О существовании инвариантных поверхностей

I Itl СУЩЕСТВОВАНИЕ ИНВАРИАНТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 207 [c.207]

I 131 СУЩЕСТВОВАНИЕ ИНВАРИАНТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 209 [c.209]

I ISl СУЩЕСТВОВАНИЕ ИНВАРИАНТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 213 [c.213]

I II] СУЩЕСТВОВАНИЕ ИНВАРИАНТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 215 [c.215]

Л существование ИНВАРИАНТНЫХ Поверхностей 217 [c.217]

I 14] СУЩЕСТВОВАНИЕ ИНВАРИАНТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ 219 [c.219]

Существование инвариантной поверхности и поведение решений на ней в одном специальном случае [c.219]

И СУЩЕСТВОВАНИЕ ИНВАРИАНТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ 221 [c.221]

I Ul СУЩЕСТВОВАНИЕ ИНВАРИАНТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ 223 [c.223]

Вернемся к рис. 7.112, 7.113 и 7.114. Рис. 7.113 соответствует обычному синхронизму, расположенному на гладкой тороидальной поверхности в момент его бифуркаций. При непрерывном изменении параметров существование этой гладкой инвариантной поверхности может нарушиться либо благодаря потере ею устойчивости, либо благодаря разрушению гладкости. Эти бифуркации непосредственно не связаны с теми изменениями, которые рассматриваются, и поэто.му, если они не имеют места, то смена синхронизмов происходит, как было описано выше, на сохраняющем [c.368]

Теорема /3.2. Инвариантная поверхность 2 , существование которой доказывается теоремой 13.1, асимптотически устойчива по Ляпунову. [c.214]

Интеграл Гесса в уравнениях Чаплыгина. Укажем еще один случай существования инвариантного соотношения Гесса для неавтономной системы, описывающей падение твердого тела в жидкости без начального толчка 7 гл. 1. При этом поверхность, ограничивающая тело, осесимметрична, а ось симметрии перпендикулярна круговому сечению гирационного эллипсоида. Гамильтониан можно представить в форме [c.254]

Другим важным приложением является движение заряженной частицы в магнитном и электрическом полях. Прежде всего было установлено, что магнитный момент является адиабатическим инвариантом, связанным с ларморовским вращением заряженной частицы [7]. В дальнейшем были рассмотрены адиабатические инварианты и для других степеней свободы частицы. Эта задача стимулировала развитие асимптотических разложений и техники усреднения, а также исследования Чирикова 167 ], в которых он изучал переход. между регулярным и стохастическим движением и установил первый критерий такого перехода (критерий перекрытия резонансов). В дальнейшем был проведен учет влияния высокочастотного поля вследствие его резонанса с ларморовским вращением. В результате был найден предел для высокочастотного нагрева, связанный с существованием инвариантных кривых. Родственная задача о движении частицы в намагниченной плазме под действием волны, иллюстрирующая многие из вышеупомянутых особенностей движения, используется в качестве примера для резонансной теории возмущений (гл. 2) и для определения перехода от адиабатического поведения к стохастическому (гл. 4). Другим интересным приложением теории является движение частиц в ускорителях. Именно в этой области были проведены некоторые ранние исследования поведения многомерных нелинейных систем. Уравнения Гамильтона могут быть использованы также и для описания других типов траекторий, таких, как магнитные линии или лучи в геометрической оптике. В случае аксиально симметричной тороидальной геометрии гамильтониан, описывающий магнитные линии, оказывается интегрируемым. К настоящему времени уже проведен ряд исследований по разрушению тороидальных магнитных поверхностей возмущениями, возникающими как от внешних токов, так и от самосогласованных токов удерживаемой плазмы. Подобные приложения используются ниже в качестве примеров, а также кратко обсуждаются в дополнении А. [c.17]

Третий метод определения границы стохастичности базируется на анализе линейной устойчивости движения вблизи центра резонанса (его периодической траектории). Идея метода состоит в следующем. Поскольку потеря линейной устойчивости для резонансов с наиболее низкой гармоникой ( = 1) является слишком жестким условием, более эффективным критерием может служить линейная устойчивость для тех резонансов на высоких гармониках к, которые расположены вблизи некоторой инвариантной поверхности. Эта гипотеза была численно проверена и подтверждена Грином [164, 165]. Более конкретно, гипотеза Грина состоит в том, что существование инвариантной кривой с иррациональным числом вра- [c.247]

Прообразом семейства характеристик на поверхности 2 на плоскости параметров и, д) является семейство кривых / и, д, ф) = 0. При а X X. а Ф О касание инвариантно на плоскости (и, ) и на а и, ). Поэтому достаточный признак существования огибающей Z) на 2 является одновременно достаточным признаком существования огибающей семейства характеристик в плоскости и, 0). При геометрических построениях целесообразно вместо D построить ее прообраз в указанной плоскости. [c.87]

