Декартовы координаты в пространстве

Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси Ох, Оу и Ог, которые можно рассматривать как систему прямоугольных декартовых координат в пространстве с началом в точке О. Система знаков, указанная на черт. 22, соответствует правой системе к<юр-динат. [c.19]

X, у, г — декартовы координаты в пространстве [c.7]

Декартовы координаты в пространстве. Предположим, для простого примера, что д- , д , д обозначают декартовы координаты [c.479]

Xi, Х4 декартовы координаты в пространстве Минковского, [c.410]

Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси Ох, Оу и Ог, которые можно рассматривать как систему прямоугольных декартовых координат в пространстве с началом в точке О. Каждая координатная ось делится точкой О на две полупрямые. Система знаков, указанная на рис. 8, соответствует правой системе координат. [c.12]

Рис. 76. Цилиндрические и декартовы координаты в пространстве объекта (а) и в обратном пространстве (б)

Эти уравнения часто называют кинематическими уравнениями движения точки в декартовых координатах, по имени Рене Декарта, открывшего в 1637 г. метод аналитической геометрии на плоскости одновременно с Пьером де Ферма и независимо от него. Иногда декартовыми координатами называют и систему прямоугольных координат в пространстве, хотя пространственная система координат была открыта значительно позже. [c.131]

Прежде чем перейти к их изложению, уточним смысл фразы движение системы за конечный промежуток времени . В каждый данный момент времени конфигурация системы определяется значениями обобщенных координат q, . .., q-n, и если рассматривать эти числа как декартовы координаты в /г-мер-ном пространстве, то каждой конфигурации системы будет соответствовать определенная точка этого пространства. Такое -мерное пространство мы будем называть пространством конфигураций. С течением времени состояние системы изменяется, и точка, изображающая эту систему, описывает в пространстве конфигурации некоторую кривую. Мы будем называть эту кривую траекторией движения системы . Тогда движение системы можно будет рассматривать как движение изображающей точки вдоль этой траектории (в пространстве конфигураций). Время i можно при этом рассматривать как параметр. Тогда каждой точке траектории будет соответствовать одно или несколько значений t. Следует подчеркнуть, что пространство конфигураций, вообще говоря, не является трехмерным пространством, в котором происходит движение системы (подобно тому, как обобщенные координаты не всегда являются обычными координатами, определяющими положение точки). Траектория движения в пространстве конфигураций, конечно, не будет иметь сходства с истинной траекторией какой-либо точки рассматриваемой системы каждая точка траектории в пространстве кон- [c.42]

Обратимся здесь, так же как и в предыдущем пункте, к геометрическому представлению, рассматривая переменные как прямоугольные декартовы координаты в л-мерном пространстве как и в п. 2, назовем отклонением" двух точек х, х максимум абсолютных величин Xk — x fl разностей одноименных координат. [c.378]

Геометрическая теория световых волн ). а) Элементы пространства конфигураций. Будем рассматривать q , q ,q как ортогональные декартовы координаты евклидова пространства Г п измерений, как мы делали это в п. 61 гл. V. В уравнении любой гиперплоскости л [c.370]

Принимая (hi, h2, h ) за декартовы ортогональные координаты в пространстве представлений, мы видим, что установившиеся вращения соответствуют точкам [h, О, 0), (О, Л, 0), (О, О,/г). Изображающая точка движется по кривой, которая согласно уравнениям (55.13) является линией пересечения сферы и эллипсоида. Исследуя формы этих кривых, легко увидеть, что установившиеся вращения вокруг наибольшей и наименьшей осей инерции устойчивы, тогда как установившееся вращение вокруг промежуточной оси инерции неустойчиво ). [c.170]

Зададимся теперь вопросом какое из ускорений а , удовлетворяющих уравнепиям (85.3), обращает К в минимум Если считать др прямоугольными декартовыми координатами в Л -мерном евклидовом пространстве, то эта задача эквивалентна задаче о нахождении точки касания эллипсоида (85.1) (с заданным центром Q и положением) и гиперплоскости, представленной уравнением (85.3). Легко видеть, что искомые минимизирующие а удовлетворяют уравнепиям [c.284]

