Теорема Гельмгольца уравнения

Теорема Гельмгольца — Кирхгофа. Распространение световых волн в свободном пространстве описывается уравнением (2.12). Полагая в случае монохроматических волн [c.213]

Теорема Лагранжа о безвихревом движении жидкости и теорема Гельмгольца о сохранении вихрей справедливы при предположениях, что жидкость идеальна, баротропна и массовые силы консервативны. Вопрос о том, к чему приводит отказ от предположения об идеальности жидкости, будет рассмотрен в дальнейшем. В этом параграфе будет показано, что если жидкость не баротропна или массовые силы не консервативны, то вихри даже в идеальной жидкости могут возникать и уничтожаться. При доказательстве теоремы Томсона было получено равенство (1.6). Учитывая уравнения Эйлера, описывающие движение идеальной жидкости [c.221]

Уравнения (5.11), (5.12) впервые были получены Гельмгольцем. Теоремы Гельмгольца можно доказать исходя из уравнения [c.224]

На основании теоремы Фридмана мы можем утверждать, что для сохраняемости вихрей необходимо и достаточно, чтобы правая часть уравнения Гельмгольца обратилась в нуль. Отсюда, как следствие, получается теорема Гельмгольца. [c.623]

Другие доказательства теоремы Гельмгольца. Доказательство Гельмгольца. Гельмгольц вывел свою теорему, применяя соотношение (15), полученное выше, и используя уравнения Эйлера. [c.26]

Ряд разделов содержит новые результаты или более совершенное изложение известных работ. В особенности отметим следующие разделы изложение вариационных принципов (п. 14, 15, 24 и 47), теорию динамического подобия (п. 36 и 66), теорию тензора напряжений (п. 59), энергетический метод (п. 73), обобщение теоремы Гельмгольца — Рэлея (п. 75) и некоторые новые формулы и уравнения, например (29.9), [c.7]

При отсутствии второго члена в правой части этого уравнения из него следовали бы теоремы Гельмгольца. Этот член показывает, однако, что неоднородное поле энтропии вызывает диффузию завихренности и вследствие этого нарушается четкая картина переноса завихренности, устанавливаемая теоремами Гельмгольца. [c.118]

Вихревое поле (129). Теоремы Гельмгольца о вихревых трубках (130). Теорема Гельмгольца (о разложении поля скоростей сплошной среды в окрестности точки) (132). Деформация частицы сплошной среды (133). Закон изменения масс и уравнения непрерывности (136). [c.7]

А. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ВИХРЕЙ И ТЕОРЕМЫ ГЕЛЬМГОЛЬЦА О СОХРАНЕНИИ ВИХРЕЙ [c.144]

Теорема Томсона. В 1858 году Гельмгольц в своем знаменитом мемуаре установил дифференциальные уравнения для вектора вихря 2, нз которых он вывел фундаментальные теоремы о сохранении вихревых линий и интенсивностей вихревых трубок. Впоследствии теоремы Гельмгольца были иным путем доказаны В. Томсоном. Метод [c.147]

Уравнения (67) и (69) можно рассматривать как обобщение известной теоремы Гельмгольца на задачи теории теплопроводности. Если функция и ( ) известна, то функцию а можно определить из первого уравнения (59), [c.132]

Теперь убедимся в том, что нестационарное поле скорости V, подчиненное уравнениям (11.56) и (11.62), является потенциальным полем, также удовлетворяющим волновому уравнению. С этой целью воспользуемся теоремой Гельмгольца, согласно которой векторное поле, в частности поле скорости, может быть представлено в виде суммы потенциального и соленоидального полей. Поэтому доложим [c.506]

Теперь покажем, что уравнение движения (13.49) (или (13.50)) может быть сведено к системе двух уравнений, из которых одно описывает распространение продольной упругой волны со скоростью Сь а другое — распространение поперечной упругой волны со скоростью С2. Согласно теореме Гельмгольца о представлении векторного поля в виде суммы потенциального и соленоидального лолей (см. (11.65) —(11.67)), положим [c.562]

