Главные оси и главные нормальные напряжения

Главные оси и главные нормальные напряжения [c.45]

Изохроматические линии показывают, что напряжения по наименьшему сечению сильно меняются по величине, на основании же данных, полученных путем опытов с пластинкой с одной выкружкой, можно заключить, что напряжение в точках у края выреза велико по сравнению с напряжением в средней части сечения. Изоклины и линии главных нормальных напряжений (фиг. 7.022) указывают на неравномерность распределения напряжений расположение нулевых изоклин дает нам действительные пределы, в которых наблюдается неравномерность распределения напряжений, являющаяся следствием выкружки указанной на чертеже формы. Приблизительно равномерное распределение напряжений наблюдается в действительности, как видно по изоклинам, только на расстоянии от места выреза, считая по оси, вчетверо превышающем радиус выреза. [c.481]

Возьмем систему прямоугольных координат с осями о и х (фиг. 4,6). Положительную ось о направим вправо. Отложим на оси с отрезки Оа и ОЬ, равные по величине главным нормальным напряжениям ai и ag. Построим на отрезке аЬ как на диаметре круг с центром с. Для нахождения нормального о и касательного х напряжения на площадке, нормаль к которой составляет с наибольшим главным напряжением 01 угол а, построим при точке с центральный угол 2а, откладывая его положительные значения от оси а против часовой стрелки. Получим асе = 2а координаты точки е — Ок я ке — соответственно равны Од и Ха. Докажем это. [c.20]

В некоторой частице тела известны напряжения 0,1 = 100 МПа, 022 = = 60 МПа, 033=10 МПа, ai2 = 40 МПа, 013 = —20 МПа, 02з=ЗО МПа. Найти главные нормальные напряжения и ориентацию главных осей. [c.62]

При изгибе балки (рис. 257, а) в точках определенного поперечного сечения п — п, взятых на различных расстояниях от нейтральной оси, мы находили нормальные напряжения а и касательные т. Для балки прямоугольного поперечного сечения эпюры напряжений а и т приведены соответственно на рис. 257, бив. Кроме того, в каждой из этих точек по напряжениям а и т вычисляли главные напряжения растягивающие О и сжимающие Оз- Эти напряжения действуют на площадках, наклон которых к плоскости поперечного сечения изменяется от точки к точке. Изменение величины главных напряжений по высоте балки может быть представлено в виде эпюр 0 и 03. Для той же балки эти эпюры приведены на рис. 257, г, д. [c.279]

Как известно, открытые тонкостенные профили плохо работают на кручение. Кроме того, если балка заделана так, что депланация сечения в заделке становится невозможной, то будет иметь место так называемое стесненное кручение, при котором в поперечном сечении возникают не только касательные, но и значительные нормальные напряжения. Поэтому желательно принимать меры, устраняющие кручение в балках прокатного профиля. Обычно по этой причине ставят симметричное сечение из двух швеллеров. Если же профиль один, а нагрузка значительна, то ее нужно выносить из главной плоскости так, чтобы она проходила через точку С (на рис. 313, б такое положение нагрузки показано пунктиром на рис. 313, г дан один из возможных вариантов конструктивного оформления вынесения нагрузки). В этом случае участок балки длиной х полностью уравновешивается силами Р, Q x) = P и моментом М х) = Рх кручения не будет. Поэтому точка С называется центром изгиба (иногда — центром жесткости). Центры изгиба всех сечений балки расположены на прямой, которая называется осью жесткости балки (рис. 313, б). [c.340]

Общий случай (поперечное сечение не является кругом). Суммарный изгибающий момент М и поперечная сила Q в сечении разлагаются на составляющие Л ] и М2, Qi и Q2 по главным осям / и 2 сечения. Отдельно от A lj, Mg, Qj, Q2 и момента кручения находятся соответствующие им нормальные (от Afj и М2) и касательные (от Qi, Q , М ) напряжения в сечении. Напряжение от М , М2 и находятся по формулам [c.107]

