Блоховская функция электрона

Зависящая от времени блоховская функция электрона в зоне п с волновым вектором А имеет вид [c.392]

Блоховская функция электрона 83 [c.414]

Движение электрона в кристалле можно описать с помощью волнового пакета, составленного из блоховских функций (7.22). Средняя скорость движения электрона равна групповой скорости волнового пакета [c.232]

С помощью картины блоховских волн, прошедших через кристалл (фиг. 9.1), можно видеть, что, если поглощение имеет место при прохождении электронов вблизи атомов, две блоховские волны будут поглощаться по-разному. Поскольку вероятность нахождения электрона в определенном положении пропорциональна квадрату модуля волновой функции, электроны, описываемые блоховской волной 1, будут с большей вероятностью находиться в непосредственной близости от атомов и поэтому будут более сильно поглощаться (с коэффициентом поглощения цо+Цл). в то время как электроны, соответствующие блоховской волне 2, будут большую часть времени находиться между плоскостями атомов и поэтому будут меньше поглощаться (с коэффициентом поглощения [Хо—Цй)- Поэтому, когда электроны покидают кристалл, вклады от двух блоховских волн в дифракционный пучок не будут иметь одинаковую амплитуду и поэтому не смогут дать Интерференционные полосы максимального контраста. [c.204]

В первом методе считается, что электронное возбуждение возникает благодаря электрон-фотонному взаимодействию при создании фотоном электронно-дырочной пары. Каждая из частиц описывается блоховской волновой функцией. Это описание соответствует блоховской картине электрон и дырка в промежуточном состоянии движутся независимо друг от друга. [c.63]

Другой интересной модификацией волн Лява являются поперечные (сдвиговые) волны в полупространстве со свободной границей гребенчатого профиля [20] (периодическая система канавок прямоугольной формы, пропиленных на поверхности твердого тела перпендикулярно направлению распространения волны). В зтом случае поверхностный слой полупространства как бы размягчается и имеет меньшие эффективные модули упругости по сравнению с остальной толщей полупространства. Таким образом, получается эквивалент замедляющего слоя для волн Лява. Вдоль такой границы мон<ет распространяться замедленная поперечная поверхностная волна. Однако граничные условия на такой (сложной формы) поверхности приводят к тому, что эта волна не может быть гармонической в пространстве, а имеет слон<ную пространственную структуру (типа структуры блоховских функций для движения электрона в периодическом поле кристаллической решетки). Благодаря этому данное волновое образование имеет очень сильную дисперсию фазовой и групповой скоростей. [c.30]

Для экситона с тяжелой дыркой в структурах с квантовыми ямами, выращенных на основе полупроводников с решеткой цинковой обманки, матричный элемент Рсу равен (8 р у. х где Рх =-1д/дх 5 —электронная блоховская функция на дне зоны [c.181]

В идеальной решетке движение электрона в зоне проводимости определяется блоховской функцией (см. ,19) [c.281]

Прямые переходы называются разрешенными, если матричные элементы перехода отличны от нуля при значениях й,, я [ яа 0. Вероятность разрешенных прямых переходов пропорциональна квадрату модуля дипольного момента перехода, построенного на блоховских функциях (при й = 0) электрона и дырки, и квадрату модуля волновой функции экситона в точке г = 0, т. е. г з(0)р. [c.318]

Закончим этот параграф замечанием о приближении (21.12), в котором мы построили волновой пакет, описывающий электрон, только из блоховских состояний одной зоны. Примесь из блоховских функций других зон означает возможность переходов электронов в другую зону под влиянием электрического поля. Этот эффект называется внутренней эмиссией в сильном поле или часто— эффектом Зинера. Для пояснения этого явления рассмотрим, наряду с рис. 25, и рис. 26. [c.98]

Электроны в твердом теле являются квазичастицами, которые занимают одноэлектронные состояния в зонной модели. Они описываются блоховскими функциями I п, к, оу, где п обозначает индекс зоны, k — волновой вектор и о—спин электрона. В настоящей главе нас будут интересовать почти исключительно электроны одной зоны, зоны проводимости, Поэтому мы будем приводить индекс зоны только в некоторых отдельных случаях. При переходе внутри зоны проводимости спин электрона в большинстве случаев сохраняется, поэтому мы часто будем описывать электрон только его волновым вектором. [c.192]