Левая часть уравнения (1) играет большую роль в вопросах кинематики векторных трубок, которые не подчиняются теоремам Гельмгольца, так же как и в вопросах, которые относятся к условиям динамической [c.20]

Следовательно, уравнения (8) выражают обе теоремы Гельмгольца для несжимаемой жидкости. [c.189]

Уравнение динамической возможности движения можно положить в основу доказательства теоремы Гельмгольца о сохраняемости вихревых линий в потоке идеальной несжимаемой жидкости при наличии консервативного поля объемных сил. [c.114]

Это уравнение выражает теорему Гельмгольца о постоянстве вдоль вихревой трубки ее интенсивности. Из этой теоремы вытекает свой-ство вихревой трубки, заключающееся в том, что она не можеТ внезапно оборваться или закончиться острием. ]. Последнее обусловлено тем, что при площади сечения трубки угловая скорость вращения (о стремилась бы в соответствии с теоремой Гельмгольца к бесконечности, что физически нереально. , [c.86]

Движение частицы жидкости в поле п точечных вихрей описывается уравнениями (2.1). Согласно теореме Гельмгольца—Томсона, вихри вморожены в идеальную жидкость и их интенсивности не меняются со временем. Следовательно, движение самих вихрей можно описать системой дифференциальных уравнений [c.26]

Таким образом, если Q wi t), W2 t)) обращается в нуль при i = О, то эта функция тождественный нуль для всех значений t. Следовательно, вихревые векторы замкнутой 2-формы fi вморожены в поток системы (6.5). Отсюда, в свою очередь, вытекает обобщенная теорема Гельмгольца—Томсона поток системы дифференциальных уравнений (6.5) переводит вихревые многообразия в вихревые многообразия. [c.144]

Учитывая, что контуры L,,, согласно теореме Гельмгольца, являются жидкими и скорость их частиц совпадает с наведенной скоростью, получаем динамические уравнения, описывающие эволюцию точек X., на внешней границе [c.61]

Течения вязкой несжимаемой жидкости отличаются тем свойством, что теорема Гельмгольца о сохранении вихрей, справедливая для идеальной жидкости, не выполняется. В вязкой жидкости вихрь не может сохраняться бесконечно долго. За счет работы сил внутреннего трения вихрь диффундирует в объем жидкости. Уравнения движения вязкой жидкости обладают свойством выравнивания со временем значений завихренности в различных точках пространства. При обтекании тела потоком вязкой несжимаемой жидкости интеграл от завихренности по всему пространству остается постоянным во все моменты времени. Суммарный поток завихренности от границы тела постоянен и равен нулю. [c.70]

В общем случае пространство конфигураций не имеет ничего общего с реальным физическим пространством. Однако пространство конфигураций одной частицы совпадает с физическим пространством. Различные траектории в пространстве конфигураций представляют собой траектории самой частицы, относящиеся к разным начальным условиям. Эти траектории могут также рассматриваться как линии тока так называемой идеальной жидкости , т. е. физической жидкости (необязательно несжимаемой), которая не обладает вязкостью и имеет постоянную температуру. На частицы такой жидкости действуют, конечно, силы со стороны окружающих частиц, но из гидродинамических уравнений Эйлера видно, что эти силы имеют потенциал и эквивалентны некоторой внешней моногенной силе. Следовательно, выполняются условия применимости принципа Гамильтона, и линии тока движущейся жидкости совпадают с линиями тока в пространстве конфигураций, к которым применима теорема о циркуляции. Мы получаем таким образом теорему Гельмгольца о циркуляции, которая утверждает, что [c.213]

Основные уравнения движения идеальной жидкости. Уравнение Гельмгольца — Фридмана и теорема сохранения вихрей [c.88]

Так как сечения 1 и 2 взяты произвольно, то в общем виде для данного момента времени можно написать уравнение мо = onst, которое применимо для всех сечений одной и той же трубки. Таким образом, теорема Гельмгольца доказана. [c.60]

