Навье—Стокса уравнения линеаризованные

Решение линеаризованной системы уравнений Навье—Стокса для такой конфигурации имеет вид [108] [c.300]

Изложение в данной книге почти целиком основано на линеаризованной форме уравнений движения, которая вытекает из уравнений Навье — Стокса при отбрасывании инерционных членов в результате получаются уравнения так называемого ползущего течения, или уравнения Стокса. Такой подход равносилен допущению, что числа Рейнольдса, подсчитанные по диаметру частиц, очень малы. Во многих случаях, когда течение смеси в целом по отношению к внешним границам характеризуется большими числами Рейнольдса, все же можно говорить о малости чисел Рейнольдса для движения частиц относительно жидкости. Кроме того, инерционные эффекты менее существенны в системах, состоящих из группы частиц в ограниченной жидкой среде, нежели при движении одиночной частицы в неограниченной жидкости. [c.9]

Гидродинамика вязкой жидкости развивалась в XX в. по нескольким в значительной степени независимым направлениям. С одной стороны, изучалась полная система уравнений Навье Стокса и ее свойства, был найден ряд точных решений и получены некоторые общие теоремы. С другой стороны, в целях изучения прикладных задач развивались методы решения различным образом усеченных и, в первую очередь, линеаризованных уравнений Навье — Стокса, приспособленных для специфических задач (в частности, приближение гидродинамической теории смазки, линеаризация В. Озеена), также методы численного решения полной системы уравнений. Наконец, в XX в. был заложен новый раздел гидродинамики вязкой жидкости — теория пограничного слоя — и продолжала развиваться обособленная область -гидродинамики — теория турбулентности. [c.294]

Предложенный метод Ы 1) идентичен методу Чепмена — Энскога вплоть до приближения Навье — Стокса. Дальнейшие приближения аналогичны разложению Гильберта существенными отличиями будут только следующие вместо линеаризованного оператора Эйлера входит линеаризованный оператор Навье — Стокса полная система уравнений сохранения выписывается на каждом втором (а не на каждом) шаге. [c.132]

По аналогии с уравнением Лапласа и тепловой задачей, рассмотренной в 1, собственные решения линеаризованной системы уравнений Навье — Стокса (11) можпо назвать гидродинамическими мультиполями, а разложение решения задачи по ее собственным функциям соответственно мультипольным. [c.280]

Асимптотическое поведение неавтомодельных струй в целом определяется полученными в 2 собственными решениями W, q уравнений Навье — Стокса, линеаризованных относительно точного автомодельного решения (1.1), (1-2), полученного Ландау, [c.308]

Линейная задача устойчивости равновесия формулируется следующим образом. Возмущения скорости обеих жидкостей удовлетворяют линеаризованному уравнению Навье-Стокса и уравнению непрерывности [c.20]

Подстановка разложений (3.135) в уравнения Навье-Стокса и совершение предельного перехода при е О показывают, что в первом приближении течение в области I описывается линеаризованными уравнениями Эйлера [c.125]

Здесь опять индексом 20 отмечены распределения функций течения в невозмущенном пограничном слое в точке, где находится неровность. Подстановка разложений (8.105) и (8 Л 06) в уравнения Навье-Стокса и совершение предельного перехода при Моо оо, 6 О, X Ои(5 <С > (5 показывают, что в первом приближении течение в области 3 описывается линеаризованными уравнениями пограничного слоя Прандтля, а в области 2 — линеаризованными уравнениями Эйлера [c.406]

Подстановка разложений (8.146) в уравнения Навье-Стокса и совершение предельного перехода при е О и <С 6 показывают, что в первом приближении течение в области 2 опять будет описываться линеаризованными уравнениями Эйлера, из которых получается [c.415]

С математической стороны вопрос сводится к интегрированию известного уравнения Рейнольдса, выводимого из линеаризованных уравнений Навье — Стокса путем их осреднения по нормальным сечениям зазора между поверхностями. [c.512]

