направление оси а, то, если совместить с этой осью вращения одну из неподвижных осей, например ось х, кроме величин и, v, w, будут равны нулю также q н г, так что равенство (16) получит вид [c.232]

Отбросим теперь предположение, что момент внешних сил относительно центра тяжести равен нулю, и предположим только, что Жа = 0, ГД6 а есть ось, неподвижная или имеющая неизменное направление и проходящая через центр тяжести рассматриваемого твердого тела. Мы сейчас же увидим, что невозможно вызвать вращение вокруг оси а, если исходить из состояния покоя. Действительно, из равенства (5) следует, что составляющая Ка остается постоянной а так как составляющая Ка равна Ав, где 0 — угол, определяющий положение тела, то угловая скорость б останется равной нулю, если она вначале равна нулю (так как момент инерции А отличен от нуля). [c.262]

Любое плоское движение твердого тела можно представить состоящим из двух движений, поступательного вместе с центром масс и вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс и имеющей неизменное направление в пространстве. Поэтому кинетическая энергия движения относительно центра масс есть энергия вращения тела вокруг оси. [c.216]

Твердое тело при плоскопараллельном движении имеет три степени свободы два независимых поступательных перемещения вдоль координатных осей, выбираемых в основной неподвижной плоскости, параллельно которой происходит движение тела, и одно вращение вокруг оси, перпендикулярной неподвижной плоскости. Таким образом, положение твердого тела при плоскопараллельном движении определяется тремя параметрами (тремя обобщенными координатами). Из основных теорем динамики системы следует, что наиболее рационально выбрать за обобщенные координаты твердого тела координаты его центра масс 1е, "Пс и угол поворота ф, который образует неизменно связанная с движущимся телом прямая СА с осью (фиг. 188). [c.425]

Если твердое тело раскрутить вокруг произвольной оси, жестко связанной с телом, и высвободить ось из подшипников, то ее направление в пространстве, вообще говоря, будет меняться. Для того, чтобы произвольная ось вращения тела сохраняла свое направление неизменным, к ней необходимо приложить определенные силы. Возникающие при этом ситуации показаны на рис. 3.6. [c.42]

Постоянство момента количества движения относительно нормали к неизменной плоскости предполагает определенные оговорки. Солнце и планеты являются не материальными точками, а сферическими (или почти сферическими) телами, каждое из которых вращается вокруг некоторой оси, и это вращение должно изменять момент количества движения системы. Если бы эти тела являлись твердыми сферами, плотность каждой из которых была бы функцией лишь расстояния от центра сферы, то момент количества движения системы оставался бы постоянным и неизменную плоскость можно было бы определить и она была бы действительно неизменной. Эти условия не выполняются строго для большинства планет и выполняются только приближенно для Солнца. Кроме того, даже вращательный момент количества движения некоторых планет (например. Земли) подвергается прогрессивным изменениям вследствие прецессии и приливного трения. Например, вследствие прецессии ось Земли изменяет свое положение относительно основной плоскости, и, следовательно, составляющие ее момента количества движения относительно осей координат непрерывно изменяются. Что же касается приливного трения, то оно постепенно замедляет вращение Земли, хотя и с очень незначительной скоростью. [c.75]

Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется движение твердого тела, если одна прямая (ось вращения), неизменио связанная с твердым телом, во время движения остается неподвижной. [c.72]

При сделанных предположениях среди возможных перемещений акробата находятся поступательные перемещения как твердого тела во всех направлениях и вращение как твердого тела вокруг горизонтальных осей. Следовательно, в движении относительно центра масс акробата будет иметь место теорема о моменте количеств движения вокруг горизонтальной оси неизменного направления, проходящей через центр масс. Так как внутренние силы не входят в теорему о моменте количеств движения, а момент силы тяжести относительно центра масс всегда равен нулю, то после интегрирования выражения указанной теоремы о моменте количеств движения можем сделать заклю- [c.158]