Представим себе текучую среду в виде жидкости вихревой структуры, т. е. совокупность вихревых шнуров, движущихся поступательно. Известно, что решение уравнения Эйлера для вихревых течений приводит к теореме Гельмгольца о сохранении вихревых линий. Однако этот вывод находится в противоречии с опытом. На основе уравнения Эйлера нельзя объяснить процесс возникновения и исчезновения вихрей. Решения Навье —Стокса объясняют процесс затухания вихрей, а не процесс их образования. Поэтому возникает проблема обобщения уравнения Навье—Стокса. Впервые на это обратил внимание Н. П. Кастерин [Л.1-18]. Он предложил вихревую модель жидкости. [c.49]

I AS при низких темп-рах очень мал, особенно в реакциях с участие.м конденсированных фаз. На этом основано правило Бертло, согласно к-рому теплота реакций, иду цих самопроизвольно, положительна. Однако когда преобладает член ТА S, jto правило несправедливо и реакция может быть эндотермической. Теорема Нернста состоит в предположении, что при стремлении абс. 1емп-ры к нулю обращается в нуль ие только TAS, но и Л. S . Отсюда с использованием Пюоса — Гельмгольца уравнения следует, что обраи1аются в нуль теплоёмкости при пост, давлении Ср и пост, объёме Су. [c.165]

Основываясь на аналогии между уравнениями для упругого тела в состоянии равновесия и для вязкой ньютоновской жидкости в установившемся стоксовом течении, Хилл и Пауэр [16] вывели два экстремальных принципа. Стьюарт [28] обсудил эти взаимно дополняющие вариационные принципы и применил их к проблеме ламинарного течения в однородных каналах. Эти теоремы ограничивают диссипацию энергии в данной краевой задаче с обеих сторон, т. е. в интервале между верхним и нижним пределами, соответствующими произвольному выбору допустимых функций. Одна такая функция, которая доставляет верхний предел, определяется по теореме Гельмгольца. Для нижнего предела напряжения должны быть такими, как если бы они были результатом действия на тело конечной силы, или пары сил, или обоих факторов вместе. Многочисленные применения приведены в работе [16], включая случай поступательного движения сферы в неограниченной среде, где для иллюстрации показано, что справедливы неравенства [c.113]

Наконец, упомянем книгу В.А. Фока Механика снлоганой среды (Кубуч, Ленинград, 1932), в которой последняя глава посвягцена гидро- и аэромеханике (уравнения движения, теоремы Гельмгольца, нотенциальное течение, уравнения движения вязкой жидкости). [c.126]

Не всякое произвольно заданное поле скоростей удовлетворяет уравнениям гидродинамики, — другими словами, не всякое поле скоростей дает возможность определить по нему, пользуясь уравнениями гидродинамики, давление и удельный объем (или плотность) как функции координат и времени. Фридман вы-эажает этот факт следуюгцими словами не всякое кинематическое движение есть движение динамически возможное. Для того чтобы последнее имело место, между кинематическими элементами движения должны сугцествовать некоторые соотногаения. Например, в случае несжимаемой жидкости в качестве условий динамической возможности движения мы получаем известные соотногаения, нриводягцие к двум основным теоремам Гельмгольца о вихрях Обгций метод для вывода необходимых условий динамической возможности движения, указанный Фридманом, заключается в исключении давлений и удельного объема из уравнений гидромеханики, после чего и получаются нужные соотногаения между кинематическими элементами. Необходимое условие динамической возможности движения в случае сжимаемой жидкости требует ортогональности динамического градиента — [c.144]

Для сферических волн доказан ряд теорем, которые можно трактовать как обобщение на задачи термоупругости теоремы Гельмгольца для эластокинетики и аналогичной теоремы теории теплопроводности ). Суть этой теоремы такова. Дана система уравнений [c.786]

