Зоны блоховские

Другими словами, система ведет себя так, как если бы она характеризовалась двумя независимыми зонами блоховского типа. Обе они обладают нормальной шириной В, а располагаются так, что середины их совпадают соответственно с атомными уровнями и Яд. Как раз в такой ситуации удобно локаторное представление (9.57). [c.393]

Это отличие приводит к следующим дополнит, степеням свободы при спаривании электронов и дырок 1) спиновая 2) относительная разность фаз блоховских ф-ций электронов и дырок 3) различная симметрия блоховских ф-ций в разных зонах. [c.504]

Разл. симметрия блоховских, , )-ций в разных зонах приводит к тому, что при заданной спиновой структуре и относительной разности фаз появляются разл. упорядоченные состояния. Так, рассмотренное выше состояние с тороидным моментом (орбитальный антиферромагнетизм) имеет место при противоположной относительно пространственной инверсии симметрии блоховских ф-ций в зоне проводимости и в валентной зоне. [c.505]

Режимы, при которых (А + D)/2 < 1, отвечают вещественному К и, следовательно, распространяющимся блоховским волнам. Однако в случае (А ч- D)/2 > 1 мы имеем А = т-к/Х -f- iK , т. е. в К присутствует мнимая часть и блоховская волна затухает. Эти области отвечают так называемым запрещенным зонам периодической среды. Частоты, отвечающие границам зоны, определяются из условия I А -f- D)/21 = 1. [c.185]

Локализованное распространение мод имеет место, если выполнено условие (11.10.15) при вещественных параметрах (3, и и если постоянная распространения /3 такая, что свет попадает в одну из запрещенных зон. Последнее условие соответствует тому, что блоховское волновое число является комплексным [c.518]

В нескольких последующих параграфах ( 20—25) рассматриваются неприводимые представления группы трансляций кристалла Обсуждаются основные понятия волновой вектор к, блоховский вектор ф(й), зона Бриллюэна, соотношение полноты и ортонормированности для неприводимых представлений, а также прямое произведение неприводимых представлений группы 5 . Так как является абелевой группой (точнее, прямым произведением трех более простых абелевых групп), математическая теория здесь очень проста. Однако для обсуждения представлений пространственной группы необходимо изложить этот материал в удобной для нас форме. [c.69]

В излагаемом подходе совокупность электронных состояний описывается блоховскими волновыми функциями кристалла. Поэтому индекс О соответствует случаю обычного диэлектрика, у которого все состояния нижних зон заполнены. Для определенности мы рассмотрим диэлектрик с простыми параболическими зонами, экстремумы валентной зоны и зоны проводимости которого расположены в центре зоны Бриллюэна при к — 0. Такое описание комбинационного рассеяния света основано на использовании блоховских электронных волновых функций. Волновую функцию промежуточного состояния обозначим [c.83]

Здесь первое слагаемое соответствует электронной энергии, причем величина г к,р) равна энергии одноэлектронного блоховского состояния зоны р второе слагаемое представляет собой энергию фонона в гармоническом приближении последнее слагаемое равно энергии поля излучения. Энергия двухчастичного состояния диэлектрика [например, состояний а и Р в (6.77)], выраженная через энергии одночастичных блоховских состояний е(к,р), равна разности между энергией возбужденного электрона и энергией возникшей дырки. Таким образом, разность [c.84]

Для вывода можно воспользоваться структурой блоховских функций (2.27) и учесть, что при к = О тяжелая дырка имеет проекцию момента 3/2, а легкая дырка — проекцию момента 1/2 на направление роста. В (3.128) состояния в валентной зоне ука- [c.93]

Для экситона с тяжелой дыркой в структурах с квантовыми ямами, выращенных на основе полупроводников с решеткой цинковой обманки, матричный элемент Рсу равен (8 р у. х где Рх =-1д/дх 5 —электронная блоховская функция на дне зоны [c.181]

