Форма равновесия системы неустойчивая

Итак, неустойчивость первоначальной формы равновесия системы на рис. 18.60, а с вертикальным положением стержня (ф = 0) устанавливается статическими методами и потому может быть названа статической. Так как по форме проявления [c.400]

Одной из наиболее информативно емких характеристик системы, теряющей устойчивость, является график зависимости между этими параметрами, каждая точка которого соответствует возможному равновесному состоянию системы. Некоторые участки такого графика могут отвечать устойчивому равновесию системы, а остальные — неустойчивому. Точка на этом графике, лежащая на границе участков, соответствующих устойчивому состоянию первоначальной формы равновесия и неустойчивому состоянию этой формы, называется критической, а значение параметра Р, отвечающего этой точке, критическим значением параметра силы или критической силой. [c.465]

При увеличении силы Р сверх критического значения система становится динамически неустойчивой, и ее движение после малого начального отклонения Судет представлять собой колебания с неограниченно возрастающими амплитудами. Потеря устойчивости происходит в общем случае при значении Шкр ф О, поэтому отклоненной статической формы равновесия система не имеет. Но при очень большом моменте инерции концевой массы, когда р-> оо, значение Юкр О, и в этом случае динами-0 [c.413]

Энергетический метод используется для определения критической силы, которая согласно Эйлеру определяется как сила, требующаяся для самого малого наклонения колонны . В концепции упругой устойчивости полагается, что критическая сила обнаруживается при появлении новых форм равновесия. Предполагается, что при достаточно малых нагрузках равновесие упругой системы устойчиво и что оно остаётся таковым вплоть до первой точки разветвления форм равновесия, за которой исходная форма равновесия становится неустойчивой [c.175]

Рассмотрим последний вопрос. Действительно ли вертикальное положение маятника при силе, меньшей сИ, устойчиво, а при большей — неустойчиво. Почему, определяя силу, при которой существует новая соседняя форма равновесия, мы тем самым установили для исходного состояния условие перехода от устойчивого состояния к неустойчивому Этот вопрос в данном случае решается достаточно просто на основе энергетического подхода. То состояние, при котором энергия системы имеет минимум, устойчиво, максимум — неустойчиво. [c.124]

Отметим еще один принципиальный момент. Интеграл основного уравнения дает форму равновесной поверхности раздела фаз. Однако не все решения на самом деле можно наблюдать на практике. Меж-фазная поверхность должна не только удовлетворять условиям гидростатического равновесия, но еще и быть устойчивой, по крайней мере, к малым отклонениям формы от равновесного состояния. Это значит, что если произошло исчезающе малое отклонение формы от равновесной, система обязана вернуться в исходное состояние. Тогда такая форма устойчива (в малом). Если же, напротив, какое-либо незначительное отклонение вызывает дальнейшее прогрессирующее изменение формы, то система абсолютно неустойчива. На практике могут существовать лишь устойчивые равновесные состояния. Аналитическое исследование устойчивости равновесных форм поверхности раздела представляет собой достаточно трудную задачу. [c.92]

Проводя расчеты на прочность и жесткость при различных деформациях, мы полагали, что во время деформации любой системы имеет место единственная заранее известная форма равновесия. В действительности же в деформированном состоянии равновесие между внешними и вызываемыми ими внутренними силами упругости может быть не только устойчивым, но и неустойчивым. [c.560]

Из этого соотношения, которое дает правильную качественную картину явления, следует, что при F < / р-э величина а мнимая, т. е. отличных от прямолинейной формы равновесных состояний нет. При F > имеем вещественные значения а и возрастанию величины F соответствует рост амплитуды а. Таким образом, силе F > F p.% соответствует искривленная равновесная форма стержня. Более строгий анализ показывает, что при F < 5кр., прямолинейная форма равновесия неустойчива, а искривленная форма будет" устойчивой формой равновесия. Это следует из того, что при F > кр. в потенциальная энергия системы для прямолинейной формы равновесия имеет максимум в сравнении с другими близкими искривленными формами-состояниями, а потенциальная энергия системы в равновесном искривленном состоянии имеет минимум в сравнении с другими близкими состояниями системы. [c.357]

Устойчивость формы равновесия упругой системы зависит от ее размеров, материала, значений и направления внешних сил. Прямолинейная форма равновесия центрально-сжатого стержня (см. рис. 13.2, а) устойчива при малых значениях сжимающей силы и неустойчива, когда значения этой силы [c.483]

Поведение системы при увеличении силы следующее. При, Р <. Р, прямолинейная форма стержня устойчива. При Р = Р первоначальная форма равновесия перестает быть устойчивой, а новой устойчивой формы равновесия не возникает — система из равновесного состояния переходит в состояние колебательного движения с неограниченно возрастающими амплитудами (колебательная неустойчивость). [c.292]

Рис. 18.12 Участки графика р — ф, соответствующие устойчивым и неустойчивым положениям равновесия системы жирные линии—участки устойчивой формы равновесия линия с крестиками — участок неустойчивости формы равновесия 1 — линия первоначальной формы равновесия 2 —линия отклоненной от первоначальной формы равновесия.

