Сходимость рядов Фурье

Воспользовавшись предложенным A. Н. Крыловым [9 методом усиления быстроты сходимости рядов Фурье, можно найти сумму ряда (23) и убедиться, что она совпадает с решением, полученным ранее [5] в конечной форме. [c.149]

Сходимость этого ряда зависит от характера внешней нагрузки q[x, у). Использовав выражение для прогиба (20.40), можно с помощью полученных выше формул определить внутренние усилия и напряжения в пластине. Выражения для них также будут иметь вид бесконечных тригонометрических рядов по синусам или косинусам, сходимость которых всегда хуже, чем сходимость ряда для прогибов, так как при дифференцировании сходимость рядов Фурье ухудшается. Рассмотрим некоторые частные случаи нагружения пластины. [c.437]

О характере сходимости рядов Фурье. Напомним еще одно простое предложение, касающееся характера сходимости рядов Фурье. [c.185]

Улучшение сходимости. Методы улучшения сходимости ряда Фурье состоят либо в некотором улучшении функции , представляемой данным рядом (выделение особенности), либо в применении специальных способов суммирования. [c.53]

В силу (3), (4) сходимость ряда Фурье для w нри Ima < г становится очевидной. Кроме того, в более узкой полосе Ima < р (О < /э < г) мы имеем неравенство [c.306]

Если g t) является физически реальной функцией времени t, то результирующие ряды для и и р сходятся удовлетворительно, так что вопрос о сходимости рядов Фурье для Flu представляет только академический интерес, как это уже было показано в 10. [c.293]

Сходимость рядов Фурье 364 [c.1]

Сходимость рядов Фурье [c.364]

Поскольку оператор L действует покомпонентно на различные члены ряда Фурье, достаточно проверить сходимость ряда Фурье, получающегося при действии L. Записав [c.365]

Число точек ограничивается сходимостью рядов Фурье, которые используются для представления распределения особенностей. [c.130]

При сравнении математического и физического способов получения спектра произвольной периодической функции возникает следующая интересная проблема хорошо известно, что разложение функции E(t) можно проводить не в ряд Фурье, а каким-нибудь другим способом с использованием более сложных функций. С точки зрения математика эти два разложения эквивалентны, если в обоих случаях выполнены соответствующие условия сходимости рядов. Физик же всегда оказывает явное предпочтение разложению по гармоническим составляющим, исходя из его физической целесообразности. [c.69]

Как видно, исследование действия произвольной периодической возмущающей силы не связано с принципиальными затруднениями, кроме тех случаев, когда сила Q t) имеет разрывы или другие особенности, ухудшающие сходимость ее ряда Фурье. В этих случаях следует применить способ, изложенный в следующем параграфе. [c.351]

Решение (76) 99 в форме бесконечного ряда, относящееся к случаю произвольной периодической силы, не всегда удобно, так как ряд Фурье для возмущающей силы Q[t) может сходиться медленно. Например, если функция Q t) имеет разрывы первого рода, то коэффициенты ее ряда Фурье а , Ьп убывают не быстрее чем при наличии разрывов первого рода у производной <5(/) сходимость ряда будет порядка п . Хотя сходи- [c.538]

Данная модель аналогична модели Эвальда. Для нахождения энергии кристалла решают уравнение Пуассона (2.25), представляя предварительно плотность р в виде трехмерного ряда Фурье. Для повышения сходимости этого ряда в местах расположения точечных ионов добавляют гауссовы шапки отрицательных и положительных зарядов, имеющих вид (2.30).. [c.39]

Представление периодической возмущающей функции в виде ряда Фурье (6.8) целесообразно, если этот ряд обладает хорошей сходимостью, т. е., если возмущающая функция может быть удовлетворительно аппроксимирована сравнительно небольшим числом т гармоник — членов ряда Фурье [c.167]

Несмотря на то, что приведенный метод является математически точным, полученные при этом результаты с инженерных позиций нередко следует расценивать как приближенные, поскольку при суммировании членов ряда приходится обычно ограничиться конечным числом гармоник г. При выборе этого числа во избежание отсечения резонансного режима (jz = 1) следует руководствоваться не только характером сходимости коэффициентов Qj, но и условием к/а> + (1- 3). Отсюда становится ясным, что использование рядов Фурье оказывается более эффективным при хорошо сходящихся гладких функциях Q (О и при относительно небольшом превышении частоты свободных колебаний k над основной частотой возмущения со = = 2я/т. [c.83]

Если функция f(x) имеет точки разрыва 1-го рода (см. стр. J47), то сходимость её ряда Фурье не будет равномерной. В точках разрыва ряд Фурье сходится к полусумме предельных значений функции справа и слева от точки разрыва х = а, т. е. к величине [c.264]

