Гам??л?.то??а Якоби уравнение функция

Уравнение Гамильтона — Якоби для консервативных и обобщенно консервативных систем. В случае консервативной (обобщенно консервативной) системы в уравнение Гамильтона — Якоби входит функция Н, не зависящая явно от времени. Поэтому уравнение это принимает вид [c.332]

Эта схема интегрирования Г амильтона была упрощена и улучшена Якоби. Главная функция Гамильтона должна удовлетворять сразу двум уравнениям в частных производных. Решение этой задачи практически невозможно без более широкой схемы интегрирования, предложенной Якоби. Производящая функция S зависящего от времени канонического преобразования определяет все движение фазовой жидкости, удовлетворяя лишь одному уравнению в частных производных [c.262]

Это уравнения типа Лагранжа. Они называются уравнениями Якоби. Роль функции Лагранжа в уравнениях Якоби играет функция Р, а роль времени, как и в уравнениях Уиттекера (29), — координата qi. [c.291]

Общий вид и обоснование этой теории и дал Якоби. В функции 5 или V, исследованные Гамильтоном, входят константы — начальные координаты (а в 5 также и энергия). Якоби показал, что это ограничение необязательно и что вместо (38а) или (38Ь) необходимо только одно уравнение, а именно [c.826]

Якоби указывает, что случай, когда одновременно имеют место закон живых сил и принцип наименьшего действия, очень важен <(Гамильтон заметил, что в этом случае задача может быть сведена к нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка. Если найдено одно его полное решение, то получаются все интегральные уравнения. Функцию, определенную этим дифференциальным уравнением, Гамильтон называет характеристической. [c.826]

Допустим, что интересующие нас задачи решаются путем введения переменных действие — угол, т. е. соответствуют уравнению Гамильтона — Якоби с разделяю-Ш.ИМИСЯ переменными (см. 6.2). В целях простоты ограничимся здесь одномерными системами. В конце этого параграфа мы остановимся на том, как можно распространить эту теорию на многомерные системы. Переменные действие— угол, соответствуюш,ие невозмущенной системе с гамильтонианом Яо, обозначим через и w . Уравнения движения решаются методом Гамильтона — Якоби, а функция Гамильтона — Якоби ищется в виде степенного ряда по параметру X, [c.191]

В 1850 г. Остроградский опубликовал еще один мемуар, содержащий важные результаты по математической теории уравнений движения,— Об интегралах общих уравнений динамики (представлен в 1848 г.). Он показал, что и в более общем случае, когда связи и силовая функция содержат время (этот случай был оставлен в стороне Гамильтоном и Якоби), уравнения движения также могут быть преобразованы в гамильтонову форму. [c.216]

Значение Х°, соответствующее точке условной стационарности и°, может быть не единственным. Чтобы обеспечить единственность Х°, обычно накладывают требование независимости на уравнения, содержащиеся в дополнительном условии (2) это требование выражается в том, что матрица Якоби множества функций, сокращенно записанных ф(и), должна иметь соответствующий ранг (см., например, [0.9, 1.6]). В данной книге нет необходимости заботиться об единственности множителей Лагранжа. В гл. 3 и 4 будут часто встречаться случаи, когда существует бесконечное множество Х° (например, функционал Эпз (е, ф), где тензор функций напряжений ф является множителем Лагранжа, гл. 3). В этих случаях нас устраивает любое из бесконечного множества значений так как все они определяют одно и то же решение исходной задачи (I), (2). [c.37]

Условие стационарности функционала (10) с лагранжианом (13) приводит в квазиклассическом приближении к уравнению Гамильтона-Якоби относительно функции б и уравнению неразрывности относительно плотности вероятности р. [c.60]

Подстановка в (23) приводит к уравнению Гамильтона — Якоби для функции и/ [c.539]

При составлении канонических уравнений функция Гамильтона может быть задана с точностью до произвольной аддитивной функции времени ф( ), т. е. движения системы с гамильтонианами Я(д , и Я (д , = Н[дг, рг, )+ф( ) совпадают. Установить тождественность движения этих систем методом Якоби. [c.268]

