Уравнение в поперечно-изотропной среде

Если ось симметрии поперечно-изотропной среды совпадает с осью скважины, то единственный дополнительный фактор, который необходимо учесть прн описании осесимметричных волн, распространяющихся вокруг скважины, состоит в том, что (как и при описании плоских волн в поперечно-изотропной среде) решение уравнения движения является линейной комбинацией потенциалов Ф и if. [c.189]

Здесь наблюдается аналогия с соответствующими выражениями (2.58) в прямоугольных координатах. Используя выражения для ргг и /> ,. получим уравнение, аналогичное (5.62), ко с более сложными элементами. Использование этих соотношений при численном моделировании излучения от сосредоточенной силы в поперечно-изотропной среде приведено в гл, 6. [c.190]

В работе [32] приводится новая формулировка базового уравнения эйконала в лучевом приближении и изучении прохождения объемных волн через зону с высоким градиентом скорости в связи с решением задачи о рассеянии упругих волн в неоднородной среде. Полученная зависимость коэффициента отражения от частоты колебания подтверждена экспериментальными наблюдениями. Распространение объемных волн с фазовыми и групповыми скоростями в поперечно-изотропной среде исследовано в работе [24] на физических слоистых моделях, состоящих из листов фенолита и бумаги. В результате физического моделирования установлено различие фазовых и групповых скоростей, а также выявлены изменения поляризации, амплитуд и скоростей волн при их распространении в анизотропной тонкослоистой среде. [c.40]

Определенный интерес представляют некоторые предельные случаи волнового уравнения. В частности, при j,( = fXm, Pf = Pm, т. e. для случая однородной изотропной среды, частотное уравнение упрощается и решениями его являются известные частоты продольных и поперечных волн в неограниченной изотропной среде. При стремлении к нулю, т. е. для волн бесконечной длины, левая часть частотного уравнения распадается на два [c.367]

Из уравнений (1.36), (1.37) следует, что в вязкоупругой изотропной среде, проявляющей мгновенную упругость, любое возмущение можно разложить на две волны — продольную и поперечную, передний фронт которых распространяется со скоростями а и Ь упругих волн соответственно. [c.13]

Правда, с одним случаем появления кратных корней при данной поляризации приходится столкнуться уже в простейшей задаче о распространении поперечных волн в непоглощающей изотропной среде. Волновое уравнение при этом имеет вид [c.76]

Уравнения движения. Понятия напряжения и деформации и терминология, установленная для изотропных твердых тел, применимы без изменений к анизотропным твердым телам так же, как и уравнения движения, выраженные через напряжения, согласно уравнению (2.3). Но изменяется связь между напряжениями и деформациями- Согласно закону Гука в его наиболее общей форме каждая компонента напряжения зависит линейно от каждой компоненты деформации, а константы пропорциональности интерпретируются как упругие константы. Для изотропной среды имеются только две независимые константы. В случае поперечно-изотропной среды закон Гука содержит пять независимых констант. Если для них использовать обозначения Лява, то связь напряжения и деформации запишется так [c.46]

Можно также доказать, что других волн, отличных от продольных и поперечных, в безграничной однородной изотропной среде не возникает однако в случае, когда тело имеет границы, возможно возникновение волновых движений, отличных от тех, которые описываются уравнениями (2.368), (2.370), и обладающих весьма интересными физическими свойствами. [c.104]

Применение теории случайных блужданий к диффузии атомов в твердых телах приводит к уравнениям, аналогичным первому и второму законам Фика. А. Фик для качественного метода расчета диффузии использовал уравнения теплопроводности, выведенные Фурье. При этом он исходил из гипотезы, что в изотропной среде количество / диффундирующего вещества, проходящее за единичное время через единичную площадь поперечного сечения, пропорционально градиенту концентрации С, измеряемому по нормали к этому сечению [c.204]

В изотропной среде количество диффундирующего вещества, проходящее в единицу времени единичную площадь поперечного сечения, пропорционально градиенту концентрации, измеряемому по нормали к этому сечению (первое уравнение Фика) [23] [c.74]

