Структура пуассонова

Применяемые в настоящее время методы расчета надежности устройств имеют существенные недостатки, в силу которых, как правило, расчетные значения критериев надежности значительно отличаются от экспериментальных. Обусловлено это тем, что расчеты в основном делаются в предположении возможности появления только внезапных отказов (грубых ошибок). Поток отказов принимается ординарным, без последствия, и обычно стационарным. В результате получается, что надежность деталей определяется пуассоновым законом распределения. Затем принимается, что отказ любой детали приводит к отказу всей машины. Тогда надежность машины легко выражается через надежность деталей. Однако известно, что потоки грубых отказов не всегда являются простейшими нарушается свойство ординарности несомненно, имеется последействие. Обязательно должны учитываться структура устройств и их назначение. Только анализ схемы устройства и вредных процессов может ответить [c.54]

В настоящее издание включено три новых добавления. Они отражают новое развитие геометрии систем лучей (теории особенностей и перестроек каустик и волновых фронтов, связанной с теорией групп, порожденных отражениями), теории интегрируемых систем (геометрической теории эллиптических координат, приспособленной для бесконечномерных обобщений) и теории пуассоновых структур (часто встречающихся в математической физике обобщений симплектических структур, отличающихся тем, что скобки Пуассона вырождаются). [c.6]

В настоящем добавлении перечислены простейшие элементарные свойства пуассоновых структур на конечномерных многообразиях. Но нужно иметь в виду, что в приложениях (особенно в математической физике сплошной среды) часто встречаются и пуассоновы структуры на бесконечномерных многообразиях. При этом, впрочем, размерности или коразмерности листов часто (хотя и не всегда) конечны. [c.422]

А. Пуассоновы многообразия. Пуассоновой структурой на многообразии называется структура алгебры Ли в пространстве гладких функций на нем (т. е. билинейная кососимметрическая операция скобки Пуассона функций, удовлетворяющая тождеству Якоби), такая, что оператор а(1о= а, (взятие скобки Пуассона с любой функцией с) является оператором дифференцирования по направлению некоторого векторного поля Гц. [c.422]

Классический (явно указанный С. Ли, 1890, но по существу рассматривавшийся уже Якоби) пример пуассонова многообразия — дуальное пространство (конечномерной) алгебры Ли. Элементы самой алгебры можно рассматривать как линейные функции на этом пространстве. Пуассонова структура определяется как продолжение структуры алгебры Ли с этого конечномерного подпространства пространства гладких функций (на дуальном исходной алгебре Ли пространстве) на все пространство гладких функций. Такое продолжение существует и единственно если <Й1,. . ., (о — базис исходной алгебры Ли, то [c.423]

Прямое произведение пуассоновых многообразий имеет естественную пуассонову структуру, в которой проекции на оба сомножителя пуассоновы (скобки Пуассона функций, перенесенных с разных сомножителей, нулевые). [c.424]

Здесь буквы означают пуассоновы структуры, которые в окрестности изучаемой особой точки записываются в подходящей системе локальных координат с началом в этой точке в виде х, у) = /, -где функция / дается следующей таблицей [c.426]

Таким образом, пуассоновы структуры общего положения в окрестности каждой точки приводятся к нормальным формам х, у = (неособая точка) или х, у = у (точка Л о)- В однопараметрических семействах общего положения встречаются ещ при отдельных значениях параметра структуры А ж, у — = 6 (ж У ), Ь фО в двупараметрических семействах А т и т. д. [c.427]

Замечание . В двумерном случае все пуассоновы структуры образуют линейное пространство, поэтому можно говорить [c.427]

Замечание 3. Параметры а, Ь в приведенной выше таблице — модули (непрерывно зависящие от структуры инварианты). Точнее говоря, структуры, эквивалентные данной, встречаются при изменении параметров лишь конечное число раз. Таким образом, уже в однопараметрических семействах общего положения на плоскости встречается континуум локально неэквивалентных друг другу пуассоновых структур. [c.427]

Г. Степени форм объема. Классификацию пуассоновых структур на плоскости можно рассматривать как классификацию диф- [c.427]

Пример. Пусть п = 2, р = —1 (пуассоновы структуры на плоскости). [c.431]

В этой ситуации невырожденное отображение периодов индуцирует на базе пуассонову структуру. Действительно, построенный выше изоморфизм кокасательного пространства базы с группой гомологий (снабженной кососимметрической формой пересечений) определяет билинейную кососимметрическую форму пары кокасательных векторов. Скобка Пуассона двух функций в точке определяется как значение этой формы на дифференциалах функций. [c.433]