В зависимостях (3-111) и (3-112) ряд быстро сходится. Сходимость ряда показана на рис. 3-4. По оси ординат отложено число членов ряда N, а по оси абсцисс критерий нестационарности К— = который является прототипом известного критерия Фурье Ро = ат/б . Из графика следует, что при /С 0,01 в расчете следует брать не менее четырех членов ряда, при К= = 0,03- 0,05 достаточно в решении ограничиться двумя-тре-мя членами ряда и при /С>0,1 можно ограничиться одним пер-этом ошибка составляет менее расчетов в общих решениях [c.140]

Отсюда следует, что для вычисления гармонически сопряженной функции v(в) заданную функцию надо разложить в ряд Фурье (17.7), построить гармонически сопряженный ряд (17.8) и вычислить сумму этого ряда во всех точках определения v(в). Если, как это бывает обычно, функция и (в) разрывна или испытывает значительное колебание на небольшом участке изменения 0, то для улучшения сходимости рядов (17.7) и (17.8) по методу А. Н. Крылова формулы (17.5) следует применять к функции Р (Z) — 1(2), где (2) — какая-нибудь известная функция, имеющая те же особенности, что и функция Р (2). [c.148]

Эффективность примененного для построения только что указанного решения метода Фурье зависит от быстроты сходимости рядов. Получение численных результатов требует достаточно быстрой сходимости этих рядов в интересующих практику интервалах изменения числа Гартмана и других физических параметров, характерных для отдельных конкретных задач. При очень больших значениях числа Гартмана могут быть построены специальные асимптотические решения. [c.399]

Равномерная сходимость ряда, подлежащего интегрированию, вытекает из факта, что ряд (3) равномерно сходится, как ряд Фурье для непрерывной функции. [c.83]

Тейлора (в случае уравнений типа Коши-Ковалевской) [1] и ряды Фурье (особенно для линейных уравнений математической физики). Однако обычно для рядов Тейлора характерна лишь локальная сходимость, к тому же, часто довольно медленная, а ряды Фурье при применении к нелинейным уравнениям приводят для нахождения коэффициентов к бесконечным системам нелинейных уравнений, которые приходится обрезать и получать из этих обрезанных систем приближенные значения коэффициентов Фурье. [c.226]

Здесь мы кратко рассмотрим некоторые определения и напомним некоторые свойства рядов Фурье и интеграла Фурье. Мы, конечно, не будем заниматься разбором математических трудностей, связанных с их сходимостью, но допустим, что последующие результаты применимы к функциям, представляющим, в частности, распределение электрического поля на зрачке эти функции никогда не становятся бесконечно большими и могут обладать только простыми разрывами (например, на границе зрачка). [c.28]

Подстановкой (16) в уравнения (13) и (14) получим выражение для Zjn только как функцию от 0. Тогда интеграл (12) можно определить численно. При этом внешние граничные условия удовлетворяются при использовании бесконечного числа членов ряда Фурье, и, следовательно, полученные результаты необходимо исследовать с точки зрения сходимости ряда, а также оценить погрешность. вычислений. В табл. 1 представлены основные безразмерные собственные [c.76]

Далее, пз наших результатов для пространств Я ( ) нетрудно вывести аналогичные результаты для пространств при помощи теоремы вложения ( 32, 10° и 11°). Мы получаем, в частности, что если или ) — оператор порядка оо, то для любой функции /еС°°( ) ее ряд Фурье со скобками по корневым функциям оператора Ф или Щ сходится равномерно, причем максимум модуля скобки убывает быстрее любой отрицательной степени ее модуля, и такой же сходимость остается после локального почленного дифференцирования ряда любое число раз. [c.345]

Укажем на одно свойство, имеющее непосредственное отно-щение к вопросам сходимости рядов Фурье. Пусть функция /(0) непрерывна, причем / (0)=/(2л), и имеет непрерывные производные вплоть до порядка V— 1, а производная порядка V удовлетворяет условиям Дирихле. Тогда для коэффициентов ряда Фурье являются справедливыми следующие оценки [c.12]

Что касается сходимости ряда Фурье, то Стокс показал, что если функция f(x) и ее лроизвадные. вплоть до порядка (х—1) непрерывны во всем интервале О 2я), а производная порядка х является первой разрывной, то ее члены а, [c.308]

Охдаждение простых тел (плоская пластина, цилиндр, шар) было заново перерассчитано с помощью вычислительной машины. Быстрая сходимость рядов Фурье зачастую позволяет ограничиться только первым членом ряда. Для полученных таким способом решений приводятся необходимые коэффициенты. [c.196]