Рассмотрим первый случай погасания луча, когда 0 = = О или 90° (случаи 0 = 180° и 270° сводятся к предыдущему). Этот случай представляет большой интерес для исследования напряжений в оптически-анизотропном теле, так как он дает точные сведения о направлении двух главных нормальных напряжений и Ог в любой точке модели. Если при взаимно перпендикулярном расположении плоскостей поляризации поляризатора и анализатора в плоском полярископе в данной точке модели нанравления главных нормальных напряжений совпадают с направлениями плоскостей поляризации, то в соответствующем месте экрана получается затемнение. Эти темные линии — изоклины — соединяют точки, в которых направления главных напряжений одинаковы. Эти направления определяются углом наклона ф плоскости поляризации прибора к оси ж. Угол наклона ф называется параметром изоклины. [c.25]

Направление оси компенсатора совмещают с направлением одного из главных напряжений в модели. Для этого скрещенные поляризатор и анализатор вместе с компенсатором поворачивают на 45°, так как после выполнения п. 3 ось компенсатора находятся под углом в 45° к направлению главных напряжений в исследуемой точке модели. В таком положении установки можно компенсировать разность хода лучей, прошедших через модель. Компенсация будет достигнута, если ось вращения кристаллической пластинки компенсатора совпадает с направлением алгебраически наименьшего главного нормального напряжения в исследуемой точке (положение вычитания). Если при повороте барабана компенсатора будет наблюдаться повышение интерференционной окраски цветов, то компенсации не произойдет (положение сложения). В этом случае необходимо отдельно повернуть компенсатор на 90° вокруг оси установки. После этого компенсация будет достигнута. [c.37]

Если принять, что ось Oz является главной осью деформированного (а, следовательно, и напряженного) состояния, то наряду с равенством 8 = 0 в плоскостях, проходящих через эту ось, должны отсутствовать деформации сдвига и (а в плоскостях, нормальных к этой оси, равны нулю и касательные напряжения и При этом, как видно из (5.25), будет выполняться равенство 1 = 0. [c.103]

Это выражение позволяет определить касательное напряжение на любой проходящей через точку площадке по главным нормальным напряжениям и направляющим косинусам площадки, на которой действует напряжение т, относительно главных осей. [c.97]

Схемы главных нормальных напряжений. Они дают наглядное представление о напряженном состоянии в точке в главных осях Т . По граням главного куба изображают в выбранном масштабе главные нормальные напряжения (рис. 36). Всего схем главных нормальных напряжений девять. Схемы JIi и Ла соответствуют линейному напряженному состоянию. Схемы П1, Па, Пз соответствуют плоскому напряженному состоянию. При этом одно из главных нормальных напряжений равно нулю. При выборе произвольной системы координат х, у, z ось z направляют по одной из главных осей так, чтобы a z 0. Тогда матрица (IV.4) принимает вид [c.119]

Главные нормальные напряжения и главные оси тензора напряжений. Главные нормальные напряжения ок являются корнями кубического уравнения [c.122]

Найти главные нормальные напряжения и главные оси тензора напряжений. [c.123]

Найти главные нормальные напряжения и главные оси тензора напряжений, матрица которого в точке М имеет вид (IV. 13). [c.127]

Дайте физическое толкование главных нормальных напряжений и главных осей тензора напряжений. [c.128]

Запишите уравнение для нахождения главных нормальных напряжений и три системы уравнений для нахождения главных осей Та- [c.128]

Поверхность и кривая текучести для изотропного материала. Поскольку свойства изотропного материала одинаковы во всех направлениях, уравнение поверхности текучести можно выразить через главные нормальные напряжения ( i. < 21 F3) = 0. Так как ai, 02, 03 выражаются по формулам (IV.37) через инварианты Т , то уравнение поверхности текучести можно представить в виде /т ( 0) h Та), /3 (Т ст)] == 0. Опыты показывают, что среднее напряжение о — (Г /З практически не влияет на возникновение пластических деформаций, поэтому можно принять, что оно определяется инвариантами девиатора напряжений. -Тогда /т [ 2 Фа). и Фа)1 = О- Это уравнение цилиндра, осью которого является прямая = [c.193]