Рис. 247. Пуассонова структура пространства многочленов

Возникающая из периодов пуассонова пространстве ласточкина хвоста может быть локально определена как структура общего положения среди обладающих следующим свойством линия самопересечения хвоста вся лежит в одном симплектическом листе. [c.434]

При вырождении формы пересечений симплектическая структура заменяется пуассоновой (см. добавление 13). [c.456]

А. В. Борисова и И. С. Мамаева Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике , в которой разобраны многие классические и современные задачи динамики точечных вихрей, а также дана их новая интерпретация с точки зрения современной алгебраической теории и топологических методов. Гидродинамическим аспектам теории вихрей посвящена книга Ф. Дж. Сэффмэна Динамика вихрей , вышедшая в 2000 году в издательстве Научный мир . В заключении следует подчеркнуть, что за прошедшие годы книга Пуанкаре не утратила своего значения, она по-прежнему остается весьма доступным и интересным введением в один из наиболее интересных и важных разделов гидродинамики. [c.7]

В общем случае приведенные четыре интеграла не инволютивны, поэтому простое их указание (даже всех четырех) не является доказательством интегрируемости системы. Гамильтониан Н и момент инерции I находятся в инволюции, третьим же интегралом в инволюции является - - Q . Таким образом, задача 3-х вихрей действительно является интегрируемой. Современное изложение данного вопроса можно найти в книге А. В. Борисова, И. С. Мамаева Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике . [c.72]

Наряду с классической скобкой Пуассона функций, встречаются более общие скобки (вырождающиеся). Типичный пример — скобка Пуассона функций от компонент М вектора кинетического момента, Р,С = дР дМ1) (дС дМ ) М1, М] . Такие вырожденные скобки можно рассматривать как семейства обычных скобок Пуассона функций на семействах силшлектических многообразий. Однако эти семейства, вообще говоря, имеют особенности (не являются расслоениями) они состоят из симплектических многообразий (листов) разных размерностей, соединенных менаду собой условием гладкости заданной вырожденными скобками пуассоновой структуры на пространстве — объединении. (В описанном выше примере листы — концентрические сферы и их центр.) [c.422]

Векторное поле называется тогда гамильтоновым полем с функцией Галшльтона а. Отображение а Га задает гомоморфизм алгебры Ли функций в алгебру Ли векторных полей. Многообразие, снабженное пуассоновой структурой, называется пуас-соновым многообразием. [c.422]

Таким образом, листы пуассонова многообразия четномерны, и его можно рассматривать как объединение симплектических многообразий (вообще разных размерностей), симплектические структуры которых согласованы условием гладкости объединяющей скобки Пуассона. [c.423]

Конструкция пуассоновой структуры на пространстве, дуальном алгебре Ли, приводит опять к алгебре Ли. Поэтому эту конструкцию можно повторять, получая все новые (бесконечномерные) пуассоновы структуры. Более общим образом, пусть дана какая-нибудь пуассонова структура на многообразии. Тогда пространство функций на этом многообразии получает структуру алгебры Ли. Значит, пространство, дуальное к пространству функций, наделяется пуассоновой структурой (как дуальное пространство этой алгебры Ли функций). Элементы пространства, дуального к пространству функций, интерпретируются как распределения на исходном многообразии. Таким образом, пространство распределений на пуассоновом многообразии (например, на сиьшлекти-ческом фазовом пространстве) имеет естественную пуассонову структуру. Эта структура позволяет применять гамильтонов формализм к уравнениям типа Власова, описывающим эволюцию распределения частиц в фазовом пространстве под действием поля, созданного самими частицами. [c.424]

Б. Пуассоновы отображения. Пусть даны два пуассоновых многообразия. Отображение первого во второе называется пуас-соноеым, если оно уважает пуассоновы структуры. А именно, для любой пары функций на втором многообразии их скобка Пуассона, после перенесения отображением на первое многообразие должна совпадать со скобкой Пуассона на первом многообразии перенесений самих исходных функций. [c.424]

A. Вейнстейн, ранее доказывавший аналогичный результат для формальных рядов, высказал гипотезу, что полупростота необходима для такой уничтожимости нелинейных членов ряда. Исследование особенностей пуассоновых структур на плоскости (а значит, и вообще структур коранга 2) приводит, однако, к другому выводу. [c.425]