Итак, прямолинейная форма равновесия устойчива при р <С 1 и неустойчива при р>1 при р = 1 система, имеющая [c.324]

Эта форма равновесия становится безразличной в критической точке (в первой точке бифуркации) и неустойчивой на всем протяжении оси параметра нагрузки выше первой точки бифуркации. Возникающие в первой точке бифуркации новые формы равновесия устойчивы. Формы же равновесия, возникающие во всех остальных точках бифуркации, неустойчивы. Точки бифуркации могут быть найдены как из нелинейных уравнений, так и из линеаризованных уравнений равновесия системы в отклоненном от первоначальной формы положении. [c.325]

Если нагрузка р > О мала, то квадратичная форма Пг, задаваемая выражением (18.110), положительно определена, полная потенциальная энергия П в положении равновесия имеет минимум и по теореме Лагранжа это положение устойчиво. По мере возрастания нагрузки р>0 в выражении (18.110) отрицательно определенное второе слагаемое Ег = —р 2 начнет подавлять первое слагаемое /г, так что квадратичная форма Пг превратится либо в неопределенную по знаку, либо в. отрицательно определенную. Тогда по признакам предыдущего пункта положение равновесия будет неустойчивым. Переход от устойчивости к неустойчивости, т. е. критическое состояние системы, соответствует тому уровню нагружения ) р = р, при котором квадратичная форма Пг утрачивает положительную определенность. Следовательно, при р = р можно указать такое откло- [c.385]

Если потеря устойчивости принадлежит типу, которому отвечает диаграмма Р — /с точкой бифуркации, то в системах с числом степеней свободы более одной число точек бифуркации на оси Р равно числу степеней свободы, но критической из них является одна — первая (В]), ближайшая к началу координат. Кроме того, все формы равновесия, возникающие в точках бифуркации Вг, Вз,. .., неустойчивы. О том, устойчивы или неустойчивы формы равновесия, возникающие в точке Вь сказано выще. [c.467]

В наиболее общей форме устойчивость определяется как свойство системы мало отклоняться от исходного движения или равновесия при действии малых возмущений. Это понятие базируется на динамических свойствах системы. Впервые, по-видимому, динамический критерий использовался Лагранжем при исследовании консервативных систем с конечным числом степеней свободы. Строгое математическое определение этого критерия для частного класса систем было дано А. М. Ляпуновым [4.8]. Впоследствии критерий был обобщен и расширен [4.12]. Согласно динамическому критерию исходная форма движения или равновесия системы устойчива, если малые возмущения вызывают малые отклонения системы от этой формы, которые могут быть сделаны как угодно малыми при уменьшении возмущений. Система будет неустойчивой, если даже сколь угодно малые возмущения вызывают конечные отклонения системы от ее исходной формы. [c.52]

В момент достижения телом критической нагрузки рк первоначальное невозмущенное состояние системы становится неустойчивым и одновременно с ним оказывается возможным существование смежных бесконечно близких форм равновесия при значениях параметра а -> 0. [c.131]

Основное практическое применение в анализе устойчивости конструкций находит концепция устойчивости механических систем, восходящая к Эйлеру. С состоянием устойчивости системы связывается возможность существования для нее при заданном Р только одной формы равновесия напротив, в состоянии неустойчивости в тех же условиях система характеризуется наличием нескольких, так называемых смежных форм равновесия, соответствующих бесконечно близким значениям функционала П. Иными словами, для состояния неустойчивости нагруженной системы характерно ветвление или бифуркация форм равновесия. Очевидно, что в рамках концепции Эйлера задача анализа всевозможных равновесных состояний системы на устойчивость эквивалентна задаче определения точек бифуркации системы в пространстве параметров, определяющих ее состояния (нагрузки, частоты возбуждающих колебаний и т. п.). [c.108]