Осесимметричное напряженно-деформированное состояние. В этом случае можно выбрать цилиндрическую систему координат г, а, г (рис. 3), в которой существенными аргументами искомых функций будут только координаты г, Z и а угловая координата а несущ,ественна. В площадках а отсутствуют касательные напряжения, а является главным нормальным напряжением. Матрица напряжений имеет вид (IV. 16). Решение задачи будет инвариантным относительно поворотов на любой угол вокруг оси z. Например, осесимметричным является напряженно-деформированное состояние в очаге деформации при волочении круглой проволоки или прессовании круглых прутков. [c.244]

Предыдущие рассуждения относительно деформаций могут быть повторены с соответствующими изменениями и для напряжений. Для напряжений также существуют главные оси, и в изотропном материале эти оси совпадают с главными осями деформаций, так что для них можно оставить те же обозначения i, /, к . Среднее нормальное напряжение [c.71]

В каждом теле, в каждой точке существуют три взаимно перпендикулярных направления i, j, к, которые остаются взаимно перпендикулярными и после деформации. Они называются главными осями деформации. Так как прямые углы между ними не изменяются, то в направлении этих осей сдвига не. происходит, и деформация состоит из удлинения или укорочения в направлении главных осей (или нормально к плоскостям, содержащим оси). Следовательно, эти удлинения или укорочения являются нормальными деформациями ( ) ), их называют главными деформациями и обозначают Di, Dj, В изотропном теле эти деформации связаны с нормальными напряжениями (а ), называемыми главными напряжениями, которые и обозначаются через Oi, Oj, он. [c.77]

В трехмерном пространстве напряжение, действующее на элемент произвольно ориентированной плоскости, проходящей через точку О, может быть записано через его компоненты а -. Можно найти такие три ориентации этой плоскости, при которых сдвиговые напряжения в ней не будут действовать. Эти три плоскости, называемые главными плоскостями, ортогональны между собой. Три перпендикулярные к ним вектора образуют главные оси, а три нормальных к этим плоскостям напряжения принято считать главными напряжениями. Их записывают как а , и (с одиночными индексами), причем удобно считать и Og алгебраически наибольшим и наименьшим напряжениями соответственно. (Ti — наибольшее растягивающее напряжение, обусловленное приложенной к телу нагрузкой. Величины а , и Og можно найти, вычислив значения а, для которых детерминант [c.23]

Наоборот, если мы используем уравнения в форме (2.297) или (2.298), то правые части этих уравнений известны точно. Действительно, Р- -ср равно углу наклона изоклины к оси Ох в точке пересечения с линией главного нормального напряжения значения Рр Рд,. .. для величины р в нескольких точках пересечения легко могут быть сведены в таблицу, и на участке мы можем принять [c.129]

Эти изменения в напряжениях Q являются следствием наклона линий главных нормальных напряжений и объясняются с физической точки зрения тем, что эти линии можно рассматривать как оси силовых трубок, подверженных растяжению на концах. Для сохранения изогнутых очертаний этих линий требуется наличие поперечных сил, которые в точках оси проявляют тенденцию к сжатию материала в тех случаях, когда силовые трубки направлены вогнутостью к оси, и к растяжению, когда они обращены выпуклостью к этой оси образца. На основании этой гипотезы в точках перегиба Q должно бы иметь нулевое значение, но так как эти точки расположены в разных местах многочисленных силовых трубок, окружающих ось, то в результате получается сложение напряжений, и точка с нулевым напряжением Q будет занимать, как оказывается, некоторое среднее положение. [c.484]

Боковые нагрузки, возникающие под влиянием винтов, зажимающих образцы, не только повреждают образец и определяют место разрушения, но могут также изменить и распределение напряжений это прекрасно видно на фиг. 7.143, где боковые давления величиной 6,8 кг, приложенные к образцу при помощи призм с углом 60°, вызывают вместо простых растягивающих напряжений от действия силы в 20,4 кг, значительно более сложное распределение напряжений. Определенные для этого случая экспериментальным путем изоклины показаны в левой части фигуры, так же как н взаимно ортогональные кривые главных нормальных напряжений. При испытании на растяжение линии эти должны бы быть всюду параллельны и перпендикулярны прямым сторонам образца в действительности же, как оказывается, происходит очень большое изменение в характере распределения напряжений, вызванное боковым давлением опыт показывает, что в данном случае простые растягивающие напряжения появляются снова только на расстоянии по оси образца, большем половины его ширины от места приложения боковой нагрузки. [c.525]