Для обобщения моделей предыдущего параграфа на случай сложного напряженного состояния удобно исходить из геометрической интерпретации процесса нагружения. Выделим в исследуемом теле элемент в форме параллелепипеда настолько малого размера, что его напряженное состояние допустимо считать однородным. Отнесем этот элемент к осям х , лгз, (рис. 10.7) и обозначим компоненты напряжений, действующих по его граням, через Oij i, /=1, 2, 3). Так как тензор напряжения с компонентами 0,7 симметричен (ajy = ay,), то для характеристики напряженного состояния выделенного элемента достаточно задания шести величин ст,у. Сопоставим напряженному состоянию элемента точку с декартовыми координатами в шестимерном пространстве, которое будем называть пространством напряжений. Ненагруженному состоянию элемента отвечает в пространстве напряжений начало координат. Нагружение образца сопровождается изменением значений и, значит, в пространстве напряжений точка, изображающая напряженное состояние исследуемого элемента, вычерчивает некоторую траекторию —путь нагружения. При одноосном напряженном состоянии все 0 у, кроме одного, например, Сц, равны нулю. В этом случае путь нагружения совпадает с осью СТц. Появление пластической деформации согласно моделям предыдущего параграфа связано с достижением Оц значения характерного для данного материала. Таким образом, на оси Ои можно выделить такую содержащую начало координат область, внутри которой состояние материала при первоначальном нагружении упруго. На рис. 10.8 эта область обозначена Q ее границами являются точки с координатами 1 а,, что соответствует случаю равных пределов текучести при растяжении и сжатии. [c.729]

В приложениях чаще пользуются не декартовыми координатами в скоростном пространстве, а полярными. В соответствии с этим собственные функции выражаются не через полиномы Эрмита, а через полиномы Сонина ). [c.200]

Напрашивается такая аналогия. Многие области физики как науки начали развиваться только после того, как Декарт придумал арифметизацию пространства, приписав каждой точке пространства тройку чисел — декартовых координат. После этого появилась возможность создания аналитической геометрии, механики и т. д. Для принятия решений об эффективности по какому-либо критерию нужна арифметизация общественных желаний — оценка числом всего того, что общество хочет получить от проекта Денежные приведенные затраты это лишь одна из координат в пространстве общественных желаний . Сюда же можно присоединить, например, вредные выбросы и сумму затрат эксергии, тогда получится трехмерное пространство, в котором находятся оптимальные траектории управления энергетикой (см. рис. 27). Могут быть и другие координаты фактически вопрос об арифметизации общественных желаний, подобной арифметизации пространства, еще даже не обсуждался. Поэтому решение нельзя поручить ЭВМ, отыскивающей оптимальную траекторию,— координаты еще не выбраны. [c.138]

Координатное управление может также выполняться в декартовых координатах в станках с поступательным движением или в полярных координатах в станках с вращательным движением детали. Различаются также системы с абсолютным управлением, которые обеспечивают перемеш,ение в любую точку рабочего пространства, отсчитываемую от некоторого неизменного базового начала координат, и системы с управлением по приращениям, в которых каждое отдельное перемещение отсчитывается от предыдущего, как от нового начала координат. [c.161]

Первые слагаемые — обычные заданные массовые силы (тяжести и др.), вторые же представляют пондеромоторные силы электромагнитного поля. Например, вектор рРэ дан формулами (22.18), и компоненты его в декартовых координатах эйлерова пространства имеют выражения через Е, Н [c.268]

Пусть х представляют систему ортогональных декартовых координат в евклидовом трехмерном пространстве, а — любую другую систему ортогональных прямолинейных или криволинейных координат (например, цилиндрических или сферических) в том же самом пространстве. Вектор х, имеющий декартовы компоненты х , называется радиусом-вектором произвольной точки Р (х1, х , х ) в декартовой системе. Квадрат дифференциала расстояния между близкими точками Р (х) и (х + йх) дается формулой [c.25]

Если от декартовых координат х, у, z перейдем к другой системе, в которой одной из координат является радиус-вектор г (например, к полярным координатам в пространстве), то производную от функции ф по направлению г можно рассматривать [c.266]

