Условия гарантированного равновесия

Заметим, что если для системы уравнений (40) известен какой-либо первый интеграл, т. е. функция, которая при движении системы не изменяется, и если эта функция непрерывна в малой окрестности начала координат, положительна в ней и имеет в самом начале координат нулевое значение, то такой интеграл уравнений (40) является для этих уравнений функцией Ляпунова. Действительно, производная от такой функции, вычисленная в силу тех же уравнений (40), заведомо равна нулю. Поэтому наличие первого интеграла, удовлетворяющего указанным выше условиям, гарантирует устойчивость равновесия системы (40) (разумеется, не асимптотическую). Полная энергия консервативной системы как раз является примером интеграла такого рода. Из этого замечания сразу следует, что полная энергия консервативной системы не является единственным примером первого интеграла, который может быть использован для доказательства устойчивости. [c.234]

Замечание. Как уже отмечалось, теорема является необходимым, но не достаточным, условием, т. е. пересечение линий действия трех сил, приложенных к телу, не гарантирует равновесия этого тела. [c.26]

Теперь нужно удовлетворить граничному условию (2) из (а). Использование функции напряжений гарантирует равновесие системы. Ненулевая результирующая усилий на каждом из концов стержня приводит к нарушению условий равновесия. Для того чтобы изгибающий момент равнялся 7И, должно выполняться условие [c.89]

Рассмотрим условия устойчивости гомогенной системы относительно бесконечно малых изменений ее состояния, т. е. условия стабильного или метастабильного равновесия. Выделим для этого мысленно внутри системы некоторую ее часть, такую, чтобы масса выделенной подсистемы была существенно меньше массы оставшейся части, и попытаемся выяснить, при каких условиях обе части будут устойчивыми. Это гарантирует, очевидно, и устойчивость всей системы в целом. Имея в виду соотношение масс подсистем, большую часть можно рассматривать как внешнюю среду по отношению к малой части. Свойства внешней среды, как и прежде, будут отмечаться индексом Воспользуемся достаточным критерием устойчивого рав- [c.120]

Сложнее гарантировать единственность решения, хотя это так же важно, как и доказательство его существования. Наиболее надежные выводы получаются при известной форме поверхности минимизируемой функции в многомерном пространстве. Проблема эта тесно связана с анализом устойчивости равновесия и частично уже обсуждалась в 12, 13. Выше встречались различные формулировки условий устойчивости говорилось о существовании взаимно однозначного соответствия между термодинамическими силами и координатами, о постоянстве знака якобиана их преобразования (9.23), о положительной определенности квадратичных форм (12.32), (12.47), о знаке определителей матриц вторых производных характеристических функций (9.24), (12.20). Еще одно эквивалентное выражение условий устойчивости связано непосредственно с характеристикой формы поверхности рассматриваемой функции — это ее выпуклость. [c.185]

Для того чтобы гарантировать нормальную работу ряда деталей, может оказаться недостаточным проведение расчетов лишь на прочность н жесткость, а потребуется дополнительно проверка устойчивости первоначальной формы равновесия. Так, длинный тонкий стержень, размеры которого были выбраны из условия достаточной прочности и жесткости, при действии на него осевой [c.174]

Неравенства (3.33), (3.34), (3.36)—(3.38), согласно которым первая вариация характеристических функций 5, 11, 1, Р,Ф в состоянии термодинамического равновесия равняется нулю, есть необходимое, но еще не достаточное условие, так как оно не гарантирует устойчивости равновесия. Из дальнейшего будет ясно, что равновесие будет устойчиво, если условие экстремума соответствующей характеристической функции удовлетворяется во втором, а в некоторых случаях и в более высоком порядке. [c.112]

Следовательно, выбирая плотность D как функцию одного из интегралов движения, мы можем гарантировать статистическое равновесие, так как скобка Пуассона [D, Н] будет тогда обращаться в нуль. Поэтому для консервативных систем плотность D может быть любой функцией энергии, так как при этом обязательно будет выполняться условие равновесия. Выбор этой функции определяет характеристики рассматриваемого ансамбля систем. В случае, например, известного микроканонического ансамбля плотность D постоянна для всех систем, имеющих заданную энергию, и равна нулю для других систем. [c.296]