Для удобства сравнения с некоторыми приведенными дальше опытными данными были вычислены величины суммы и разности главных нормальных напряжений для точек вдоль осей координат по формулам, полученным из вышеприведенных после некоторых упрощений. [c.526]

При совмещении координатных осей с главными осями тензора ioij) его касательные компоненты ( ф /) будут равны нулю, а диагональные компоненты, т. е. нормальные напряжения ст/ , будут совпадать с главными значениями tj тензора напряжений [см. (1 .3), с.400], которые называются главными напряжениями. Следовательно, площадки, проходящие через данную точку тела и перпендикулярные главным осям тензора о ), свободны от касательных напряжений, а нормальные напряжения на них есть главные значения тензора напряжений или главные напряжения. Эти площадки называются главными площадками. [c.39]

На верхней и нижней граничных плоскостях балки = О, т. е. tg 2а = О или = ==0, аа = л/2. На оси балки Ог = 0 следовательно, а = я/4. Между этими крайними положениями в балках сплошного поперечного сечения происходит плавный переход в ориентации главных площадок, как показано на рис. i2.4. Для железобетонных балок характерно разрушение по наклонным сечениям (рис. 12.5), перпендикулярным направлениям растягивающих главных нормальных напряжений. Например, в ок- Шности опоры, где роль касательных напряжений достаточно велика, линии главных напряжений схематично можно изобразить, как показано на рис. 12.6. Очевидно, что растягивающие напряжения ориентированы по линиям, идущим справа налево вверх, а разрушение происходит с образованием трещин, ориентированных ортогонально этому семейству линий. Поэтому в окрестности [c.247]

Рис, 112. Картины муароиых полос, изохромы и нормализованные разности главных нормальных напряжени по горизонтальной оси для диска, нагруженного по диаметру сосредоточенными силами, /—изотеты а, 2 —изотеты у, — эталонная решетка, 4 —изохромы, 5 —метод муара , <) —метод фотоупругости. [c.178]

Главная площадка, в которой нормальное напряжение равно нулю, нормальна к оси z (рис. VIII.7, а), следовательно, две другие главные площадки пройдут через ось z и нормали к ним лежат в плоскости ху. Положение одной из этих нормалей i (рис. VIII.7, б) найдем, взяв первое из уравнений (VIII.6) [c.288]

Такой эллипс напряжений показан на рис. 1-10, а. Взаимно ортогональные оси 1 — 1 и 11—11 эллипса будем называть главными осями деформаций элементарного объема 5F/ Известно, что касательные напряжения т для площадок действия , ортогональных к главным осям I — I и 11—11 равны нулю Xi i = Тц-п = 0 нормальные напряжения для этих площадок называются главными напряжениями и обозначаются через Oi (большее напряжение) и через 02 (меньшее напряжение). [c.24]

На фиг. 1 изобраисено поперечное сечение толстостенного поло1 о цилиндра, находящегося под действием внутреннего давления и наружного давления р, . Внутренний и наружный радиусы цилиндра обозначены соответстненно Л) и Гг-Если давления равномерно распределены по длине, то в произвольной точке сечения на расстоянии г от оси имеет место напряженное состояние, компоненты которого показаны на фиг. 2. Главные нормальные напряжения а, и а, определяются по формулам Ляме [c.219]

Так, в рассматриваемом примере помимо нормальных напряжений по сечениям, перпендикулярным к оси образца, имеются еще растягивающие напряжения сГз по сечениям, параллельным оси. Их эпюра показана тоже на рис. 429. Кроме того, внутри образца имеет место и третье главное напряжение Ра, тоже растягивающее. Таким образом, материал вблизи дна надреза подвергается всестороннему растяжению, при котором затрудняются пластические деформации. В самом деле, если предел текучести для материала при простом растяжении равен а напряжения и Оз составляют некоторую долю от Ti, например 0,2 i, то наступление текучести при сложном напрях4ен юм состоянии определится по третьей теории прочности равенством [c.530]