Уравнения Эйлера. Многие исследования о вращении твердого тела около неподвижной точки под действием внешних сил или при их отсутствии основываются на замечательной системе уравнений, установленных Эйлером (1758) и известных под его именем. Было уже замечено ( 38), что употребление неподвижной системы координат неудобно для уравнений движения, так как коэфициенты инерции непрерывно изменяются. Поэтому Эйлер наметил план введения осей координат, неизменно связанных с телом и движущихся вместе с ним. Для большего упрощения в качестве таких осей принимают главные оси инерции ОА, ОВ, ОС, относящиеся к неподвижной точке О. Пусть Ох, Оу, Oz — система осей, неподвлжных в пространстве, но ориентированных так, что они в данный момент t времени совпадают соответственно с осями ОА, ОВ и ОС. Через промежуток времени Ы положение главных осей инерции определится, как результат трех поворотов рЫ, qbt, rbt, соответственно, вокруг осей ОХ, 0Y, 02. Если мы пренебрежем квадратами и произведениями малых количеств, то для нас будет несущественно, в каком порядке происходят эти повороты. Поворот вокруг Оу не изменит положения ОВ, но поворот вокруг Ог повернет ОБ в сторону от оси Ох на угол гЫ. Поворот же вокруг Ох не изменит угла между ОВ и Ох. Таким образом косинус угла между ОВ и Ох станет равен теперь — rZt. Далее поворот около Oz не изменит положения ОС, а поворот вокруг Оу приблизит ОС к Ох на угол дЫ. Косинус угла между ОС и Ох станет теперь равен -[-Наконец, угол между О Л и Ох бесконечно мал. Таким образом косинусы углов, образованных осями ОА, ОВ и ОС с осью Ох, будут соответственно равны [c.118]

В общем случае, когда к твердому телу приложены силы не к центру масс, движение становится сложным это можно заметить, рассматривая вращение тела вокруг любой оси, не совпадающей с осью свободного вращения. Закон движения тела под действием сил, проходящих через центр масс, так же прост, как и закон движения материальной точки все точки тела будут иметь одинаковое ускорение, и тело будет двигаться поступательно в пространстве, так что любая линия, связанная с телом, сохранит неизменное направление в пространстве. Следовательно, движение телд можно разделить на два поступательное движение, определяемое движением центра масс, и вращение относительно какой-то оси, проходящей через центр масс. В общем случае эта ось меняет свое положение в теле и направление в пространстве. [c.220]

Обратимся теперь к вращению твердого тела по инерции. Для этого случая задачу Дарбу можно разрешить. Действительно, величины 0) , со со зависят лишь от п и, следовательно, являются известными функциями Ь. Далее, вращение с угловой скоростью й) происходит вокруг направления, неподвижного в пространстве. Вращение с угловой скоростью со происходит вокруг направления, неизменного в системе которой ось направлена по линии узлов, а ось совпадает о осью 0 . вращение с угловой скоростью 0 происходит вокруг оси, неподвижной в системе гнаправлена по линии узлов, а ось 2 - по оси 2. Ориентация твердого тела, таким образом, определяется формулой [c.17]

При сообщении свободному твердому телу начальной угловой скорости вокруг одной из осей эллипсоида инерции три направления — этой оси, мгновенной оси вращения (вектора о) и главного момента количеств движения К совпадают и сохраняют неизменное направление в пространстве. При малом возмущении вектор ю будет описывать конус с малым углом раствора (конус герполопии) вокруг нового, но неизменного в пространстве направления вектора К однако угол раствора конуса герполодии, описываемого вектором <л по отношению к осям, связанным с телом, будет оставаться достаточно малым лишь при условии, что начальное вращение происходило вокруг оси наибольшего или наименьшего моментов инерции. В этом смысле говорят, что вращения свободного твердого тела вокруг осей наибольшего или наименьшего моментов инерции устойчивы, а вокруг оси среднего момента инерции неустойчивы. Вращение вокруг оси наибольшего момента инерции устойчивее в том смысле, что малое возмущение начального вращения вокруг этой оси создает конус герполодии с меньшим углом раствора, чем возмущение вокруг оси наименьшего момента инерции. (Прим. ред.) [c.703]

Вообще сферическое (п. 2.1 гл. IX) движение твердого тела, состоящее из вращения вокруг неизменно связанной с телом оса и вращения этой оси вокруг другой, с ней нересекающейся и неподвижной в рассматриваемой системе отсчета, называется прецессией. Если оба вращения являются равиомерными, то прецессия называется регулярной. [c.224]

Если бы в процессе двиисення углы ф, 6 п ф оставались неизменными, то тело перемещалось бы поступательно в соответствии с тремя первыми уравнениями системы (4.4). Если бы полюс Л тола оставался неподвижным, то тело двигалось бы вокруг неподвижной точки А согласно трем последним уравнениям системы (4.4). В действительности же в общем случае движения твердого тела меняется как положение полюса, так и углы Эйлера. Поэтому мы можем сказать, что в общем случае движеи ие твердого тела в каждый момент времени слагается из поступательного движения, при котором все точки движутся со скоростью произвольно выбранного полюса Л, и из вращения с мгновенной угловой скоростью (о вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через полюс А. [c.75]