Таким образом, когда мы отвлекаемся от трения, то этим мы накладываем на активные силы лишние условия, благодаря чему в некотором смысле гарантируется устойчивость имеется основание предполагать, что даже в том случае, когда эти лишние условия не будут строго выполняться, то равновесие все же будет существовать, если только речь идет о системе сил S, которая не отличается значительно от системы сил S, удовлетворяющих указанным условиям. Это следует из того, что, вообще говоря, систему S можно уравновесить реакциями, приложенными в точках опоры и весьма близкими к реакциям, уравновешивающим систему S, т. е. лежащими во внешних полостях конусов трения, что как раз и является необходимым- и достаточным для равновесия. [c.117]

Однако пользование газовым термометром представляет большие практически неудобства, поэтому бьшо выбрано несколько постоянных опорных точек, воспроизведение которых в лабораторных условиях не составляет большого труда. Одна из этих точек задается самим определением термодинамической шкалы — это тройная точка воды, которой приписана неизменная температура 273,16 К. Остальные точки установлены на основании как можно более тщательных измерений. Все эти точки представляют собой температуры фазовых переходов разли шых веществ. На основе измерения температур этих точек в 1968 г. установлена Международная практическая температурная шкала ). Поскольку из.мерения по этой шкале не могут гарантировать абсолютно точного совпадения с термодинамической шкалой, температурам по шкалам Кельвина и Цельсия присвоены символы T es и / в. числе опорных точек имеются тройные точки водорода (T es = 13,81 К) и воды (Гб 8 = 573,16 К) и ряд точек равновесия двух фаз различных веществ. Значения опорных постоянных точек Международной практической температурной шкалы приведены в приложении XII. [c.193]

Может возникнуть вопрос, гарантирует ли соблюдение условия динамической устойчивости положения равновесия (5 > 8J устойчивость исследуемого режима вынужденных колебаний по отношению к малым возмущениям (устойчивость в малом ). На этот вопрос следует ответить положительно. Действительно, подставляя, например, в уравнение (6.50) сначала г/ = г/ +1 (О (где — периодическое решение, а g (i) — некоторое отклонение от него), а затем у° и вычитая второе уравнение из первого, получаем уравнение в вариациях [c.268]

Функцию X будем считать фазовой координатой, а функцию и, допускающую разрывы первого рода — управлением. Уравнение равновесия (6.48) и система ограничений (6.49) с учетом условия (6.45), гарантирующего неотрицательность правых частей в выражениях (6.49), принимают теперь вид [c.192]

Таким образом, уравнения равновесия торсовой оболочки выражены через перемещения 0, Uz срединной поверхности. Получена система трех дифференциальных уравнений (6.53), (6.54), (6.56) в частных производных с переменными коэффициентами. Данная система имеет восьмой порядок. Использование геометрических уравнений (6.48) гарантирует удовлетворение условиям совместности деформаций в срединном слое оболочки. [c.187]

В данном разделе описана разработка приближенной модели для анализа напряжений в слоистых телах, которая разрешает осложнения, порождаемые ранее созданными теориями, основанными на каких-либо предположениях относительно вида полей перемещения. Данная модель создана на основе вариационного принципа Рейсснера в предположении, что напряжения в плоскости в пределах каждого слоя являются линейными функциями координаты z по толщине. Хотя наличие ВЛ уравнений поля и ТЛ условий на кромках, возможно, чрезвычайно усложнит решение конкретных задач, этот уровень анализа может потребоваться для расчета реалистических полей глобальных напряжений. Данная модель гарантирует выполнение условия равновесия слоя и допускает задание комбинаций межслойных напряжений и перемещений, необходимых для формулировки таких условий, как непрерывность при переходе через поверхность раздела и трещины. [c.65]

Включив калибровочную лампу, следует подождать по крайней мере 5 мин (особенно, если это мощная лампа), пока не установится тепловое равновесие между различными частями лампы. Каждый источник должен действовать, конечно, при рекомендованных условиях, чтобы гарантировать максимально возможную точность воспроизведения условий калибровки. [c.215]