Теория кривых в пространстве. Одно ур-ие между тремя декартовыми координатами в [c.444]

Формула (IV) выражает компоненты проективного перенесения в проективных координатах. Чтобы получить соответствующие формулы в произвольных координатах, нужно только учесть, что разности Г —(где Екь обозначают компоненты евклидова перенесения в тех же координатах) образуют смешанный тензор 3-го ранга. Если мы обозначим через ж проективные координаты проективного пространства и будем рассматривать их как обычные декартовы координаты евклидова пространства и если Ги и Еы являются компонентами перенесения этих пространств в координатной системе x , а и Еы — в системе то, с одной стороны, [c.34]

Пространственная геометрия на вращающемся диске, как мы видели, является неевклидовой. И хотя все геометрические построения в трехмерном физическом пространстве полностью согласуются с теоремами евклидовой геометрии, представление о неевклидовой геометрии в двух измерениях не является чем-то новым для нас, так как мы встречаемся с примерами таких геометрий на любой кривой поверхности. (Хорошо известен пример сферической геометрии на поверхности сферы.) В качестве введения к изучению неевклидовых геометрий в п-мерном пространстве рассмотрим геометрию произвольной двухмерной поверхности, вложенной в трехмерное евклидово пространство. Если X, у, 2 — декартовы координаты в этом пространстве, то двухмерная поверхность определяется параметрическими уравнениями [c.184]

В предыдущем параграфе мы видели, каким образом движение точки может быть определено при помощи ее декартовых координат дг, у, г. Как известно, декартовы координаты — далеко не единственная координатная система, служащая для определения положения точки. Для этой же цели могут быть применены полярные координаты на плоскости, цилиндрические и сферические координаты в пространстве и т. д. Всякая координатная система, при помощи которой можно определять положение точки на плоскости или в пространстве, может быть применена также и для определения движения точки. Мы остановимся здесь на применении полярных координат к определению плоского движения точки. [c.149]

Фазовое состояние (т. е. конфигурацию и состояние движения) каждой из N микросистем, связанных с данной макросистемой, можно представить точкой с декартовыми координатами в евклидовом пространстве 2v измерений, где v — число степеней свободы единичной микросистемы. [c.26]

Переходя в трехмерном распределении, записанном в декартовых координатах , Ку, г, к сферическим координатам в пространстве скоростей V — <р к соответ- [c.114]

VRe X, у и Z — декартовы координаты точки пространства, в которой определяется значение показателя преломления я. Если на нормали к поверхностям равных значений п показатель изменяется [c.504]

Рассмотрим так же, как это мы сделали с перестановкой координат тождественных ядер, результат обращения пространственных координат всех частиц (ядер и электронов) молекулы в начале системы фиксированных в пространстве координатных осей. Эта операция состоит в изменении знака пространственных декартовых координат в пространстве всех частиц молекул1.1. Так как трансляционное движение молекулы нас не интересует, то координаты электронов и ядер удобно отсчитывать от центра масс молекулы при этом отделяется трансляционное движение, которое будет рассмотрено в гл. 6. Для пространственных координат ядер и электронов молекулы мы будем обычно использовать систему осей X,Y,Z), параллельную системе осей (X, Y, Z), фиксированных в пространстве, но с началом в центре масс молекулы. Операция инверсии Е" в применении к молекуле определяется как операция обращения. пространственных координат всех ядер и электронов в центре масс молекулы. Используя координаты (Z, У, Z) ядер или электронов, можно написать [c.30]

В дифференциальной геометрии равенство типа (7.42) является наиболее общим равенством, определяющим элемент длины кривой в п-мерном пространстве с координатами q, . .., <7п. При такой интерпретации коэффициенты niik будут коэффициентами так называемой фундаментальной метрической формы. Если, например, qt будут декартовыми координатами обычного пространства, то эта форма будет очень простой и коэффициенты ее будут равны [c.258]