В идеальной решетке движение электрона в зоне проводимости определяется блоховской функцией (см. ,19) [c.281]

Зонное приближение, которое основывается на блоховских одноэлектронных функциях, даёт превосходную картину равновесия между функциями 5-, р- и -электронов. Так как было найдено, что - и з-р- полосы в металлах переходного типа перекрываются, то относительное число электронов в каждой полосе определяется из следующего условия при движении электрона от одной полосы к другой энергия должна оставаться постоянной, а это значит, что полосы заполнены до одинаковых уровней. Следовательно, нельзя ожидать, что имеется целое число -электронов, рассчитанное на каждый атом, так как положение полос зависит от многих факторов. Как мы видели в 101, эта картина по- [c.652]

Эти результаты мы используем в 19 для описания зонной структуры электронного газа в слабом периодическом потенциале. После того, как мы получили представление о значении зонной модели, мы в 20 изучим общие свойства функции Е к). Мы увидим, что решения уравнения Шредингера для электрона в периодическом потенциале описывают квазичастицы [электроны в кристалле, или блоховские электроны). Влияние периодического потенциала включено в свойства этих квазичастиц. Для динамики электронов в кристалле, т. е. для их движения под действием внешних сил, это означает следующее вместо того, чтобы рассматривать движение отдельных электронов под действием комбинации внешних полей, кристаллического потенциала и кулоновского взаимодействия, вводится понятие электрона кристалла. Последний испытывает влияние только со стороны внешних сил, реагируя как квазичастица с эффективной массой /п ( ) и связью между энергией и импульсом, заданной зонной структурой. Во всех остальных отношениях, однако, квазичастица реагирует на эти силы как свободный электрон. Это мы обсудим (наряду с другими вопросами) в 21. [c.71]

Закончим этот параграф замечанием о приближении (21.12), в котором мы построили волновой пакет, описывающий электрон, только из блоховских состояний одной зоны. Примесь из блоховских функций других зон означает возможность переходов электронов в другую зону под влиянием электрического поля. Этот эффект называется внутренней эмиссией в сильном поле или часто— эффектом Зинера. Для пояснения этого явления рассмотрим, наряду с рис. 25, и рис. 26. [c.98]

Блоховские функции для валентной зоны и зоны проводимости и волновые функции состояний на внутренних оболочках должны быть взаимно ортогональными решениями одного и того же уравнения Шредингера. [c.125]

Электроны в твердом теле являются квазичастицами, которые занимают одноэлектронные состояния в зонной модели. Они описываются блоховскими функциями I п, к, оу, где п обозначает индекс зоны, k — волновой вектор и о—спин электрона. В настоящей главе нас будут интересовать почти исключительно электроны одной зоны, зоны проводимости, Поэтому мы будем приводить индекс зоны только в некоторых отдельных случаях. При переходе внутри зоны проводимости спин электрона в большинстве случаев сохраняется, поэтому мы часто будем описывать электрон только его волновым вектором. [c.192]

Отсюда непосредственно видно, что при испускании фонона д или поглощения фонона — д электрон переходит из состояния к в состояние к- -д + К . Вышеприведенные предположения, следовательно, не вполне точны. Это связано со следующим обстоятельством кик являются приведенными Л-векторами обеих блоховских функций А>> и А > и, следовательно, лежат, как и -вектор фононов, в первой зоне Бриллюэна. Если векториально прибавить к вектору к вектор д, то результирующий вектор может попасть из зоны Бриллюэна в соседнюю зону повторяющейся [c.196]

В рамках приближения эффективной массы (ср. 21) можно энергию Е электрона или дырки в блоховском состоянии в какой-нибудь зоне представить в виде энергии границы зоны (для электрона в зоне проводимости она равна нижней границе зоны Е[) и разности энергий E — Ei- Тогда величину Ei можно определить как потенциальную энергию, Е — Е — как кинетическую энергию, [c.199]

