ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О существовании инвариантных поверхностей из "Нелокальные проблемы теории колебаний " Теорема 12.1. Если все решения Х 1, Хд, 0) системы 2Л) продолжимы на все моменты времени О ]и) и если существует решение, ограниченное при 0, то существует и ш-периодическое решение. [c.186] Теорема 12.2. Предположим, что преобразование Т не имеет неподвижных точек, тогда луч переноса не может иметь двойных точек (т. е. точек, принадлежащих = и т = Т у,пфт, и отличных от их общего конца,, если т — и = 1). [c.187] Отсюда следует, что угол поворота вектора преобразования V при обходе начальной точкой кривой С будет такой же, как и угол поворота вектора, нигде не исчезающего, конец которого при обходе начальной точкой кривой С также обходит кривую С, и потому этот угол равен Таким образом, индекс замкнутой кривой С в поле v равен - -1 следовательно, в области, ограниченной кривой С, вектор V обращается в нуль хотя бы в одной точке Xq, Но тогда Xq = TXq, т. е. точка Xq — неподвижная точка преобразования Т. Это противоречит условию. Теорема доказана. [c.188] Обозначим через fj образ плоскости Е при преобразовании Т. [c.188] Теорема 12,3. Если преобразование Т не имеет неподвижных точек, то через каждую точку области Е, можно провести луч переноса. [c.188] Доказательство. Возьмем произвольную точку X Еу и покажем, что ее можно соединить с Х = ТХ дугой переноса, этим и будет доказана теорема. [c.188] Соединим X с Ху какой-нибудь простой дугой т, лежащей в Еу и положим = Если и 71 не пересекаются, та теорема доказана. Будем предполагать, что кривые 1 и 7, иерссекаются. [c.189] Дуга Р = 7 Р1, соединяющая точку г = Т г с X. тогда не будет пересекаться ни с Хг (так как 1 не пересекается с А 1 1), ни с А 1Г2. где г —Тгу (очевидно, что Таким образом, простая дуга гХг состоящая ин частей Р и 7, есть дуга переноса. Так как по теореме 11.2 луч переноса, проведенный через дугу гХгу не имеет двойных точек, то дуга ХгуХ этого луча есть также дуга переноса. [c.189] Доказательство. Пусть Ху=вТХ и 7 — дуга переноса, соединяющая эти точки. Такая дуга существует по теореме 12.3. Пусть и — столь малая окрестность точки X, что 1) она не содержит ни внутри, ни на границе точек дуги = 2) замыкания множеств и, и — Ти и и2 — Ти1 не пересекаются между собой, 3) Уз не имеет общих точек с дугой 7. [c.190] Пусть У — последняя на дуге 7, считая от X, общая точка 7 и границы и, т. е. дуга УХ (часть 7) целиком лежит вне и, з У лежит на границе У. [c.190] Тшорема 12.5. Пусть Т — гомеоморфное а сохраняю-ЩФ9 ориентацию преобразование евклидовой плоскости Е I г бя, пусть существует такая точка У плоскости, что последовательность У, У — ТУ, У РУ,. .. имеет йМоОнщуюся подпоследовательность, тогда преобразо- ЩН 1 Т имеет неподвижную точку. [c.191] Из условия 2) следует, что правые части рассматриваемой системы имеют период, равный единице. [c.192] Таким образом, система (12.3), имея два решения с периодом, равным 2, не имеет решений с единичным периодом. Мго происходит из-за того, что ни одно решение, у которого и = 0, не продолжимо на периоде, в чем нетрудно убедиться путем непосредственного интегрирования второго У1ШШения системы (12.5) при а = 0. [c.193] Прежде чем переходить к доказательству этого утверждении, установим справедливость следующих геометрических лемм. [c.193] Определим преобразование 5 множества Г на У1 и покажем, что это преобразование гомеоморфное. Пусть и X J , тогда положим 8Х = Х. [c.194] Определим 5 на Ах как гомеоморфное преобразование дуги Ах на дугу Вх, оставляющее неподвижными концы а и Ь этих дуг. Тем самым определение преобразования 5 за-нершено. [c.195] Вернуться к основной статье