Тело находится в состоянии динамического равновесия, если в декартовой системе координат выполняется (3.14). Это необходимое и достаточное условие. Выполнение (3.14) гарантирует выполнение [c.28]

Применительно к расчету сжатых стержней из сказанного следует, что должны быть обеспечены такие соотношения между размерами стержня, характеристиками его материала и действующей на него нагрузкой, при которых гарантируется его работа на сжатие без опасности продольного изгиба. Это значит, что фактически действующая или допускаемая сжимающая сила должна быть в некоторое число раз меньше критической. Это условие устойчивости прямолинейной формы равновесия стержня может быть представлено так [c.449]

Статический расчет автоматического регулятора числа оборотов вала двигателя, произведенный на основании заданных условий работы (диапазон регулируемых режимов, номинальный режим,степени неравномерности и нечувствительности и т. п.), обеспечивает определение таких конструктивных размеров деталей регулятора и подбор его характеристик, которые гарантируют выполнение этих условий при всех равновесных режимах. Так, например, муфта чувствительного элемента находится в положении равновесия лишь в том случае, когда выполняется условие [c.227]

Значение теоремы Кирхгофа заключается в том, что она гарантирует нам, за исключением особых случаев, что найденное нами решение уравнений упругости при заданных граничных и начальных условиях есть единственное возможное решение, и другого решения быть не может. Только в случае упругого равновесия длинных тонких прутьев, тонких, пластинок и оболочек возможны несколько решений, вследствие чего равновесие может быть неустойчивым. [c.311]

В случае п = 2 условие изоэнергетической невырожденности заключается в том, что квадратичная часть функции не должна делиться на линейную. В этом случае изоэнергетическая невырожденность гарантирует устойчивость положения равновесия пО Ляпунову. [c.378]

В случае /г = 1 условие невырожденности сводится к отличию от нуля производной периода малых колебаний по квадрату амплитуды малых колебаний. В этом случае невырожденность гарантирует устойчивость положения равновесия по Ляпунову. [c.378]

Отметим, что принцип виртуальных перемепхений дал бы в данном случае только условие (15.6), однако простой пример (приведенный в п. 4 1 гл. XIII) показывает, что без выполнения условия 2) нельзя гарантировать равновесие системы. [c.420]

Условия равновесия выдерживаются. Так как статическая проверка полностью не гарантирует правильности решения задачи, проводим деформационную проверку решения. Определим какое-либо перемещение, заведомо равное нулю, например угол поворота точки С. Для этого возьмем новую основную систему рамы (рис. 15.3.5). Приложим в точке С единичный момент М=1 и построим от него единичную эпюру моментов. Угол поворота в точке С найдем, если перемножим окончательную эпюру моментов рамы (рис. 15.3.3, г) на эпюру от единичного момента. Для облегчения решения можно перемножать эпюру моментов рамы только от заданной нагрузки (рис. 15.3.2,г), а затем только от найденных лишних неизвестных Х1 = ЗкН и Х2=14кН (рис. 15.3.3, <3) на эпюру от единичного момента. Результат проверки от этого не изменится, так как наложение этих эпюр одной на другую, как отмечалось ранее, дает окончательную эпюру моментов. [c.268]

Решение в алгебраических полиномах (решение Менаже). Рассмотрим обратную однородную (при Х = 0, У = 0) задачу. Возьмем какую-либо бигармоническую функцию, т. е. функцию Ф, удовлетворяющую бигармоническому уравнению (9.100). Найдем по формулам (9.98) компоненть напряжений. Тот факт, что компоненты напряжений найдены по этим формулам, гарантирует выполнение условий равновесия, а то, что функция удовлетворяет уравнению (9.100) — выполнение условия совместности деформаций. Наконец, пользуясь условиями равновесия на границе, задавшись, разумеется, областью, занятой телом, можно выяснить, какой поверхностной нагрузке соответствует принятая функция ф. [c.665]