Движение электронов в твердом теле под действием внешних сил мы опишем, задав их положения и импульсы (Л-векторы) как функции времени. Это, однако, требует некоторого ограничения. Для описания движения электрона мы строим волновой пакет из одночастичных состояний. Такой пакет имеет некоторую протяженность в геометрическом пространстве и в Л-пространстве. Его среднее сечение Дг в геометрическом пространстве связано с его протяженностью Ак в Л-пространстве соотношением неопределенности ДлД/г=1. Если мы хотим построить волновой пакет в Л-пространстве так, чтобы его размеры были малы по сравнению со средним радиусом зоны Бриллюэна (порядок постоянной обратной решетки), то его протяженность в геометрическом пространстве будет велика по сравнению с постоянной решетки. Мы должны потребовать, чтобы внешние поля (или другие параметры, влияющие на электрон, как-то температурный градиент или неоднородности) практически не изменялись на ширине волне вого пакета. Движение электрона в быстро изменяющихся полях ионов решетки мы таким способом описать не можем. Поэтому мы построим волновой пакет из блоховских функций, которые уже содержат взаимодействие электрона с периодическим потенциалом решетки. Мы должны соблюдать это условие, когда речь идет об одном электроне в точке г с Л-вектором в Л (в зоне п). [c.208]

Группа Л-векторов есть полная точечная группа О. Согласно размерностям неприводимых представлений энергетические зоны в Г могут быть простыми или дважды, нли трижды вырожденными. Симметрии блоховских функций в Г получаются из следующего рассмотрения. Каждому элементу группы мы можем сопоставить произведение координат х, у, г таким образом, чтобы, например, комбинация г, —х, у (записывается гху) означала, что при преобразовании, соответствующем этому элементу, ссь х перейдет в ссь г, ось у перейдет в ссь —X и ссь г—в ссь у. [c.376]

Зависящая от времени блоховская функция электрона в зоне п с волновым вектором А имеет вид [c.392]

В заключение настоящей главы покажем, что для любой зоны блоховские функции всегда можно записать в виде выражения (10.4), на котором основано приближение сильной связи. Функции ф, играющие роль атомных волновых функций, называют функциями Ваннье. Функции Ваннье могут быть определены для любой зоны независимо от того, как она описывается приближением сильной связи. Однако если зона не является узкой зоной с сильной связью, то ее функции Ваннье мало напоминают электронные волновые функции изолированного атома., [c.192]

Многие фазовые переходы полупроводник — металл сопровождаются изменением симме1рии кристаллич. решётки или изменением магн. симметрии (напр., полупроводниковое состояние часто оказывается антиферромагнит-ным). Эти явления находят естеств. объяснение в рамках модели Э. д., поскольку образование осн. состояния системы за счёт конденсата пар электрон—дырка соответствует суперпозиции блоховских ф-ций из электронных и дырочных зон (в отличие от суперпозиции блоховского состояния с его комплексно-сопряжённым в пределах одной зоны в случае сверхпроводимости). [c.504]