Асимптотика [173] верхней и нижней ветвей нейтральной кривой устойчивости пограничного слоя уточняется в [51, 174, 175], где на основе линеаризованных уравнений Навье-Стокса предпринят анализ высших приближений по числам Рейнольдса Ке. Нейтральные возмущения в пределе Ке —> имеют длины волн, превышающие по порядку величин толщину пограничного слоя. [c.55]

Зависящие от переменных х, Y функции Uq, Vq, Pq, Rq, Tq описывают невозмущенное ламинарное течение в пограничном слое, где Ущ = 0 ). Считая возмущения указанных функций й,и, р, р,Т малыми, будем искать их из линеаризованных уравнений Навье-Стокса. Что касается основного потока, то при Re —> с точностью до величин порядка Re- /2 функции Uq, Vq, Rq, Tq можно полагать удовлетворяющими системе уравнений пограничного слоя, причем на его внешнем крае [c.113]

Функции м, V, р,р в (6.1.3), зависящие от вертикальной координаты, находятся из линеаризованных уравнений Навье-Стокса. Заменяя комплексную частоту ш параметром с =-(йк" =- и от- [c.117]

Разность h решений нелинейного и линеаризованного уравнений Больцмана удовлетворяет условию >11<С(1 В работе [29] получена аналогичная оценка для разности между моментами (%, /) и решениями уравнений Навье—Стокса. Аналогичная теорема для мягких потенциалов получена в работе [31]. [c.300]

Решение. Полагая п 1,т) = п + П)(<,г) г) = в + (<,г) (скорость является с самого начала величиной первого порядка), напишем линеаризованные уравнения Навье—Стокса [c.432]

Возникает еще вопрос обоснованности этих уравнений с вычислительной точки зрения. Отметим, что решение линейных задач с такими уравнениями не сложнее решения уравнений Эйлера, т.е. менее трудоемкое, чем решение линеаризованных уравнений Навье-Стокса. Численное решение нелинейных уравнений также не намного сложнее, чем решение нелинейных уравнений Навье-Стокса, из-за того, что интегральные ядра являются достаточно сосредоточенными. [c.254]

Здесь индекс 5 указывает на параметр насыщения. В [8] решена задача о конденсации чистого пара на сфере в диапазоне переходных чисел Кп с использованием решения уравнений Навье - Стокса, уточненного вблизи поверхности сферы на основе решения линеаризованного уравнения БГК. Выражение из [8] для относительного удельного потока на сферу имеет вид [c.188]

Здесь V ,, Р/, соответствуют основному течению при обтекании пластины однородным потоком, а V, /7 - возмущениям, порождаемым неоднородностью. Развитие возмущений описывается линеаризованными относительно основного течения уравнениями Навье - Стокса с условиями прилипания на поверхности пластины и граничными условиями во внешнем потоке, следующими из (1.2). Их решение ищется методом сращиваемых асимптотических разложений. Поле течения разбивается на две области окрестность передней кромки размером порядка единицы (х г 1), течение в которой является невязким, и область вязкого течения длиной х / и высотой г I. [c.112]

Подставив возмущения (3.2) в уравнения Навье - Стокса, линеаризованные относительно основного течения (3.1), выразив производные функций и. У, W, Р, /о по и Г через производные по X, используя соотношения Э 1 Э Э I Э [c.115]

Из (3.6) следует /соД/ < О при М <0. Тогда из (3.5) имеем В > О, Ь = О в стационарных точках, /0/й > О при L > 0. Линеаризуя (3.5), (3.6) по Л/,L в стационарных точках, получим линеаризованные уравнения (3.2). Характер поведения интегральных кривых вблизи кривых Л/ = О, L = О в плоскости (со, 0) тот же, что и для (3.2). Поэтому свойства стационарных точек и решения в области / такие же, как и в приближении Навье - Стокса, в частности эффективно интегрирование вверх по потоку [13]. [c.193]

В результате подстановки (2.1) в уравнения Навье-Стокса и совершения предельного перехода в области 2 получим систему линеаризованных уравнений Эйлера [c.61]

Уравнение (2. 3. 1) справедливо лишь для Re = 0. Для любого конечною значения Ве пренебрежение инерционными членалш верно лпшь па расстояниях порядка ii/Re от частицы. На больших расстояниях инерционные члены в уравнении Навье—Стокса становятся сравнимы по величине с вязкими, и приближение ползущего течения перестает быть справедливым. Линеаризованное уравнение, учитывающее инерционные эффекты, было пред.ложено Озееном [c.26]