Для того чтобы краевая задача была самосопряженной, необходимо выполнение теоремы Бетти о взаимности работ. По сути дела условие самосопряженности краевой задачи можно трактовать как форму записи этой теоремы. Выйолнение теоремы Бетти гарантируется, если силы консервативны. Поэтому достаточным условием применимости метода Эйлера к решению задачи устойчивости равновесия системы является наличие потенциала внешних сил. Граница между консервативными и неконсервативными силами не совпадает точно с границей применимости метода Эйлера в том смысле, что и некоторые проблемы с неконсервативными силами удается решить методом Эйлера. Однако вопрос, каким дополнительным требованиям должны удовлетворять неконсервативные силы, чтобы задача могла быть решена методом Эйлера, остается открытым. [c.373]

Для того чтобы продемонстрировать один из методов исследования, опять рассмотрим симметричную трехстержневую ферму (рис. 1,19, а), но теперь предположим, что для материала фермы диаграмма зависимости напряжения от деформации имеет вид, показанный на рис. 1.19, Ь. Исследование можно начать с пробного предположения, что вертикальное перемещение узла О равно б. Тогда, построив в узле Л диаграмму Виллио, можно получить соответствующие удлинения для всех трех стержней. Такой расчет гарантирует, что в узле вьшолняется условие совместности перемещений. Равновесие сил в узле должно быть проверено следующим образом. Из удлинений определяют деформации в стержнях, а затем из диаграммы зависимости напряжения от деформации находят напряжения. Зная напряжения в стержнях, можно вычислить усилия в стержнях и проверить, удовлетворяют ли они условиям равновесия узла Р. [c.37]

Устойчивость теплового равновесия. В статике максимум потенциала соответствует неустойчивому равновесию в термодиналнше, однако, неустойчивое равновесие не может существовать. Неравенства (3.28) или (З.ЗОа) — (З.ЗОд) означают, что необходимым условием равновесия является равенство нулю вариации первого порядка. Выполнение этого условия не гарантирует, однако, устойчивости равновесия. Необходимо, чтобы условие гинимума или максимума удовлетворялось и во втором (или более высоких) порядке (см. 8). [c.152]

Замечание. Условие теоремы Биркгофа еще не гарантирует устойчивости по Ляпунову положения равновесия гамильтоновой системы. В бесконечно дифференцируемом случае контрпример приведен в работе [151]. Для аналитических гамильтоновых систем контрпример пока отсутствует. [c.126]

Замечание ([184]). Относительная мера множества инвариантных торов в полидиске т <е не меньше 1—Если между частотами отсутствуют резонансы до порядка / 4 включительно, то эта мера даже не меньше 1—0(е ). Д В случае п = 2 изознергетическая невырожденность гарантирует устойчивость равновесия по Ляпунову [5]. При п = 2 условие изоэнергетической невырожденности заключается в том, что квадратичная часть функции Но не делится на линейную. Если даже квадратичная часть делится на лннелную, то равновесие все равно, как правило, устойчиво. Именно, предположи.м, что между частотами о)1 и ыг нет резонансных соотношений до порядка 1>4 включительно. Тогда функцию Гамильтона можио привести к нормальной форме [c.207]

Схема вывода таких разрешающих уравнений, являющихся аналогом уравнений Ламе в теории упругости, следующая в уравнения равновесия (127), справедливые для оболочки, выполненной из материала с любыми физическими свойствами, вместо усилий-Ых, N2, 5 и моментов Мх, Мг и Я подставляются их выражения через параметры деформации согласно физическим уравнениям (137). В результате такой подстановки получаются три уравнения равновесия оболочки, выполненной из материала, подчиняющегося закону Гука. Далее в полученные уравншия вместо параметров деформации 6, , е , ю, Хг и т подставляются их выражения через перемещения г и ш согласно уравнениям (106)., имеющим чисто геометрический характер. Использование уравнений (106) гарантирует удовлетворение условиям совместности деформаций в срединном слое. [c.111]

С другой стороны, неравенство нулю опреде йителя (268) и даже его неотрицательность являются условиями, необходимыми, но далеко недостаточными для утверждения об устойчивом характере равновесия. Это условие не гарантирует от перескока через ряд критических состояний системы. Условия, необходимые и достаточные для гарантии устойчивости равновесия, включают в себя кроме неравенства А >фО еще и требования о равенстве нулю степени неустойчивости системы ы [39] и могут быть получены из основания качественного анализа. [c.146]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...