В кристаллической решетке потенциал, испытываемый электронами, периодически зависит от координат и волновые функции электронов представляют собой произведение плоской волны, соответствующей свободным электронам, и функции, которая имеет периодичность решетки, — блоховской функции. Эти волны по-прежнему распространяются без затухания в идеальной периодической решетке. Наличие решетки меняет зависимость энергии электрона от волнового числа (для свободных электронов эта зависимость квадратичная) и возможные энергии электрона в решетке. Если рассмотреть случай простой кубической решетки, как это делалось для фононов в п. 1 4, гл. 4, то для электрона, волновой вектор которого имеет такую вличину и направление, что почти достигает границы зоны Бриллюэна, энергия заметно отличается от энергии для того же самого значения k, вычисленной на основании модели свободных электронов. При k -<.п1а энергия меньше, чем ее значение для свободного электрона, а при k > я/а — больше. Это означает, что имеется энергетическая щель на границе зоны и волновое уравнение не имеет решений при энергиях, лежащих в пределах этой щели. Для малых значений k зависимость E k) такая же, как для свободных электронов для одномерного случая это показано на фиг. 10.2. Ясно, что значения k, лежащие на границе зоны, являются особыми, так как в этом случае условие брэгговского отражения волны означает, что вторичные волны, испускаемые последовательными рядами атомов, находятся в фазе. Для одномерного случая отсюда следует, что расстояние между атомами должно быть равно половине длины волны, поэтому а — Я/2 = я/А или k == nia, что как раз совпадает с расстоянием по перпендикуляру от центра к грани зоны Бриллюэна. Тот же принцип применим и в трехмерном случае, так что границы кубической зоны определяют значения А, для которых имеется щель в спектре электронов в простой кубической решетке. Этим значениям А соответствуют [c.178]

Если блоховскую волновую функцию (6.24) подставить в волновое уравнение Шрёдингсра, описывающее движение электрона в полупроводнике, то окажется, что разрешенные значения энергии электронов E = E k) попадают в зоны, среди которых низшая заполненная зона называется валентной, а следующая, более высокая — зоной проводимости. Появление зонной структуры связано с дифракцией Брэгга блоховской волновой функции на периодическом кристаллическом потенциале. Однако существование валентной зоны и зоны проводимости можно объяснить с помощью несложных физических соображений. Рассмотрим для простоты случай натрия, в котором каждый атом имеет 11 электронов. Десять из них тесно связаны с ядром и образуют положительный ион с зарядом е. Одиннадцатый электрон движется по орбите вокруг этого иона. Обозначим энергии этого последнего электрона в основном и первом возбужденном состоянии через и Е2, а соответствующие волновые функции ijji и il]2. Рассмотрим теперь два атома натрия, расположенные на некотором расстоянии d. Если d много больше размеров атома, то два атома не будут взаимодействовать друг с другом и энергии обоих состояний не изменятся. По другому это можно выразить следующим образом. Если рассматривать, например, два атома в их энергетических состояниях то одноэлектронный уровень энергии двухатомной системы по-прежнему равен В], и этот уровень дважды вырожден. Действительно, полную волновую функцию можно выразить через комбинацию двух волновых функций ijJiA и причем эти две функции [c.403]

При распространении электромагнитного излучения в периодических средах возникает много интересных и потенциально полезных явлений. К ним относятся дифракция рентгеновского излучения в кристаллах, дифракция света на периодических изменениях механических напряжений, возникающих при прохождении звуковой волны, и запрещенная зона для света в слоистых периодических средах. Эти явления используются во многих оптических устройствах, таких, как дифракционные решетки, голограммы, лазеры на свободных электронах, лазеры с распределенной обратной связью, лазеры с распределенным брэгговским отражением, брэгговские отражатели с высокой отражательной способностью, акустооптические фильтры, светофильтры Шольца и т. д. В данной главе мы рассмотрим некоторые общие свойства электромагнитного излучения в периодических средах и общую теорию его распространения в слоистой периодической среде. Эта теория имеет весьма близкую формальную аналогию с квантовой теорией электронов в кристаллах и поэтому позволяет использовать понятия блоховских волн, запрещенных зон, затухающих и поверхностных волн. Наконец, мы обсудим применение этой теории для решения ряда хорошо известных задач, таких, как расчет коэффициента отражения от брэгговского зеркала, коэффициентов пропускания фильтра Шольца и оптических поверхностных волн. Кроме того, мы обсудим двойное лучепреломление за счет формы и его применение в дихроичных поляризаторах. Периодические структуры играют также важную роль в интегральной оптике, рассмотрение которой мы отложим до гл. 11. [c.169]