Гамильтона функция 135 Гамильтона — Якоби уравнение. См. [c.652]

Можно без труда показать, что уравнение Гамильтона—Якоби с функцией (10.21) имеет разделяющиеся переменные и его решение таково [c.328]

Сравнивая эту функцию, найденную из уравнения Гамильтона— Якоби, с функцией (8.6), полученной непосредственно из определения действия 5, получаем [c.46]

Как мы видим, это есть уравнение Гамильтона —Якоби, а функция S (i, д, <7 ) —полный интеграл (в силу (5.152)). [c.329]

Функция действия удовлетворяет уравнению в частных производных первого порядка (12.4), которое называется уравнением Гамильтона—Якоби. В функции Гамильтона Н аргументы />,-заменены в уравнении (12.4) на частные производные дЗ/дд-,. [c.172]

Полным интефалом уравнения Гамильтона—Якоби называется функция 5(4, а, 0. = ( ], а ), такая, что [c.173]

Пример 93. Материальная точка массой т движется под действием силы притяжения к некоторому центру О. Зная, что силовая функция поля равна U (г), где /- — расстояние от точки до центра О, найти канонические уравнения и уравнения ее движения, применив метод интегрирования Остроградского—Якоби, Решение. Выберем за обобщенные координаты материальной точки ее полярные координаты г и ф. Так как составляющие скорости точки, выраженные н полярных координатах, определяются по формулам [c.387]

Какой вид имеет уравнение Остроградского—Якоби в случае, когда функция Гамильтона явно от времени не зависит [c.390]

Для решения интересующей нас задачи нет нужды находить общее решение уравнения Гамильтона — Якоби. В силу сказанного выше нас интересует любая функция от q ц. t, удовлетворяющая тождественно этому уравнению и зависящая от п констант. Вспомним еще, что производящая функция должна удовлетворять условию (129). Теперь, когда вместо переменных q функция S зависит от п констант а, это дополнительное условие может быть переписано так [c.323]

Любая функция S (q, a, t), обращающая уравнение (132) в тождество, зависящая от п констант а и удовлетворяющая условию (133), называется полным интегралом уравнения (132). Для наших целей достаточно найти любой полный интеграл уравнения Г амильтона — Якоби. [c.323]

Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство. В координатном пространстве в каждый момент нас интересует положение лишь одной движущейся в нем точки—она определяется мгновенными значениями обобщенных координат рассматриваемой системы. Между тем полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби в каждый момент определяет функцию S, заданную во всем координатном пространстве и имеющую вполне определенное значение в каждой точке этого пространства. В связи с тем, что функция S зависит также и от времени, можно представить себе ее как некоторую поверхность, заданную в координатном пространстве и непрерывно деформирующуюся (или движущуюся). Каким же образом задание функции, определенной на всем пространстве и изменяющейся во времени, может определить движение той единственной точки, которая интересует нас Как связано движение этой точки с деформирующейся поверхностью [c.324]

Предположим теперь, что удалось решить систему уравнений Уиттекера или Якоби. Это значит, что удалось найти все д, (/ = 2,. .., п) как функции и такого числа произвольных постоянных, каков порядок системы, т. е. 2 —2. Кроме того, эти решения будут, разумеется, содержать начальную энергию И, которая с самого начала входит в выражение для К (либо для Р). Таким образом, мы определим [c.329]

Предположим, что каким-либо образом удалось найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, т. е. функцию V, зависящую от всех q н от п констант, причем последней из этих констант является a = /i. Эта функция V должна удовлетворять условию [c.333]

Покажем, что в рассматриваемом случае эта функция является полным интегралом уравнения Гамильтона — Якоби (158). Непосредственно видно, что функция (161) тождественно удовлетворяет уравнению (158) и зависит от п констант, а условие (155) сводится в этом случае к виду [c.334]

И что она зависит от п постоянных а,,. .., а . Как и в первом случае, легко проверить, что неравенство (155) выполнено. Поэтому функция (163) является полным интегралом уравнения Гамильтона— Якоби и, зная ее, можно выписать закон движения в конечной форме. [c.336]