Было обосновано существование в двумерных телах с концентраторами напряжений особой точки [23, 53], для которой характерно следующее если в этой точке определены номинальные напряжения, то безразмерный параметр, имеющий структуру теоретического коэффициента концентрации напряжений а = = о/сг ( о), остается неизменным при изменении в широких пределах характера поля нагрузок (в формуле о — максимальные напряжения в зоне концентратора а — номинальные напряжения, определенные в особой точке х -, х — безразмерные координаты, определяемые в локальной системе координат, в которой ось ху> направлена по плоскости надреза в вершине надреза х = = 0, а на его поверхности — х = I). Особенность функции М в области особой точки связана не с наличием сингулярности (разрыва) и не с применением метода малого параметра, когда искомое решение находится с помощью малого параметра вблизи иного, известного решения. В данном случае особенность понимается в том смысле, что безразмерный параметр М = Кг V ) характеризующий решение (как, например, теоретический коэффициент концентрации напряжений а ) для широкого класса задач, сохраняет свою инвариантность. Представление об особой [c.109]

Мы должны здесь сделать несколько подготовительных замечаний. В первоначальной форме этой теоремы речь идет о преобразовании Т двумерного кольца в самого себя. Для применения этой теоремы к какой-либо динамической проблеме необходимо было поэтому найти полную секущую поверхность S, ограниченную двумя периодическими кривыми движения. Но в случае многих степеней свободы такой секущей поверхности не существует, если нет замкнутого инвариантного семейства кривых движения. Однако существования такого семейства нельзя ожидать. Для возможности динамических приложений мы должны поэтому найти обобщение теоремы, относящееся лишь к преобразованию вблизи неподвижной точки. Такие преобразования всегда имеются. [c.324]

Уже в первых исследованиях ДМЭ было обнаружено, что на фоне дифракционных рефлексов от объемной структуры кристалла четко фиксируются рефлексы от его поверхности. Дифракционная картина от поверхностных атомов наблюдалась только в случае атомарно-чистой поверхности и полностью исчезала даже при слабом ее окислении. Сам факт возникновения дифракции однозначно говорит о существовании на атомарно-чистой поверхности упорядоченных областей, обладающих трансляционной двумерной инвариантностью. [c.133]

Пусть 5—инвариантная поверхность, существование которой доказано в предыдущем пункте. При е = О поверх-ЕюстЕ. эта вырождается в поверхность Sq, задаваемую формулами (13.3) (в координатах 0, t, z поверхность Eq представляет собой плоскость 2 = 0). [c.213]

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых наруилается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность ). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Л/, . Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа О ". Так как фазовая кривая Г выходит из О" , то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию S l,. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5 пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означае т, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на едирплцу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви- [c.262]

После перехода к двумерным теориям поля отпадает необходимость рассматривать двумерную поверхность как вложенную в какое-то пространство-время большего числа измерений и интерпретировать её как мировую поверхность одномерной струны, движущейся в подобном пространстве. Более того, такая интерпретация невозможна для мн. конформных моделей, а значит, и для соответствующих струнных моделей. Если на основе С. т. строится квантовая гравитация, то включение подобных струнных моделей следует рассматривать как учёт сильных флуктуаций пространственно-временной структуры, нарушающих её непрерывность. В струнных моделях, допускающих существование непрерывного пространства-времени, связь пространственно-временных свойств с двумерными he исчерпывается соотношением между ур-ниями движения и конформной инвариантностью. Другими примерами являются связь пространственно-временной и 2-мерной су-персимметрни в формализме NSR, соотношение между групповой структурой в конформной теории и калибровочной инвариантностью Янга—Миллса в соответствующей струнной модели и др. [c.10]

В качестве возможного объяснения того, почему простые теории не для всех превращений приводят к совпадению с экспериментальными результатами, был предложен сдвиг при инвариантной решетке, происходящий по иррациональным плоскостям или направлениям, однако прямых данных о существовании таких более сложных поверхностей раздела очень мало. Гипотезы двой-никования в сочетании с предположением о том, что оба двойника имеют эквивалентные ориентационные отношения с матрицей, часто требуют, чтобы направление двойникования было иррациональным, и это предсказание теории было подтверждено экспериментально в случае превращения кубической фазы в ромбическую в сплавах золото — кадмий. Однако, в то время как дислокационная модель допускает образование скользящей поверхности раздела из различных систем дислокаций, представляется маловероятным, чтобы такая поверхность могла образоваться из сочетания разных систем двойников. [c.332]

Действительно, Цермело исходит из предположения, что существует некоторое безусловное (в противоположность условному, возникающему при условии, что предварительный опыт выделил область ДГ ) и инвариантное относительно движения, т. е. стационарное, распределение вероятностей. Приняв, несколько произвольно, за меру вероятности меру по Лиувил-лю (т. е. на поверхности заданной энергии эргодическую меру), Цермело пришел к равномерному распределению вероятностей иа поверхности заданной энергии. Между тем, ни предположение безусловных вероятностей, ни предположение стационарности закона распределения вероятностей не являются в классической теории непосредственно необходимыми. Поэтому ответ, который, по существу, давался в статистической физике на аргументы Цермело, заключался в том, что, отказываясь от этих предположений, принимали существование условных вероятностей и нестационарного распределения вероятностей принимали существование вероятностей в условиях того, что опыт [c.78]