Понятия фазовой и групповой скоростей, а также скорости переноса энергии в периодической слоистой среде являются весьма тонкими и требуют внимательного анализа. Электромагнитные бло-ховские волны определяются выражением (6.2.25), а дисперсионное уравнение, связывающее к , К и можно получить из (6.2.24). Важно иметь в виду, что блоховское волновое число К определяется выражением (6.2.24) не однозначно, а с точностью до произвольного целого числа, умноженного на 2тг/Л. Обычно используемая в физике твердого тела схема приведения к зоне Бриллюэна неприменима при рассмотрении фазовой скорости электромагнитной бло-ховской волны. Если Ej (z) разлагается в ряд Фурье [c.218]

Где т — масса электрона. Учет периодического потенциала кристаллической решетки (метод Блоха) усложняет эту зависимость, приводя к разрывам параболической зависимости W p) в областях запрещенных энергий (см. рис. 1.4). Функция W p) непрерывна в различных интервалах пространства импульсов, называемых зонами Бриллюэна (например, при —n/a k n/a и др.), а при переходе от одной зоны Бриллюэна к другой терпит разрывы. Применение одноэлектронной зонной теории с блоховскими волновыми функциями хорошо оправдывается для кристаллов с s- и р-электронами, орбитали которых имеют большую пространственную протяженность и значительное взаимное перекрытие (в случае кристаллов с d- и /-орбиталями применять зонную теорик> нужно с осторожностью (см. 4.4)). [c.13]

Рассмотрим, каким образом при расчете размерно-кванто-ванных электронных состояний можно учитывать непарабо-личность энергетического спектра и межзонное смешивание электронных состояний при значениях волнового вектора к, отличных от точки экстремума. С этой целью рассмотрим модель Кейна, в которой точно учитывается кр-смешивание состояний в зоне проводимости и в валентных зонах Гз, Г7, но прене-брегается влиянием далеких зон. Разложим волновую функцию электрона по блоховским функциям где [c.23]

Вильсон предположил, что энергетические состояния как в 5-р-по-лосах, так и в -полосах можно рассматривать в блоховском приближении и что энергия в каждой полосе является квадратичной функцией ВОЛ1ЮВОГО числа в схеме приведённых зон, В этом случае кривые е(к) для двух перекрывающихся полос имеют вид, изображённый на рис. 258. Выберем нз ль энергии так, чтобы энергия е (к) для 5-р-электрона определялась выражением [c.564]

К сожалению, для того чтобы объяснить ферромагнетизм на основе теории зон, необходимо сделать произвольное предположение, что в -полосе имеется больше электронов со спином в одном направлении, чем в другом. В таких металлах, как никель и кобальт, имеется настолько большой излишек электронов с данным спином, что половина -полосы целиком заполнена в железе этот излишек несколько меньше. Еслн бы теория зон была достаточно точной в случае узких полос, для того чтобы дать заслуживающее доверия объяснение преобладания электронов с одним типом спина, то для большинства описательных работ былн бы излишними теории Гайзенберга, Блоха, Слэйтера. Конечно, обменная энергия блоховских функций благоприятствует появлению ферромагнетизма, но можно показать, что для узких полос поправка на корреляцию как раз достаточно велнка, для того чтобы в первом приближении скомпенсировать этот эффект (см. 75). [c.653]