В.В. Струминским [80, 81]. В нулевом приближении решение этой системы уравнений аппроксимируется одномерным уравнением Бюргерса. Турбулентная модель Бюргерса изучалась аналитическими методами в [82]. Линеаризованные уравнения Навье-Стокса с аппроксимацией пульсационного движения у стенки моногармоническим колебанием решены в [83]. Турбулентные решения линеаризованных уравнений Павье-Стокса найдены в [84]. Уравнения пульсаций скорости и давления применялись в расчете турбулентных течений в областях с крупными локальными вихрями [85]. [c.37]

Как указывалось в 4 гл. 5, если рассмотреть задачу с начальными данными, то мояшо получить строгое доказательство того, что разложение Гильберта является асимптотическим (при 8- 0) решением уравнения Больцмана и что то же самое справедливо для процедуры Чепмена — Энскога, оборванной на приближении Навье — Стокса. Из этих результатов ясно, что рассмотренные разложения, действительно, дают разумные приближения (при определенных значениях параметров), но вопрос о сходимости разлоя ений и, следовательно, о самом существовании нормальных решений не проясняется. Ввиду того что сходимости иногда придают большое значение (хотя при обычных применениях основное свойство ряда — его асимптотичность, а не сходимость), обсудим кратко вопрос о сходимости разложения Чепмена — Энскога для линеаризованного уравнения Больцмана. [c.168]

Для того чтобы найти поведение к на бесконечности, нужно знать асимптотику функции Грина. Согласно результатам разд. 11 гл. IV, решение на бесконечности всегда определяется оборванным разложением Чепмена — Энскога со скоростью, давлением и температурой, удовлетворяющими стационарным линеаризованным уравнениям Навье — Стокса. В таком случае нетрудно выяснить, выполняется ли условие (13.1) для решений, стремящихся на бесконечности к линейной комбинации инвариантов столкновений (линеаризованный вариант стремления к максвеллиану). [c.378]

Длина волны света, используемого в экспериментах, обычно мала по сравнению со средней длиной свободного пробега частиц газа, но волновое число к , входящее в 5(к, со), равно 2 ко 51п( /2), где ко — волновой вектор падающего излучения, а — угол между ко и волновым вектором кз рассеянного света. Соответственно для каждого угла наблюдения существует определенная флуктуация длины волны, и потому, меняя угол, можно измерить преобразование Фурье корреляционной функции плотность-плотность. При достаточно малых углах мы находимся в континуальном режиме и можно использовать гидродинамическую теорию, основанную на уравнениях Навье — Стокса. Однако следует ожидать, что, если средняя длина свободного пробега велика по сравнению с длиной волны, а угол тЭ не очень мал, то профили, предсказываемые континуальной теорией, не совпадут с экспериментальными. Поэтому Ип и Нелькин [78] предложили использовать эксперименты по рассеянию для проверки линеаризованного уравнения Больцмана. Действительно, согласно проведенному выше рассуждению, корреляционная функция плотности С (г, О определяется формулой [c.383]

Асимптотический след за равномерно движущимся телом. В гл. 4 было указано на возможность развития обобщенного муль-типольиого подхода иа другие виды гидродинамических течений. Этот подход оказывается полезен ири построении асимптотического решения для задачи обтекания равномерно движущегося тела и для затопленных струп, распространяющихся в однородном потоке вязкой жидкости. В основу подхода здесь удобно положить интегральную форму уравнений Навье — Стокса получаемую обращением оператора Озеена для линеаризованной задачи. Совершив над этим уравнением преобразование Фурье, можно вывести интегральное уравнение в -пространстве, из которого получены в явном виде первые три члена асимптотического решепия с помощью разложения при А -> 0. Решеиие задачи об обтекании как и в случае затопленных струй, неаналитичио в бесконечно удаленной точке (второй член разложения содержит 1п1 ). Асимптотическое разложение можно представить в виде ряда ио дробным производным от некоторых фундаментальных тензоров. Главный член асимптотического разложения полностью определяется заданием полного потока импульса и расхода. Остальные два члена разложения определяются, кроме этих интегралов движения, полным потоком момента количества движения. [c.321]