Цель этой главы — познакомить читателя с использованием вариационных методов в теории динамических систем, которые позволяют находить интересные орбиты некоторых динамических систем как критические точки некоторых функционалов, определенных на подходящих вспомогательных пространствах, образованных потенциально возможными орбитами. Эта идея восходит к идее использования вариационных принципов в задачах классической механики, которой мы обязаны Мопертюи, Даламберу, Лагранжу и другим. В классической ситуации, когда время непрерывно, источником определенных трудностей является уже то обстоятельство, что пространство потенциально возможных орбит бесконечномерно. Для того чтобы продемонстрировать существенные черты вариационного подхода, не останавливаясь на вышеупомянутых технических деталях, в 2 мы рассмотрим модельную геометрическую задачу описания движения материальной точки внутри выпуклой области. Затем в 3 будет рассмотрен более общий класс сохраняющих площадь двумерных динамических систем — закручивающих отображений, которые напоминают нашу модельную задачу во многих существенных чертах, но включают также множество других интересных ситуаций. Главный результат этого параграфа — теорема 9.3.7, которая гарантирует существование бесконечного множества периодических орбит специального вида для любого закручивающего отображения. Не менее, чем сам этот результат, важен метод, с помощью которого он получен. Этот метод, основанный на использовании функционала действия (9.3.7) для периодических орбит, будет обобщен в гл. 13, что даст возможность получить весьма замечательные результаты о непериодических орбитах. После этого, развив предварительно необходимую локальную теорию, мы переходим к изучению систем с непрерывным временем, хотя мы проделаем это только для геодезических потоков, для которых функционал действия имеет ясный геометрический смысл. При этом важной компонентой доказательства оказывается сведение глобальной задачи к соответствующей конечномерной задаче путем рассмотрения геодезических ломаных (см. доказательство теоремы 9.5.8). В 6 и 7 мы сосредоточим внимание на описании инвариантных множеств, состоящих из глобально минимальных геодезических, т. е. таких геодезических, поднятия которых на универсальное накрытие представляют собой кратчайшие кривые среди кривых, соединяющих любые две точки на геодезической. Главные утверждения этих параграфов — теорема 9.6.7, связывающая геометрическую сложность многообразия, измеряемую скоростью роста объема шаров на универсальном накрытии, с динамической сложностью геодезического потока, выражаемой его топологической энтропией, и теорема 9.7.2, позволяющая построить бесконечно много замкнутых геодезических на поверхности рода больше единицы с произвольной метрикой. Эти геодезические во многом аналогичны биркгофовым минимальным периодическим орбитам из теоремы 9.3.7. [c.341]

В этом параграфе будут рассмотрены некоторые из следствий существования гиперболических мер для С " -диффеоморфизмов компактных поверхностей. Главная цель состоит в том, чтобы связать существование отличных от нуля показателей с наличием гиперболических периодических орбит, трансверсальных гомоклинических точек и гиперболических подков. Как читатель, по-видимому, правильно ожидает, главными техническими средствами в данном параграфе будут лемма о замыкании и возвращаемость, которая гарантируется наличием инвариантных мер. [c.685]

Поэтому последовательные пересечения должны лежать на некоторой инвариантной кривой, определяемой уравнением (1.2.46) с 92 = onst. Таким образом, существование интегралов движения можно определить из анализа пересечений траекторий с поверхностью Y,r- После того как существование интеграла установлено, можно исследовать локальную устойчивость и другие интересные свойства инвариантных кривых. [c.33]

Пусть Г — топологически транзитивный поток класса С на двумерном компактном ориентируемом многообразии рода р 1 (т. 1, ч. И), имеющий лишь конечное число неподвижных точек, являющихся невырожденными седлами, и не имеющий блуждающих точек (т. е. таких точек, у которых есть окрестность и, для которой и ]Т и = 0 при t to). В [18] доказано, что число нетривиальных нормированных эргодических мер для таких потоков (т. е. таких, относительно которых любая траектория имеет меру нуль) не превосходит р. Эта оценка точна для любых натуральных р, к, р к, существует топологически транзитивный поток класса С на поверхности Мр. рода р, имеющий ровно к нетривиальных нормированных эргодических мер и 2р—2 неподвижных точек, являющихся невырожденными седлами (Е. А. Сатаев [40]). В [6] построены примеры строго эргодических потоков на всех поверхностях, кроме сферы, проективной плоскости и бутылки Клейна, где существование таких потоков невозможно. В [26] построены примеры перемешивающих потоков класса С с инвариантной мерой, имеющей положительную плотность класса С , на всех поверхностях, кроме только что перечисленных трех исключительных поверхностей. [c.78]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...