Чтобы придать нашим рассуждениям наиболее удобную и наглядную форму, условимся прибегать к гиперпространственному геометрическому представлению, рассматривая 2л параметров q п q как декартовы прямоугольные координаты в пространстве 2п измерений. Так как всякая точка этого пространства представляет состояние движения нашей системы, то можно назвать пространством состояний движения. [c.353]

Совокупность четырех чисел t, х, у, z представляет собой однородные координаты точки. Нетрудно видеть, что однородные координаты определяют положение точки относительно некоторой четырехмерной системы координат. Для дальнейших приложений однородных координат (см. гл. 19 и 21) необходимо установить уравнения их преобразования, которые могут быть получены на основе преобразования систем декартовых координат в трехмерном пространстве. При условии, что положение начала первой системы определяется во второй системе координатами а, Ь, с и относительное положение осей — направляющими косинусами т 1 (k, I = 1у 2, 3), преобразование координат какой-либо точки из первой системы XiViZ во вторую систему XVZ определяется уравнениями вида [c.46]

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО — конечномерное векторное пространство с положительно оиределёпиым скалярным произведением. Является непосредств. обоб-щеиием обычного трёхмерного пространства. В Е. п. существуют декартовы координаты, в к-рых скалярное прои .. ведение векторов. 1 =. . ., т,,) и i/= [c.26]

С другой стороны, можно ввести декартовы или криволк нейные Q . координаты. в пространстве [c.24]

Существенная разница между представлениями (П. 11.16) и (П. выражений квадрата дифференциала дуги в Е и заключается в том, что в первом случае существовало преобразование от к пг переменным. . ., х (декартовым координатам), в которых эта квадратичная форма выражалась суммой квадратов (П. 11.17) форма же (П. 5), вообще говоря, непредставима суммой квадратов того же числа п новых переменных во всей области определения переменных т. е. во всем пространстве Это осуществимо [c.809]

Поверхность удобно представлять не в системе декартовых координат в объемлющем пространстве, а в системе координат, вводимой на самой поверхности. При этом точка поверхности определяется двумя числами — и а, связанными с данной точкой. Числа 1 и, 2 — криволинейные координаты. Фиксируя значение одной из координат, например а , и изменяя а , получим линию, лежащую в поверхности и называемую координатной линией а . Айалогично координатная линия а 2 получается в случае фиксации координаты 1 и изменения а . Координатные линии двух семейств образуют сеть. [c.27]

Здесь Ур—обычный оператор дифференцирования по декартовым координатам в р-пространстве, а оператор в фигурных скобках—его проекция на плоскость, касательную к ферми-поверх-ности в каждой заданной ее точке (п, —единичный вектор нормали к поверхности) ). Вектор 8 (Р .) задан на ферми-поверхности, но в (83,3) рассматривается ( )ормально как заданный во всем пространстве (но зависящий лишь от направления р ). Кинетическое уравнение (в котором опускаем теперь производную по времени) принимает вид [c.421]

При исследовании различных физических систем часто удается представить обнаруженные свойства и закономерности в форме законов симметрии. Эти законы выражаются в инвариантности (независимости вида) уравнений движения рассматриваемой физической системы относительно некоторых определенных преобразований. Если, например, уравнения движения инваркантны относительно ортогональных преобразований декартовых координат в трехмерном пространстве, то можно сказать, что в данном случае симметрия проявляется в эквивалентности определенным образом ориентированных Друг относительно друга систем отсчета при описании движения соответствующей физической системы. Эквивалентными системами отсчета принято называть такие системы, в которых тождественные 5шления протекают одинаковым образом, если для них созданы одинаковые начальные условия. Наоборот, если в физической теории постулируется эквивалентность некоторых систем отсчета, то уравнения движения должны бьпъ инвариантны относительно преобразований, связывающих координаты в этих системах. Так, например, постулат теории относительности об эквивалентности систем отсчета, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, выражается в инвариантности уравнений движения относительно преобразований Лоренца. Класс эквивалентных систем отсчета для данной задачи часто определяется из наглядных геометрических соображений, относящихся к модели рассматриваемой физической системы, как это имеет место для симметричных молекул, кристаллов и т. д. [c.8]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...