Решение различных задач о распространении С. может быть осуществлено при помощи уравнения (3) при соответственном задании граничных и начальных условий. В частности из уравнения (3) выводятся вспомогательные принципы оптики, принцип Гюйгенса, принцип Ферма, принцип прямолинейного распространения С. для однородной среды и различные другие положения геометрической оптики (см. Гюйгенса принцип, Ферма принцип). Явления, наблюдаемые при отражении, рассеянии, распространении С. в анизотропных средах, доказывают для всей шкалы светового спектра поперечность световых возмущений (см. Поляризация света). Световые колебания в изотропной среде происходят в плоскости, перпендикулярной к линии распространения. Свойства электромагнитных волн, излучаемых искусственными электрическими системами—радиостанциями (см.), вибраторами Герца (см.),— вполне совпадают с перечисленными свойствами С., т. е. распространяются с той же скоростью, поперечны и описываются ур-ием (3). На этом основании и по косвенным подтверждениям, получаемым из явлений взаимодействия С. и вещества, можно утверждать, что природа любых световых волн электромагнитная. При этом световой вектор, определяющий действия С. на вещество, есть вектор электрический, что доказано опытами со стоячими световыми волнами при фотохимическом действии (Винер) и при возбуждении флуоресценции (Друде и Нернст). [c.146]

Исследуем теперь собственные длинноволновые оптические колебания ионов (т. е. колебания без внешних сил), соответствующие определенному значению к В изотропной среде такие колебания подразделяются на продольные г А и поперечные L к. Если не учитывать запаздывания взаимодействия, переносимого поперечным электрическим полем Et, то при поперечных колебаниях = 0 и уравнение движения [c.61]

Макроскопическая теория поляритонов в изотропных средах может быть развита, если при исследовании поперечных колебаний ионов в уравнениях (11.7) и (11.4) мы сохраним поперечное поле [c.64]

Представляется очевидным, что в бесконечно длинном теле под влиянием заданной указанным образом нагрузки, все поперечные сечения находятся в одинаковых условиях, а поэтому напряжения и перемещения (если пе считать жестких смещений) в нем не меняются вдоль образующей, т. е. зависят только от двух координат х и г/. В теле изотропном или в анизотропном, у которого в каждой точке существует плоскость упругой симметрии, нормальная к образующей, поперечные сечения остаются плоскими, или, иначе, деформация является плоской. Если же плоскости упругой симметрии имеются, но среди них нет параллельных ху, и тем более в общем случае анизотропии, деформация уже не будет плоской (так как нельзя удовлетворить всем уравнениям и условиям теории упругости, приняв IV = 0) поперечные сечения будут искривляться, но все одинаково. Такого рода деформацию, в отличие от плоской (или чисто-плоской), мы называем обобщенной плоской . [c.132]

Отметим также, что в одноосных кристаллах, когда вектор к направлен вдоль оптической оси, уравнение для частот ш (А) сохраняет вид (10.20), причем соответствующие механические экситоны являются поперечными, поляризованными по кругу волнами — волнами поляризации . При этом имеется также решение, соответствующее продольной волне. Однако уже при малом отклонении к от направления оптической оси линейные по к слагаемые в выражении для частот нормальных волн исчезают. Если в выражении (10.20) опустить квадратичные по к слагаемые, то оставшееся выражение для частот (в к) с точностью до линейных по к слагаемых оказывается пригодным как для изотропной среды, так и для кубических кристаллов, которые в этом приближении являются полностью изотропными. [c.251]

Феноменологическая теория, исходящая из предположения, что диффузия протекает в результате градиента концентраций, была разработана Фиком, взявшим за основу уравнения теплопроводности, выведенные Фурье. Уравнения Фика являются простейшими в описании процессов диффузии при постоянной температуре. Они не учитывают механизм перемещения атомов диффундирующего элемента. Фик исходил из гипотезы, что в изотропной среде количество диффундирующего вещества т, проходящее в единицу времени через единицу площади поперечного сечения, пропорционально градиенту концентрации, измеряемому по нормали к этому сечению [31] [c.96]

Рассмотрим распространение плоской гармонической поперечной поверхностной волны вдоль границы двух однородных изотропных идеально упругих сред — твердого полупространства и твердого слоя толщины h (см. рис. 1.7). И в слое (индекс 1), и в полупространстве 2 0 (индекс 2) единственная отличная от нуля компонента смещения в волне f/y должна удовлетворять уравнению движения (1.27) (с соответствующими значениями р, ц). Будем искать решения для f/y в виде следующей совокупности плоских волн, синфазно распространяющихся [c.23]