Геометрическая интерпретация. В пространстве главных нормальных напряжений уравнения (IX.2) определяют правильную шестигранную призму, осью которой является гидростатическая ось 01 = 02 = 03, а каждая грань параллельна одной из координатных осей и равнонаклонена к двум другим (рис. 82). Поскольку возникновение пластических деформаций определяется не величиной главных нормальных напряжений, а их разностью, длина призмы не ограничена. В соответствии с условием текучести при линейном напряженном состоянии = о, призма отсекает на осях координат отрезки, равные Кривая текучести на девиаторной плоскости — правильный шестиугольник со стороной, равной 01 sin ar os sin 54° 44 = о,, [c.194]

Главные нормальные напряжения являются естественной физической характеристикой напряженного состояния в точке. Можно, однако, столь же естественно характеризовать напряженное состояние в точке другим способом, более тесно связанным с физическим состоянием окрестности точки. Положим, что направления главных осей 1,2,3 нам известны. Отложим от начала координат (совпадающего с рассматриваемой точкой) равные отрезки на всех полуосях, а затем в каждом октанте проведем через каждые три из полученных точек, лежащие на осях разных номеров, плоскости. Получим октаэдр, грани которого одинаково накло-г-иены к главным осям (рис. 19), так что направляющие косинусы нор- [c.36]

Имея поле изоклин, можно построить поле изостат или траекторий главных нормальных и касательных напряжений. Касательная и нормаль в каждой точке изостаты совпадают по направлениям с главными нормальными напряжениями. Для построения изостат поступают следующим образом. Пусть построено поле изоклин через Да = 5° (рис. 246). Возьмем какую-нибудь точку А на изостате а = 65°. Проводим через нее отрезок прямой под углом 65° к оси Оу до пересечения с соседними изостатами. Из середин образовавшихся отрезков В С проводим прямые под углами 60° и 70° соответственно и таким же образом продолжаем построение дальше. Изостатой будет огибающая этих отрезков. Второе семейство изостат будет ортогональным к первому, а семейства изостат, соответствующие экстремальным касательным напряжениям, образуют углы 4v ° с семействами изостат для нормальных напряжений. [c.358]

Если оси координат взяты параллельно глазным осям поверхности напряжения, то коэффициенты при произведениях координат в (2.103) должны равняться нулю. Касательные напряжения по площадкам, параллельным координатным плоскостям, равны таким образом нулю, и грани шестигранника, ребра которого параллельны координатным осям, испытывают только нормальные напряжения. Линии, проведенные через Р парал1е1ьно глазным осям пэзерхности напряжения, называются главными осями напряжения в точке Я кривая, направление которой во всякой точке напряженного тела совпадает с одной из главных осей напряжения в этой точке, называется траекторией главного нормального напряжения. Траектории главных нормальных напряжений образуют тройную систему взаимно ортогональных линий. [c.96]

Рассмотрев определение напряжений со стороны качественной, перейде-к определению их величины и направлений. Линии главных нормальных напряжений в балке без надрезов представляют собой прямые линии, параллельные нейтральной оси влияние одного надреза на эти напряжения изображено слева на фиг. 5.243 линии главных напряжений состоят из двух пучков взаимно ортогональных кривых, которые указывают на наличие главных нормальных напряжений Р к Q, возникающих вследствие резкого изменения контура. [c.409]

Kzj M напряжения будет следовательно — 0,0013. В большинстве опытов величины напряжения редко превышали 140,6 Kzj M , и полная поправка для компенсатора и образца настолько незначительна, что не выходит за пределы допустимых при определениях ошибок. Исследование напряженной пластинки показывает, что главные нормальные напряжения повсюду наклонены под углом в 45° к линии действия силы, за исключением граней образца, где их направление довольно резко меняется. Результаты наблюдений над этими отклонениями у одного конца образца длиною 10,16 см и шириною 2,54 см изображены графически на фиг. 7.114, из которой видно, что для точек на оси образца все эти изменения распространяются на протяжении 0,318 см от торца образца. Поэтому в том случае, когда [c.513]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...