Теорема (А. Г. Сокольский [180, 181]). Если в нормальной форме (210) Л < О, то положение равновесия х у = 0 двумерной гамильтоновой системы неустойчиво. Если у1 > О, то имеет место устойчивость по Ляпунову. В случае Л = О вопрос об устойчивости решается членами более высокого порядка. [c.238]

При наличии перемещающейся двусторонней связи (например, серьга ОР на рис. 4.41 принудительно двигается при помощи винта ЕР) уже невозможны вышеописанные перескоки упругой системы., сопровождающееся изменением прогиба V в точке О. Здесь прогиб V задается. Такое устройство позволяет исследовать экспериментально и те формы равновесия, которые оказывались невозможными в первых двух вариантах, а именно, формы АсВ (рис. 4.37) и АдВ (штриховая линия на рис. 4.39), т. е. ветви Ьс и dfg характеристики (рис. 4.38). Но тут возможны перескоки другого рода. Например, установим форму АкВ (точка d характеристики), после чего будем медленно перемещать винт с серьгой вверх. Таким образом, рис. 4.41 идя по ветви dfg характеристики, можно получить формы Л/В и АдВ (штриховая линия на рис. 4.39). Полоска будет опираться при этом на нижнюю часть серьги, причем Р<0. Но форма АдВ неустойчива. Поэтому в любой момент может произойти перескок упругой системы в форму АЬВ (сплошная линия на рис. 4.39), что на характеристике соответствует перескоку из точки ё в точку Л (рис. 4.38). При таком перескоке прогиб V сохраняется прежним (Vh = Vg), а сила Q меняется не только по абсолютной величине, о и по направлению (Оь>0, полоска будет опираться теперь на верхнюю часть серьги). [c.107]

Е.Л. Николаи (1928) был, по всей вероятности, первым, кто рассмотрел задачу об устойчивости упругой системы, нагруженной следящими силами. В его работе исследуется устойчивость прямолинейной формы гибкого стержня, один конец которого заделан, а другой — нагружен сжимающей силой и скручивающим моментом. Было установлено, что в случае, когда вектор момента является тангенциальным (т. е. остается направленным по касательной к изогнутой оси стержня), не существует никаких иных форм равновесия, кроме прямолинейной. Отсюда Е. Л. Николаи сделал вывод, что обычный метод определения критической силы в данной задаче неприменим. Составив уравнение малых колебаний стержня около прямолинейной формы равновесия, Е. Л. Николаи установил, что это равновесие неустойчиво при любых значениях скручивающего момента (если не учитывать демпфирование и рассматривать стержень круглого сечения). В следующей работе (1929) было показано, что при наличии неравных изгибных жесткостей прямолинейная форма стержня является устойчивой при достаточно малой величине крутящего момента. При этом существует критическая величина момента, начиная с которой прямолинейная форма перестает быть устойчивой. Результаты Е. Л. Николаи были развиты Г. Ю. Джанелидзе (1939) и И. Е. Шашковым (1941, 1950). [c.350]

ПИЮ сжимающей силы Р, сохраняющей в процессе нагружения вертикальное положение (рис. 13.2). В зависимости от величины силы стержень может иметь прямолинейную или искривленную формы равновесия. Пока величина силы Р меньше некоторого критического значения стержень сохраняет исходную прямолинейную форму равновесия (рис. 13.2, я). При решении задач устойчивости может быть использовап динамический метод, основанный на исследовании колебаний упругой системы относительно исходного положения равновесия. Если верхний конец стержня слегка отклонить, а затем отпустить, то после ряда колебаний стержень возвратится в первоначальное прямолинейное состояние. Таким образом, при Р<Р прямолинейная форма равновесия стержня является устойчивой. Частота малых колебаний стержня по отношению к исходной прямолинейной форме равновесия зависит от величины сжимающей силы Р. При возрастании силы частота уменьшается. Когда величина силы достигнет критического значения, частота колебаний обратится в нуль, и стержень придет в состояние безразличного равновесия. Если теперь слегка отклонить стержень от первоначального прямолинейного состояния и затем отпустить, то он останется в изогнутом состоянии (рис. 13.2, . Таким образом, при Р = Р р прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой. Происходит раздвоение (бифуркация) форм равновесия, то есть наряду с прямолинейной возможно существование смежной слегка искривленной формы равновесия. [c.261]