Это уравнение эквивалентно теореме Гельмгольца — Лагранжа в обычной оптике, поэтому оно называется формулой Гельмгольца — Лагранжа. Заметим, что (4.65) остается справедливым и для непараксиальных лучей, если только заменить тангенсы на синусы в (4.61) соотношение Аббе). Очевидно, что для малых углов оба выражения дают один и тот же результат. [c.195]

Выражение, стоящее в левой части равенства (1), имеет большое значение как в вопросах о кинематике векторных линий, не подчиняющихся теоремам Гельмгольца, так и в вопросах об условиях динамической возможности движений сжимаемой жидкости. Обозначив левую часть уравнения (1) особым символом helm А- [c.14]

Это свойство позволяет, как увидим ниже, сразу доказать обе теоремы Гельмгольца для несжимаемой жидкости. Обозначая через со удельный объем (со = 1/р) и через F — внешнюю заданную силу, действующую на единицу массы данной жидкой частицы, можем уравнения гидродина- [c.14]

Первая теорема Гельмгольца, как известно, состоит в том, что частицы жидкости, находящиеся в какой-то момент времени на вихревой линии, остаются на ней и во все последующее время. Вторая теорема утверждает, что интенсивность вихревой трубки со временем не изменяется. Необходимые и достаточные условия того, чтобы обе теоремы Гельмгольца имели силу для векторных трубок или векторных линий в поле вектора А при скорости В, впервые установлены Зоравским (Zorawski) и Бьеркнесом (Bjerknes) . Эти условия вытекают из уравнения [c.20]

Теорема 5 — многомерный аналог знаменитой теоремы Гельмгольца—Томсона о вмороженности вихревых линий. При ее доказательстве использовалось уравнение (4.3) и свойство замкнутости формы fi. Поэтому теорема 5 включает в себя также теорему о вмороженности магнитных линий из магнитной гидродинамики (см. 1 гл. I). [c.125]

Как мы видели, если rank(rottt) постоянен и равен 2к, то конфигурационное многообразие М" расслоено (и — 2й)-мерными вихревыми многообразиями N. Отождествляя точки, лежащие на одних и тех же связных компонентах вихревых многообразий, приходим к 2й-мерному фактор-пространству M/N. Обобщенная теорема Гельмгольца—Томсона позволяет корректно определить на M/N фактор-систему, которая также имеет вид уравнений Ламба с невырожденной матрицей ротора (уравнения (4.11) главы II). [c.207]

Используем общие определения параграфа 2 применительно к векторному соленоидальному полю завихренности и. Тогда из общих свойств векторных полей на основании теоремы Стокса (1.8) следует, что циркуляция Г по любому замкнутому стягиваемому контуру равна алгебраической сумме интенсивностей к всех вихревых трубок, пересекающих поверхность, ограниченную этим контуром. Это справедливо и в частном случае вихревых трубок бесконечно малого поперечного сечения — вихревых нитей. Обратим внимание на то, что понятие вихревая нить и вихревая линия отличны. Вихревая нить — это особая линия в распределении поля завихренности, полностью определяемая значением интенсивности к. В свою очередь — вихревая линия — это линия, касательная к которой в каждый момент времени совпадает с направлением мгновенной оси вращения жидких элементов. Применительно к описанию вихревого движения термины вихревые линии и нити ввел Г. Гельмгольц в (135). Он сформулировал основные свойства интегралов гидродинамических уравнений второго класса (так были названы течения, содержащие отличную от нуля завихренность в отличие от полностью потенциальных течений, весьма детально к тому времени изученных). Сформулированные в виде трех положений, эти свойства в дальнейшем названы законами или теоремами Гельмгольца для в 1хревого движения. Более столетия они встречаются в различных интерпретациях практически во всех учебниках по механике жидкости. Приведем эти законы в формулировках Г. Гельмгольца [c.34]

Общее решение уравнения (2.12.1) можно найти при помощи понятия потенциала. Согласно знаменитой теореме Гельмгольца из векторного анализа, всякое векторное поле и, достаточно быстро затухающее в бесконечности, можно представить в виде суммы невращательного (или безвихревого) и соленоидального (бездивергентного) полей [c.139]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...