Итак, если известен полный интеграл (6 13) уравнения Гамильтона — Якоби, то для получения решения исходной системы уравнений (6.1) следует за производящую функцию взять функцию [c.155]

Напишем соответствующее этой функции уравнение Гамильтона — Якоби [c.158]

Решение дифференциального уравнения в частных п]ю-изводных, содержащее столько произвольных постоянных, сколько имеется независимых переменных, называется полным интегралом этого уравнения. Функция ) в уравнение (6.12) входит только 1ерез свои производные. Это значит, что одна произвольная постоянная будет входить в полный интеграл в виде слагаемого, т. е. полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби имеет вид [c.155]

Введение. Мы привели дифференциальные уравнения движения к особенно удобному каноническому виду. Однако наша конечная цель будет достигнута только тогда, когда мы сможем решить эти уравнения. Поскольку нам неизвестен метод непосрественного интегрирования этих уравнений, то приходится идти косвенными путями. Одним из таких путей является метод преобразований координат. Мы пытаемся отыскать такую систему координат в фазовом пространстве, в которой входящая в канонические уравнения функция Гамильтона имела бы настолько простой вид, чтобы уравнения движения могли быть непосредственно проинтегрированы. Естественно, что с этой точки зрения желательно исследовать всю группу преобразований координат, связанных с каноническими уравнениями. Изучение этих канонических преобразований оказывает ценную помощь при интегрировании уравнений механики. Теория канонических преобразований в основном связана с именем Якоби. Хотя он, возможно, и не обладал воображением, присущим Гамильтону, и его усилия были в основном направлены на решение задачи интегрирования уравнений, однако открытие канонических преобразований явилось все же огромным достижением. Получившаяся в результате теория интегрирования сыграла важную рель в развитии современной атомной физики. В далеко идущих исследованиях Гамильтона проблема интегрирования являлась второстепенной задачей. [c.225]

Интегрирование в (6.215) ведется по qi, но координата / — единственная из всех координат q , которая входит в интеграл правой части (6.215), поскольку уравнение Гамильтона — Якоби допускает разделение переменных. Поэтому Ji будут функциями только а и не будут содержать Pft. Это означает, что преобразование от р и q,, к Ji и wi будет преобразованием Гамильтона —Якоби, приводящим к преобразованному гамильтониану R, который будет функцией только J/. Допустим, что это преобразование Гамильтона — Якоби порождается функцией Гамильтона-Якоби S. Из того, что исходное уравненне Гамильтона—Якоби допускало разделение переменных, и из того, что Ji зависят лишь от а, следует, что S можно записать в виде [c.169]

Наряду с уравнениями движения Лагранжа и Гамильтона, которые являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, существует уравнение в частных-.производных, описывающее движение механической системы в поле обобщенно-потен-циалъных сил при наличии голономных идеальных связей. Этому уравнению, называемому уравнением Гамильтона — Якоби, подчиняется функция действия [c.399]

В связи со сказанным становится ясным, почему параллельно с развитием теории программного управления с самого начала построения теории оптимальных процессов ставилась задача о нахождении управляющих сил и сразу в виде функции от текущих координат хг (1) управляемого объекта. При этом получил наибольшее распространение тот подход к рассматриваемым задачам о синтезе, который развивад-ся по пути методов динамического программирования. Этот метод соответствует известным в вариационном исчислении рассуждениям о распространении возбуждений. С точки зрения вариационных принципов механики метод динамического программирования аналогичен введению функции действия и приводит соответственно к уравнениям типа уравнений Гамильтона — Якоби в частных производных. Таким образом, уравнения в частных производных, вытекающие из методов динамического программирования, связаны с обыкновенными дифференциальными уравнениями, фигурирующими, например, в принципе максимума, подобно тому как в аналитической механике уравнения Гамильтона — Якоби для функции 8 свйзаны с соответствующими уравнениями движения в форме Лагранжа или Гамильтона. Основу метода динамического программирования составляет функция V [т, х], которая имеет смысл минимума (максимума) оптимизируемой величины /[т, л (т)] (0 (т< < 1, т> о —текущий момент времени, 1 — момент окончания процесса), рассматриваемой как функция от начальных, временно фиксируемых условий г, х (т) = х, т. е. [c.203]