Методы решения задач об устойчивости форм равновесия. Наиболее общим методом исследования устойчивости является динамический метод. Предполагают, что исследуемая форма равновесия каким-либо образом нарушена, и изучают движение, которое возникает после такого начального возмущения. По свойствам воз.мущенного движения судят об устойчивости или неустойчивости исследуемой формы равновесия если движение представляет собой колебания с постепенно возрастающими амплитудами или носит апериодический характер с увеличивающимися отклонениями, то исходная форма равновесия является неустойчивой, в противном случае, когда система все время остается в окрестности исходной формы равновесия, последняя является устойчивой. [c.10]

Если в положении равновесия системы, совпадающем с началом многомерной системы координат, потенциальная энергия П не имеет минимума, и это отсутствие минимума определяется тем, что квадратичная форма Иг моокет быть отрицательной, то это положение равновесия — неустойчиво. [c.226]

Как оказывается, при некоторых определенных значениях внешних сил упругая система может иметь несколько положений равновесия, причем одни из них устойчивы, другие неустойчивы. Для выяснения этого вопроса обратимся к примеру стержня, сжатого силой Р (рис. 4.1.1). Предполагается, что стержень идеально прямой и сила приложена строго центрально (что практически невозможно). При указанных идеальных условиях орямо-линейная форма стержня всегда является возможной формой его равновесия. Для суждения об устойчивости этой формы равновесия нужно сообщить возмущение, например приложить малую поперечную нагрузку Q, которая вызовет прогиб. При отсутствии сжимающей силы Р малая поперечная сила вызывает малый прогиб. Если сила Р невелика, то положение останется таким же и равновесие стержня сохраняется устойчивым. Более строгое определение устойчивости состоит в следующем. Равновесие стержня устойчиво, если, задавшись любой величиной г) > О, всегда можно указать такую конечную величину е>0, что при (31 <е вели- чина прогиба ни в одной точке не достигнет величины т], т. е. будет 1г 1<г . Оказывается, как мы увидим Рис. 4.1.1 далее, что это условие не выполняется, если сила Р превышает некоторое критическое значение Р . При Р> Рк равновесие стержня становится неустойчивым, это значит, что сколь угодно малое возмущение достаточно для того, чтобы возникли большие прогибы. [c.114]

Таким образом, полученный результат, записаный в форме (1-33), носит общий характер и справедлив для любой равновесной системы независимо от того, находится ли система в устойчивом, неустойчивом или мета-стабильном состоянии. Следовательно, кроме условия (1-33) должны существовать дополнительные критерии, отличающие устойчивое равновесие от неустойчивого. 18 [c.18]

В интервале Р 2 <.Р <. Рк оболочка устойчива в классической постановке (в малом), но неустойчива в большом. Если системе сообщить достаточно малые возмущения, то она, будучи в дальнейшем предоставленной сама себе, вернется к исходной форме равновесия. Если же системе сообщить большее отклонение, то при достаточной величине возмущений она перейдет к новой устойчивой форме равновесия (точка с), расположенной за потеп-циальным барьером. [c.143]

По достижении силой Р значения Р происходит мгновенное прощелкивание мембраны — выпуклость ее оказывается обращенной в сторону, противоположную первоначальному направлению. Состояние мембраны до прощелкивания при Р = Р, является неустойчивым — малейшее увеличение прогиба под воздействием дополнительных сил, приложенных и снятых, приводит не к возвращению, а к прощелкпванию, т. е. малое возмущение приводит к большому изменению формы равновесия. Положение мембраны после прощелкивания при Р = Р является устойчивым (разумеется, если сила сохраняет свое значение Р ). В этом легко удостовериться, варьируя перемещения в окрестности указанного состояния за счет приложения дополнительных сил по устранении этих сил система возвращается в состояние, соответствующее положению после прощелкивания. [c.290]

В качестве четвертого типа явления потери устойчивости первоначальной формы равновесия рассмотрим потерю устойчивости в форме исчерпания несущей способности. Пусть имеется растягиваемый прямолинейный стержень (четвертая строка таблицы 18.1), выполненный из материала, подчиняющегося закону Гука во всем диапазоне возможных деформаций и обладающего бесконечной прочностью. Пусть испытательная машина имеет такую конструкцию, при которой достигается равномерное удлинение стержня А. Можно отметить два характерных состояния стержня. Одно наблюдается в диапазоне О Д < А, а второе при А А . При увеличении А в пределах О А < А происхо-,цит постепенный рост силы Р, регистрируемой силоизмерительным прибором машины. В этом диапазоне система находится в устойчивом равновесии. При достижении перемещением величины А, система находится в неустойчивом равновесии — силоизмерительный прибор регистрирует неограниченное снижение величины силы Р. Таким образом, несуи ая способность стержня исчерпывается. [c.292]