Теория ЗОННОЙ модели основывается на одноэлектронном уравнении Шредингера (3.20). Последнее отличается от уравнения Хартри—Фока (З.П) тем, что в нем взаимное кулоновское и обменное взаимодействие электронного газа было усреднено. Только благодаря этому электроны перестают быть связанными. Они движутся в поле под действием некоторого общего среднего потенциала. Блоховские состояния, заданные функцией Е к), не зависят от заполнения электронами спектра состояний. Электроны в этом приближении рассматриваются как невзаимодействующие квази-частпцы, которые в заданном спектре энергий располагаются согласно статистике Ферми. Возбуждение пары электрон — дырка имеет тогда энергию, равную разности энергий между блоховским состоянием электрона в зоне проводимости и блоховским состоянием дырки в валентной зоне. Для улучшения этого приближения вспомним следующее. В приближении Хартри —фока перед усреднением, которое приводит к уравнению (3.20) зонной модели, существует разница между энергией взаимодействия одного возбужденного электрона при взаимодействии со всеми электронами в основном состоянии (проблема (Л + 1)-го электрона) и энергией при взаимодействии с N — 1 электронами в с( ре Ферми или соответственно в валентной зоне (Л -электронная проблема). Эта разница как раз и есть взаимодействие электрон —дырка в картине квазичастиц зонной модели. [c.180]

Основное состояние описывается детерминантом Слэтера с блоховскими функциями Гу, 5). Для описания возбужденного состояния мы заменим блоховские функции (к, з)-го столбца детерминанта функциями зоны проводимости Гу, 5 ). Энергию такого возбуждения можно легко получить. Для основного состояния она задается уравнением (43.1). Удаление одного валентного электрона из состояния т, к, з вносит изменение —(А), где W к) задается выражением (43.3), и в нем суммирование надо проводить по всем валентным состояниям т, к. Введение одного электрона в зону проводимости п, к, з вносит три изменения в энергию, которые мы рассмотрим раздельно. Во-первых, одноэлектронная энергия W (k ) получается из (43.3), когда т, к заменяются на п, к и опять суммируются по всем х валентной зоны. Эта добавка содержит взаимодействие с заполненной валентной зоной. Поэтому сначала вычитаем взаимодействие электрона зоны проводимости с электронной парой пг, к, 5. Это вносит добавку— 2<пЛ, тк е 1 г — г ) пк, ткУ- -+ < , тк (е 1 г— г ) тк, пк У. Остается еще взаимодействие электронов п, к, з и т, к, —з. Здесь надо различать возможные положения спинов. Из аналогичной проблемы гелия мы знаем, что в первом возбужденном состоянии (15(1)25(2)) при параллельных спинах получается триплетное состояние, при антипа-раллельных спинах —синглетное. Из-за требования антисимметричности волновой функции при перестановке обоих электронов надо выбирать спиновую часть волновой функции соответственно симметричной или антисимметричной а(1)а(2), Р(1)Р(2), (1/К2)(ос (1)Р(2) Р(1)а(2)). Соответственно и здесь, чтобы получить состояния определенной мультиплетности, мы должны выбрать подходящие линейные комбинации детерминанта Слэтера. Если мы это сделаем, то в качестве энергии взаимодействия мы можем установить кулоновское взаимодействие пары плюс (в син-глетном состоянии) или минус (в триплетном состоянии) обменная энергия. Эта добавка частично компенсируется второй добавкой, [c.183]

Нецелесообразно диагонализировать (44.2) в блоховском представлении. Лучше Сначала рассмотреть соответствующее выражение в представлении Ванье. Для этого надо исходить из детерминанта Слэтера с функциями Ванье (43.5) для основного состояния и заменить функции Ванье (/ ,-, s)-ro столбца на функции зоны проводимости Гу, s ). Различие по сравнению с бло- [c.185]

Свойства симметрии кристаллической решетки позволяют сделать целый ряд выводов о свойствах твердого тела. Некоторые из этих выводов мы уже получили в предыдущих параграфах. Так, на трансляционной инвариантностн кристаллической решетки основывается представление зонной структуры твердого тела, описание с помощью блоховских функций и определение электрона в кристалле как квазичастицы ( 18). Общие свойства симметрии функции [c.361]

Одноэлектронное приближение зонной модели соответствует МО-приближению в теории химической связи. Блоховские функции простираются на всю решетку каждый электрон делокалнзован. С далеко идущими применепиями этой модели мы уже встречались в предшествующих главах ). [c.43]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...