B. Пуассоновы структуры на плоекости. С точки зрения дифференциальной геометрии пуассонова структура задается гладким бивекторным полем на многообразии. Действительно, скобка Пуассона в каждой точке сопоставляет число паре кокасательных векторов. Поэтому она является сечением расслоения внешних квадратов касательных пространств, т. е. бивекторным полем. [c.425]

Тождество Якоби означает своего рода замкнутость этого бивекторного поля. На двумерном многообразии это условие замкнутости всегда выполнено автоматически, так что любое гладкое бивекторное поле на плоскости задает пуассонову структуру. Это обстоятельство позволяет применять при классификации пуассо- [c.425]

НОВЫХ структур на плоскости обычные соображения общего поло-.жения (трансверсальность и т. п.). Через координаты х, у бивекторное поле выражается формулой f дx / ду), где / — гладкая функция. Соответствующая пуассонова структура определяется условием [c.426]

Пуассонову структуру на плоскости можно задать и дифференциальной 2-формой йх Д йylf. Эта форма, как и бивекторное доле, инвариантно связана с пуассоновой структурой, но имеет, в отличие от него, на кривой / = О полярную особенность. Листы в этом случае — точки кривой / = О и компоненты дополнения к этой кривой на плоскости. Точки кривой / = О называются особыми точками пуассоновой структуры. В окрестности неособой точки пуассонова структура на плоскости приводится к нормальной форме х, у) = 1. [c.426]

Начало иерархии особенностей пуассоновых структур на плос-жости в окрестности особой точки таково [c.426]

Теорема. Пуассонова структура на двумерном многообразии либо в окрестности каждой точки приводится к одной из нормальные форм предыдущей таблицы, либо принадлежит множеству коразмерности 8 в пространстве пуассоновыл структур. [c.426]

Замечание 2. Структура ж, у = у типа А — это стандартная пуассонова структура дуального пространства алгебры Ли группы аффинных преобразований прямой. Эта структура рассматривалась в 1965 г. в связи с изучением уравнений Эйлера левоинвариантной метрики на группе (в данном случае — метрики Лобачевского на полуплоскости), причем сразу же выяснилось, что она устойчива и локально эквивалентна любой структуре вида х, у = у +. . где точки обозначают нелинейные члены (с нулем выше первого порядка). Это (очевидное) наблюдение противоречит гипотезе А. Вейнстейна, согласно которой подобная линеаризуемость всех не содержащих линейных членов возмущений — признак линейных пуассоновых структур дуальных пространств полупростых алгебр Ли. [c.427]

Дроби в таблице можно было бы эаменить многочленами, но удобнее этого не делать. Числа модулей в знаменателях на единицу меньше чисел неприводимых компонент кривых / = 0. Такое совпадение не случайно. Инвариантами пуассоновых структур на плоскости являются вычеты, построенные по форме йх Д йy f (сначала строится форма-вычет на каждой компоненте, а потом ее вычет в нуле). Сумма вычетов, отвечающих всем компонентам, равна нулю. Поэтому число модулей на 1 меньше числа компонент. [c.427]

Соответственно бивекторное поле и пуассонова структура локально приводятся к виду [c.431]

Отображение периодов позволяет переносить на базу расслоения структуры, имеющиеся в пространстве (ко)гомолошй слоя. Пуассонова структура на базе возникает этим способом из формы пересечений в средних гомологиях слоя, когда эта форма кососимметрична. [c.432]

Варченко и Гивенталь заметили, что построенные таким способом по 1-формам общего положения пуассоновы структуры на дополнениях к дискриминантным многообразиям в базах нереальных деформаций критических точек функций двух переменных (если угодно, на дополнениях к волновым фронтам с типичными особенностями) голоморфно продолжаются на дискриминантное многообразие (волновой фронт). Мы ограничимся простейшим примером возникающих на этом пути пуассоновых структур. [c.433]

Можно предполагать, что и другие пуассоновы (в частности, симплектические) структуры на базах версальных деформаций особенностей, индуцированные из формы пересечений инфинитези-мально устойчивыми отображениями периодов, определяются естественными условиями на ранги ограничения пуассоновой структуры на страты дискриминанта (с точностью до сохраняющих бифуркационное множество диффеоморфизмов). Естественное условие в разобранном выше трехмерном примере состоит в том, что линия самопересечения ласточкина хвоста лежит в симплектическом слое. В четырехмерном пространстве аналогичную роль, видимо, играет условие лагранжевости многообразия многочленов с двумя критическими точками с критическим значением нуль в симплектическом пространстве многочленов ж 4- -Ь -Ь + ЯдЖ -Ь Я4. [c.434]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...