Способы улучшения сходимости рядов Фурье, приведенные выше, легко переносятся и на случай интегралов. Так, метод суммирования Фейера будет здесь выглядеть аналогично (9.22), а именно [c.59]

Предположим, что наложенная связь не нарушает квазипериодического характера решений. Как было показано в предыдущем разделе на примерах (5.1.28), (5.1.30), дополнительный член I может приводить к сдвигу частот. С другой стороны, мы покажем, что адекватный учет возмущения ef возможен только в том случае, если оно не приводит к сдвигу частот со/. Ситуация, с которой мы здесь сталкиваемся, полностью аналогична ситуации, описанной нами в разд. 2.1.3, где сходимость ряда Фурье определялась условиями иррациональности отношений частот со/. Оказывается, что и в рассматриваемом случае мы возвращаемся в точности к тем же условиям иррациональности. Для выполнения их необходимо, чтобы основные частоты со/ все время оставались неизменными. Достичь этого можно с помощью формального трюка одновременно с возмущением f ввести в (5.2.1) контрчлен А (е), компенсирующий в каждом порядке по е сдвиг частот, вызываемый возмущением Следовательно, вместо уравнения (5.2.2) мы должны рассматривать уравнение [c.194]

Метод а может быть использован в задачах о развитии оплавления через достаточно большой промежуток времени. Ряды типа Фурье в отношении времени обладают медленной сходимостью. Метод Фурье удачно использован для решения оплавления стенки конечной толщины Сандерсом. [c.187]

Для поточечной (обычной) сходимости достаточными условиями разложимости /(х) в ряд Фурье являются условия Дирихле если функция /(х) ограничена, имеет на отрезке [- п, тс] конечное число экстремумов, конечное число точек разрыва первого рода, то она разлагается в ряд Фурье, причем в точках разрыва [c.100]

Классический метод решения задач теплопроводности заключается в нахождении решения в виде ряда частных решений дифференциального уравнения и некоторых граничных условий, причем коэффициенты ряда определяются из теории рядов Фурье или аналогичных им рядов. Этот метод вполне пригоден для задач с ограниченными областями. Однако при рассмотрении неограниченных областей соответствующий метод с использованием интегралов Фурье следует считать чисто формальным вследствие трудностей, связанных со сходимостью. (Весьма важные функции, например единица, не имеют преобразования Фурье.) Тем не менее эта формальная теория действительно дает правильные результаты, которые могут быть проверены а posteriori ее можно сделать строгой путем обобщения [1] теории преобразования Фурье на комплексную плоскость. Кроме того, все чаще используется не интеграл Фурье, а эквивалентный метод преобразования Фурье <см. 3 гл. И). [c.445]

Хотя ряды при решении нелинейных краевых задач используются чрезвычайно широко, далеко не всегда они обладают перечисленными свойствами. Так, ряды Тейлора зачастую сходятся медленно и при этом в небольших областях, применение рядов Фурье для нелинейных уравнений приводит, как правило, к бесконечным системам нелинейных уравнений для определения коэффициентов, которые необходимо обрезать и решать затем приближенно. В то же время наличие точных методов нахождения коэффициентов рядов позволяет даже при небольшой области сходимости и медленной скорости сходимости ряда применять современную технику аналитических продолжений (например, аппроксиманты Падэ), ускорения сходимости, определять характер особенностей. Разумеется, каждый конкретный ряд позволяет получить аналитическое решение в какой-либо области в предположении, что в ней отсутствуют разрывы. Тем не менее, при построении обобщенных решений, в частности уравнений гиперболического типа, выделяя линии разрывов решений или каких-либо их производных, можно с помощью операций сшивок рядов получать конструктивные описания решений и в этих случаях. [c.238]

Чтобы немного расшифровать эту формулировку, напомним, что под EPif и Е Q/f сейчас нужно понимать ряды Фурье со скобками по корневым функциям оператора А и по собственным функциям оператора ReA на S. Из теоремы 3 следует, что скобки можно расставлять способом, описанным в п. 2 35. При этом, чем выше гладкость функции f, заданной на S, тем быстрее сходится интересующий нас ряд Y Pif. Например, если f S), то модули членов этого ряда убывают быстрее с любым натуральным N и такой же быстрой остается сходимость после (локального) почленного дифференцирования этого ряда любое число раз. Кроме того, за исключением случая п = 3, Im e < О, имеет место равносходимость рядов X Pif, YiQif для негладких или не очень гладких f, особенно быстрая при 1тй = 0. Например, если 1т/г = 0 и f " S), то модули функций Pif — Qif убывают при 1 >оо быстрее с любым натуральным N. Такой же [c.355]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...