Поток энергии. Перед выводом уравнений (2.10) и (2.15) мы отметили, что для плоских продольной и поперечной волн в изотропной твердой среде направление потока энергии перпендикулярно к фазовому фронту и что скорость переноса энергии такая же, как фазовая скорость. Для анизотропных сред эти две скорости отличаются как по величине, так и по направлению. В литературе упоминается несколько способов вычисления скорости переноса энергии для плоской волны с любой заданной фазовой скоростью. Один из ранее применявшихся способов базировался [c.50]

Обратимся сначала к вопросу о поперечности электромагнитных волн, распространяющихся вдоль оси Z в безграничной изотропной среде свободных). Из первой строки уравнений Максвелла (1.14) следует, что onst и = onst. Эти соотношения указывают на постоянство составляющих векторов D и В вдоль оси Z во всех точках пространства. [c.21]

Если при рассмотрении соотношений (2.58) предположить, что ргг действует в комбинации с нормальным напряжением в двух перпендикулярных направлениях, обеспечивающих равенство вхх и вуу нулю, то третье уравнение в (2.58) сводится к рц=Се1г- Таким образом, введенная здесь константа для тонкослоистой среды отвечает упругой константе С для эквивалентной поперечно-изотропной среды. Используя черту сверху для обозначения средних свойств, выразим эту упругую константу тонкослоистой среды через упругие свойства ее изотропных составляющих [c.57]

Эти значения Гi7t могут быть подставлены в уравнение (1.6) и тем самым получено полное уравнение Грина-Кристоффеля для поперечно- изотропной среды. Собственные значения тензора Кристоффеля определят три независимых решения [c.30]

Впервые качественный метод расчета диффузии дал Фик, использовав для этого уравнения теплопроводности, выведенные Фурье. Фик исходил из гипотезы, что в изотропной среде количество Q диффундирующего вещества, переходящего за единицу времени через единицу площади поперечного сечения, пропорционально градиенту концентрации, измеряемому по нормали к этому сечению Q = —Одс1дх, где Ь — коэффициент диффузии с — концентрация диффундирующего вещества х — координата, Приведенное соотношение называется первым законом Фика. [c.138]

Теория упругости, развитая Пуассоном и Коши на базе принятой тогда гипотезы материальных точек, связанных действием центральных сил, была применена ими, а также Ламе (Lame) и Клапейроном ( lapeyron) к ряду проблем о колебаниях и об упругом равновесии таким образом была создана возможность экспериментальной проверки следствий из этой теории однако прошло немало времени, пока надлежащие эксперименты были поставлены. Пуассон применил теорию к изучению распространения волн в неограниченной упругой изотропной среде. Он нашел два типа волн, которые на большом расстоянии от источника возмущения можно считать соответственно продольными и поперечными из его теории вытекало, что отношение скоростей распространения этих двух типов волн равно 1 ). Коши применил свои уравнения к вопросу о распространении света как кристаллических, так и в изотропных телах. Эта теория в ее приложении к оптике вызвала возражения Грина (Green) с ее статической стороны она позже оспаривалась Стоксом Грин не был удовлетворен гипотезой, которая лежала в основе теории, и искал другого обоснований критика Стокса относилась скорее к процессу дедукции и. к некоторым частным результатам. [c.24]

При 0 = 0 4sg6 = 1. Соответствующее уравнение впервые получено Стоунли [121]. В изотропной среде Т1 = 1, 4 8б = 1, So — St — скорости поперечных волн. Учитывая, что ц = Сц/2 (сц + + ia). ( 11 — 1г)/ 11 = i/ b И возводя обе части (2.37) в квадрат, приходим к обычному уравнению (1.9) для скоростп рэлеевских волн в изотропной среде. [c.108]