Подстановка разложений (8.119) и (8.120) в уравнения Навье-Стокса и совершение предельного перехода при сх), <5 О, х О, <5 <С > <С показывают, что в первом приближении течение в области 3 описывается линеаризованными уравнениями пограничного слоя Прандтля (8.107), а в области 2 — линеаризованными уравнениями Эйлера, которые при условии затухания возмупдений вверх по потоку при Ж2 могут быть преобразованы к следуюпдему виду [c.409]

Подстановка разложений (8.140) или (8 Л 41) в уравнения Навье-Стокса и соверше-ние предельного перехода при е 0ие / <Сб<С1 показывают, что в обоих случаях течение в области 2 в первом приближении будет описываться линеаризованными относительно набегающего потока и = Ъ/ )Ау2 или и = 1 20(1/2)) уравнениями Эйлера, причем при <С 6 <С использование разложений (8Л40) или (8Л41) приводит к одному и тому же основному результату [c.415]

Подстановка разложений (8 Л 63) или (8.164) в уравнения Навье-Стокса и совершение предельного перехода при е Оие / <С 1 показывают, что в обоих случаях течение в области 2 в первом приближении будет описываться линеаризованными относительно набегаюпдего потока (г = с/е)Ау2 илиг = 1 20(1/2)) уравнениями Эйлера без члена др/дх в уравнении сохранения продольного импульса, причем при <С <С с <С <С 6 1 использование разложений (8Л62) или (8Л64) приводит к [c.419]

Если жидкость идеальна (V = 0), то г ) = О и поле скоростей будет потенциальным. При малых V вдали от границ области течение будет также близко к потенциальному. Вектор-функция будет компенсировать невязку граничных условий, которая возникает, если решение задачи о движении вязкой жидкости аппроксимировать потенциальным полем. Таким образом, функция я]) — это функция типа пограничного слоя. Для малых значений V методы построения асимптотики решений уравнения (6.2) хорошо известны. Функция г]) при этол1 в явном виде выражается через свои граничные значения, которые в свою очередь содержат величины, определенные потенциальным полем. Эта процедура позволяет исключить соленоидальную составляющую поля скоростей и свести задачу исследования линеаризованных уравнений Навье — Стокса к исследованию некоторой несамосопряженной краевой задачи теории гармонических функций. Для подобной задачи решение в некоторых случаях, как уже говорилось, может быть получено уже в явном виде. [c.72]

Начиная с пятидесятых годов нашего столетия, в связи с появле-д ием возможности использования быстродействующих электронно-счет-лых машин, по-новому встал вопрос о строгих численных решениях уравнений Навье — Стокса В первую очередь были проведены численные расчеты стационарного и нестационарного обтекания кругового цилиндра, сферы и пластины. Вместе с тем были продолжены поиски аналитических решений линеаризованных уравнений Навье — Стокса, относящихся к так называемым медленным движениям вязкой жидкости. [c.509]

Чтобы к этому вопросу в дальнейшем не возвращаться, укажем, что случай больших рейнольдсовых чисел (но таких, при которых движение еще сохраняет свой ламинарный характер) представляет особенные трудности. Для больших рейнольдсовых чисел Н. Н. Моисеев (1961, 1963), Н. Я. Багаева и Н. Н. Моисеев (1964) и П. С. Краснощеков (1963), используя линеаризованные нестационарные уравнения Навье — Стокса, нашли асимптотические их решения и таким путем исследовали ряд задач, связанных с колебаниями вязкой жидкости в сосудах. Последний из перечисленных авторов рассмотрел задачу о движении по эллиптической орбите спутника, внутри которого имеется сферическая полость с вязкой жидкостью, и показал, что наличие вязкости приводит к скруглению орбиты. [c.516]

Вид решения линеаризованных уравнений Навье-Стокса для У/ = = 0(1) подсказывается разложениями (6.3.2) [c.122]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...