Рассмотрим теперь непрерывное движение твердого тела в течение некоторого промежутка времени. Оставим в стороне случай вращения вокруг неподвижной оси и предположим, что мгновенное движение ни в какой момент времени не вырождается в поступательное движение. В таком случае можно дать представление непрерывного движения твердого тела, аналогичное тому, которое мы только что рассмотрели для плоской фигуры. Движение сечения (5) можно осуществить, заставляя кривую С неизменно сгязанную с сечением, катиться по неподвижной кривой Ср тлк что точка касания будет совпадать с мгно- [c.82]

Под названием гироскоп (которое впервые, повидимому, ввел Фуко для прибора, построенного Боненбергером [ ] в Тюбингене в 1877 г.) в физике подразумевается прибор, в его простейшей форме состоящий из металлического однородного массивного диска, насаженного в его центре О (фиг. ЮЗ перпендикулярно к его плоскости на ось, концы которой опираются в двух диаметрально противоположных точках А, А на металлическое кольцо, свободно вращающееся вокруг своего диаметра, перпендикулярного к АА. Концы В, В этого второго диаметра опираются на концы полукруглой вилки эта вилка сама свободно вращается вокруг своей оси, помещенной своим нижним концом в муфту, вделанную в устойчивую подставку, которая должна опираться на горизонтальный стол. Согласно терминологии, принятой нами в гл. IV, п. 17, массивный диск вместе с неизменно связанной с ним осью АА (поскольку он является твердым телом вращения, обладающим относительно прямой А А полной геометрической и динамической симметрией) и представляет собой гироскоп в узком смысле подвес же, описанный выше, предназначен для того, чтобы 3Tot гироскоп мог свободно вращаться вокруг своего центра тяжести О. [c.74]

Возьмем за полюс точку О, описывающую кривую АВ (черт. 261) и составим уравнения вращения вокруг этого полюса. Для этого проводим через точку О оси а, Ь, с, которые движугся поступательно, оставаясь параллельными неподвижным осям х, у, г, и оси т, неизменно связанные с твердым телом. Отметив эйлеровы углы О, ф, ср, получаем уравнения вращения вокруг полюса О [c.272]

Теперь возьмем за полюс другую точку тела Оу, описывающую траекторию АуВу Составим уравнения вращения вокруг этого нового полюса. Для этого проведем через точку О1 оси ау, Ьу, Су, которые движутся поступательно, оставаясь параллельными неподвижным осям X, у, г, и оси 1, 7)1, С1, неизменно связанные с твердым телом. Так как выбор этих последних осей находится в нашем распоряжении, то проведем оси 1, 7)1, С1 параллельно осям I, У , С. В таком случае во все время движения оси ау, Ьу, Су будут оставаться параллельными осям а, Ь, с (ибо и те и другие движутся поступательно), а оси 1, т 1, С1 будут оставаться параллельными осям I, т), (ибо и те и другие неизменно связаны с твердым телом). Следовательно, обозначив эйлеровы углы, построенные при точке Оу, через 05, ф), ср1, мы будем иметь во все время движения [c.272]

Движения волчка в общем случае. Из примеров движения волчка, приведенных в п. 202, видно, как видоизменяется эффект действия сил на тело от вращения этого тела. Если волчок с неподвижной точкой О был первоначально в состоянии покоя, то сила тяжести заставит его повернуться вокруг оси ОВ и упасть вниз. Когда же волчок быстро вращается вокруг своей оси ОС, сила тяжести не изменяет ош,утимо наклона этой оси к вертикали, а заставляет эту ось описывать прямой круговой конус вокруг вертикали. Для того чтобы лучше понять причину этого различия, полезно изучить движение с другой точки зрения. Рассмотрим геометрическую интерпретацию Пуансо движения твердого тела по инерции и попытаемся проследить, как она будет изменяться при учете действия силы тяжести. Предположим, что тело движется произвольно и мгновенная ось вращения 01 описывает полодию с параметром р (п. 143). Пусть на тело действует пара сил с моментом Q. Если ось пары совпадает с неизменяемой прямой 0L, ее влияние выражается лишь в изменении существующего момента количеств движения G. Траектории всех точек тела в пространстве остаются неизменными, но описываются уже с другими скоростями (п. 146). Таким образом, полодия остается неизменной. Если ось пары перпендикулярна к 0L, величина мо.мента количеств движения за время dt не изменится + (Q dt) = G), хотя сама неизменяемая пря- [c.176]

Если рассматривать твердое тело как систему бесконечного числа материальных точек, то все формулы останутся в силе, а суммирование нужно проводить от 1 до сю. Так как расстояния между произвольными точками твердого тела, по определению, неизменны, то формула (2.11) определяй дмжение тела как целого, и именно ее применяют при расчете движений конкретных тел. Прн этом, однако, не исключается возможность вращения тела вокруг точки или оси. [c.62]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...