Как уже отмечалось, применение закона, Гука к однородному изотропному упругому телу предполагает, что среда обладает одинаковой сопротивляемостью в любом направлении. Этим свойством в действительности обладают упругие тела, все три размер-ности которых имеют примерно одинаковый порядок, и то, вообще говоря, в достаточном отдалении от границы (к таким телам относятся, например, шар, куб, цилиндр конечных размеров и т. п.). В таких телах две одинаковые системы сил, действующие в разных направлениях, вызывают в каждом направлении деформацию одинакового характера. Это свойство, как правило, в случае тонких оболочек глобально не соблюдается. Простые эксперименты показывают, что степень сопротивляемости деформации тонких оболочек, обычно применяемых в технических конструкциях, в поперечном направлении явно слабее, чем в продольных направлениях. Например, всякое тонкое упругое тело сравнительно легко гнется и изгибается. Приложенные к таким телам продольные силы сжатия, если они по величине превосходят некоторое критическое значение, могут вызвать изгибания конечного порядка, хотя деформации в продольных направлениях остаются бесконечно малыми. В связи с этим следует заметить, что изгибные деформации часто осуществляются под действием продольных сил. Действие поперечных сил, очевидно, вызывает кроме изгибгяий также деформацию в продольных направлениях, но, как правило, бесконечно малые продольные растяжения и сжатия. Иначе говоря, тонкие упругие оболочки являются гораздо более гибкими относительно изгибаний и менее податливы растяжениям и сжатиям в продольных направлениях. Благодаря этому часто вовсе пре-небрегают последними и составляются уравнения, определяю- [c.153]

Г№2Г,Г5Гб- , 1-Г2Г ГзФ. 0. (8) Здесь X можно рассматривать как эффективный упругий модуль анизотропной среды в заданном направлении. Решение уравнения (8) можно получить в тригонометрической форме. Из этого уравнения следует, что в кристаллах могут распространяться три объемные волиы с одинаковым направлением волнового вектора, но разными фазовыми скоростями. Поляризация этих волн определяется из уравнений (6) и в общем случае не является ни продольной, ни поперечной. Совершая в уравнении (8) предельный переход к изотропной среде, несложно показать, что скорость одной из волн совпадает со скоростью продольной волны, а двух других—со скоростью поперечной. Соответствующим образом, как следует из уравнения (6), ведут себя и поляризации. Поэтому "быструю" волну в кристаллах (имеющую максимальную фазовую скорость) принято называть квазипро-дольной, а две другие волны— квазипоперечными. Скорость и поляризация объемных волн в кристаллах согласно (8) и (6) от частоты не зависят, поэтому приведенное решение применимо и для негармонических воли. [c.212]

Уравнения (3.4) и (3.5) описывают изменения гармонических амплитуд сдвиговых колебаний, прошедших образец, изготовленный из среды, проявляющей поперечно-изотропную симметрию упругих свойств и эффект линейной анизотропии поглощения, соответственно в первом случае, когда векторы поляризации излучателя и приемника параллельны, а во втором, - скрещены под углом 90". При проведении экспериментальных наблюдений ЭЛАП измерения амплитуды огибающей сумарного колебания удобнее всего осуществлять на входе приемного преобразователя. При наличии эффекта амплитуда огибающей в положении ВП, уравнение (2.13), с учетом множителя (3.2) будет равна [c.45]

Среда, в которой оба условия удовлетворяются одновременно, не может быть пьезоэлектрической, так как обладает центром симметрии. В качестве примера можно привести распространение ПАВ в направлении кристаллографической оси вдоль базовой плоскости непьезоэлектрического кристалла с кубической симметрией. В этом случае решение уравнения (6.8) распадается на две независимые части. Составляющая иг приводит к появлению объемной поперечной волны, которая удовлетворяет граничным условиям на поверхности. Из второй части решения получим две константы Ь " которые в отличие от изотропной среды не обязательно будут располагаться на отрицательной мнимой оси, так как 2с44 сц - С12. Действительные части констант приводят к осциллирующей амплитуде смещения, в то время как мнимые части характеризуют затухание. [c.275]

Из (8.43) следует, что компонейта смещения из" должна удовлетворять однородному волновому уравнению, но поскольку из"(0) t) = О, очевидно, что щ" = О, т. е. при распространении лоперечной волны в изотропном твердом теле не генерируется поперечная вторая гармоника. Этот результат физически довольно очевиден, так как при распространении поперечных волн не изменяется плотность среды и в изотропном твердом теле упругие напряжения при сдвиговых деформациях не зависят от знака деформации. Последнее, в частности, проявляется в том, что для плоских волн внутренняя энергия (8.13) является четной функцией сдвиговых компонент тензора деформации. По этой же причине две поперечные волны, распространяющиеся в одном направлении, не будут взаимодействовать. [c.316]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...