Выше рассматривалась лишь однопараметрическая нагрузка. На самом же деле на систему могут действовать две (или несколько) нагрузки, каждая из которых изменяется во времени по своему собственному закону и от каждой из которых или от некоторых из которых, при самостоятельном их действии, система может потерять устойчивость. В этом случае в пространстве независимых параметров всех нагрузок (5 независимых нагрузок) имеется граница — гиперповерхность, отделяющая область устойчивости форм равновесия от области неустойчивости. История насружения такой системы определяется линией [c.470]

К другим неконсерватиБНЫМ задачам устойчивости относят многие задачи аэро- и гид-роупрутости, а также задачи об устойчивости роторов с учетом внутреннего трения и родственных факторов [4]. Эти задачи освещены в гл. 7.6 и 7.8. Системы, нагруженные силами, явно зависящими от времени, также являются неконсервативными. Таковы задачи, в которых неустойчивость связана с возникновением параметрических резонансов. Прямолинейная форма стержня, нагруженного силой, изменяющейся во времени (рис. 7.3.11, в), может быть отождествлена с равновесием, если пренебречь (ввиду большой жесткости) продольными колебаниями стержня. В результате приходим к задаче об устойчивости прямолинейной формы равновесия при неконсервативной (но явно зависящей от времени) нагрузке. [c.480]

На рис. 7.5.1, а к б представлены типичные зависимости параметра нагрузки р от характерного перемещения / для упругих систем. Здесь значение параметра р, отвечает точке бифуркации форм равновесия, значение р - предельной точке. На рис. 7.5.1, в показана аналогичная зависимость для упругопластической системы (зависимость критического параметра р ОТ характерного перемещения f). Послебифуркаци-онное поведение упругопластических систем в корне отличается от поведения упругих. Здесь имеется целый спектр нагрузок бифуркагщи с устойчивым либо неустойчивым послебифурка-ционным поведением одной и той же системы. [c.496]

Критическое значение груза Р — это то значение, которому соответствует цереход от устойчивой к неустойчивой форме равновесия. Мы его найдем, приравняв нулю изменение энергии системы при всяком отклонении шарика от его среднего положения, т. е. полонгив [c.260]

При определении критического значения груза Р применяем тот же прием, что и в разобранном выше примере. Дадим нагру>кенному стержню весьма малое отклонение от прямой формы. При этом потенциальная энергия деформации стержня несколько возрастет, к энергии сжатия присоединится энергия изгиба. Пусть OF представляет собой приращение энергии деформации. Указанное искривление стержня будет сопровождаться опус- канием груза Р, а следовательно, и некоторым умень- птением энергии системы. Пусть ЬТ будет это уменьшение, равное работе опускающегося груза. Применяя основной критерий устойчивости, заключаем, что прямая форма равновесия сжатого стержня будет устойчива, если 07 > бГ, и неустойчива при бУ < бГ. [c.261]

Тогда положение равновесия системы (5) х = О является неустойчивым как в прошлом , так и в будуш,ем . Заметим сперва, что если мы разложим потенциал (р х) в ряд Маклорена по однородным формам х (р х) = (р2 х) + Рз х) + ., то каждая из этих форм допускает как положительные, так и отрицательные значения, поскольку эти формы являются гармоническими функциями A(pj x) = О, к = [c.91]

Одними из первых методом функций Ляпунова были решены задача Эйлера об устойчивости прямолинейной формы равновесия тонкого стержня постоянного сечения, находящегося под действием продольной постоянной нагрузки (Н. Г. Четаев, 1946) и задача об устойчивости круговой формы однородной гибкой нерастяжимой нити в отсутствие внешних сил (П. А. Кузьмин, 1948—1949). В обеих задачах введено счетное множество обобщенных координат системы, причем для второй из названных задач рассматривается обоснование перехода от конечного числа переменных к бесконечному введением гильбертова пространства. Построением функции Ляпунова была также решена задача об устойчивости эллипсоидов Маклорена вращающейся гравитирующей жидкости по отношению к конечному числу переменных, характеризующих простое, по Лиувиллю, движение жидкости (В. В. Румянцев, 1959). Применение теоремы Ляпунова о неустойчивости позволило строго доказать неустойчивость вихревых цепочек Кармана (Г. В. Каменков, 1934 Н. Е. Кочин, 1939). [c.30]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...