М. тесно связана со многими др. разделами физики. Ряд понятий и методов М. при соотвотствукщих обобщениях находит приложение в оптике, статистич. физике, квантовой М., электродинамике, теории относительности и др. (см., напр., Действие, Канонические уравнения механики, Лагранжа функци.ч, Лагранжа уравнения механики, Гамильтона — Якоби уравнения, Наименьшего действия принцип). Кроме того, при решении ряда задач газовой динамики, теории взрыва, теплообмена в движущихся жидкостях и газах, динамики сильно разреженной среды (см. Супераэродинамика), магнитной гидродинамики и т. д. одновременно используются методы и ур-ния как теоретич. М., так и соответственно термодинамики, молекулярной физики, теории электричества и др. [c.210]

Важно, что существует класс распределенных систем, для которых нахождение вероятностных распределений (одноточечных, двухточечных и т. д.) может быть проведено в рамках сравнительно простого аппарата уравнений в частных, а не вариационных производных. В частности, это относится к классу систем (10.1), содержащих производные по пространственным переменным лишь 1-го порядка. Для таких систем, как увидим, вероятностные распределения удовлетворяют кинетическому уравнению в частных, а не вариационных производных, но большей размерности [68] (см. также [69]). Это, однако, становится затруднительным (если не невозможным) при включении в функцию Р в (10.1) зависимостей от производных д Р1да порядков к > 1. Отметим, что модели вида (10.1), содержащие лишь первые цроизводные от и по х, довольно типичны. Класс (10.1) включает, например, уравнения Гамильтона — Якоби, уравнения волн в приближении геометрической оптики и т. д. [c.148]

Такпм образом, 1 3 теоремы Остроградского — Якоби следует, что в том случае, если известен Юлн1з1Й интеграл уравнения Остроградского — Якоби, то перемен ые q и ру определяются как функции времени t и 2s произвольных постоянных а , о,. .., Pj, Ра, Ps ИЗ уравнений (139.3) и (139.4), представляющих собой ПО отношению к q, и р/ систему алгебраических уравнений. [c.384]

Для опредслер ия характеристической функции W заменим в этом выражении обобщенные импульсы частными производными от характеристической функции но соответствующим координатам и получим следующее уравнение Остроград-ского — Якоби [c.388]

В частном случае обобщенно консервативной системы гамильтониан Н является интегралом уравнений движения поэтому если некоторая функция f(q, р, 4 —интеграл уравнений движения, то ее первая, вторая и т. д. частные производные по времени также являются интегралами этих уравнений. Действительно, для таких систем в силу теоремы Якоби — Пуассона (/, Я) = = onst и из условия (30) следует, что [c.269]

Уравнение (154) и является уравнением Гамильтона — Якоби для консервативных (Я = —энергия системы) или обобщенно консервативных (Я — обобщенная энергия) систем. Таким образом, чтобы составить уравнение Гамильтона — Якоби для консервативной (обобщенно консервативной) системы, нужно просто записать закон сохранения энергии (обобщенной энергии) и в выражении энергии заменить все импульсы часинлми производными искомой функции V по соответствующим координатам. [c.333]

Это дифференциальное уравнение в частных производных называется уравнением Гамильтона — Якоби. Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных, которому должна удовлетворять производящая функция q .,. .., qs, ai, 2,. .., a.,, t) с основными перемои- [c.154]

В этом уравнении Гамильтона — Якоби функция г з является уже функцие s — k неизвестных. [c.160]

Как было показано в предыдущих параграфах, применение метода разделения переменных позволяет получить полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Однако этот меуод не всегда применим. Поэтому естественно заранее выяснить, при каком виде гамильтоновой функции (или отдельно кинетической и потенциальной энергий) возможно применение метода разде- [c.166]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...