Отсюда непосредственно видно, что при испускании фонона д или поглощения фонона — д электрон переходит из состояния к в состояние к- -д + К . Вышеприведенные предположения, следовательно, не вполне точны. Это связано со следующим обстоятельством кик являются приведенными Л-векторами обеих блоховских функций А>> и А > и, следовательно, лежат, как и -вектор фононов, в первой зоне Бриллюэна. Если векториально прибавить к вектору к вектор д, то результирующий вектор может попасть из зоны Бриллюэна в соседнюю зону повторяющейся [c.196]

Движение электронов в твердом теле под действием внешних сил мы опишем, задав их положения и импульсы (Л-векторы) как функции времени. Это, однако, требует некоторого ограничения. Для описания движения электрона мы строим волновой пакет из одночастичных состояний. Такой пакет имеет некоторую протяженность в геометрическом пространстве и в Л-пространстве. Его среднее сечение Дг в геометрическом пространстве связано с его протяженностью Ак в Л-пространстве соотношением неопределенности ДлД/г=1. Если мы хотим построить волновой пакет в Л-пространстве так, чтобы его размеры были малы по сравнению со средним радиусом зоны Бриллюэна (порядок постоянной обратной решетки), то его протяженность в геометрическом пространстве будет велика по сравнению с постоянной решетки. Мы должны потребовать, чтобы внешние поля (или другие параметры, влияющие на электрон, как-то температурный градиент или неоднородности) практически не изменялись на ширине волне вого пакета. Движение электрона в быстро изменяющихся полях ионов решетки мы таким способом описать не можем. Поэтому мы построим волновой пакет из блоховских функций, которые уже содержат взаимодействие электрона с периодическим потенциалом решетки. Мы должны соблюдать это условие, когда речь идет об одном электроне в точке г с Л-вектором в Л (в зоне п). [c.208]

Второе ограничение следует из (2.3). Замена решетки однородной средой с заданной диэлектрической проницаемостью содержит предположение, что орбита связанного в дефекте электрона пересекает много элементарных ячеек кристаллической решетки. Пространственная протяженность волнового пакета, таким образом, велика по сравнению с постоянной решетки. Следовательно, его протяженность в к-пространстве мала по сравнению с размерами зоны Бриллюэна. Таким образом, в (2.4) дают вклад лишь векторы к из узкой области вокруг минимума зоны. Если рассматривать сначала случай простого, изотропного параболического минимума при к = О, то суммирование в (2.4) вдет только по малым значениям к. Поскольку периодичная с периодом решетки часть в в блоховской функции я( (к, г)=ц(к, г) ехр (ik-r) лишь медленно меняется с к, можно заменить а (к, г) через и (О, г). Получаем, таким образом, волновой пакет [c.71]

Если мы несколько ослабим потенциал, позволив атомным волновым функциям перекрываться приближение сильной связи), то мы увидим, что выписанные только что блоховские функции остаются хорошим приближением к точным, но энергия начинает зависеть от волнового числа. Однако пока перекрытие волновых функций мало, ширина энергетической полосы остается малой. В дальнейшем мы увидим, что наличие узких полос, соответствующих сильной связи, характерно для зонной структуры изоляторов. Разумеется, при дальнейшем уменьшении потенциала эти полосы, постепенно деформируясь, превратятся в конце концов в энергетические полосы почти свободных электронов, обсуждавшиеся выше. В тех случаях, когда приближение сильной связи пригодно для описания энергетических полос в реальных кристаллах, мы можем связать каждую полосу с атомным состоянием, из которого она произошла. Так, в случае кристалла хлористого натрия можно говорить о Зр-полосах хлора и Зв-полосах натрия. В 7 гл. И мы, однако, увидим, что в случае очень узких полос (как для хлористого натрия) есть все основания полагать, что зонная картина вообще теряет смысл. [c.62]

Л ы уже видели, что собственную функцию электрона (схематически изображенную на фиг. 20, б) можно представить в виде произведения блоховской функции Ка и плоской волны ехр (1к-г) (фиг. 20, виг). Плоская волна (так же как и Ыл) удовлетворяет периодическим граничным условиям. Так как функция имеет полную периодичность решетки, ее также можно было бы разложить в ряд Фурье, содержащий только плоские волны, отвечающие векторам обратной решетки. Отсюда следует, что собственную функцию можно разложить в ряд Фурье, содержащий плоские волны с волновым вектором к и волновыми векторами, отличающимися от к на вектор обратной решетки эти волновые векторы как раз и генерируют то представление, по которому преобразуется функция я)). [c.71]

Мы характеризуем каждое из электронных состояний волновым вектором к и зонным индексом п. Энергия в любой зоне представляет собой квазинепрерывную функцию (к). Волновую функцию электрона в данном состоянии можно записать в блоховском виде [c.77]

До сих пор мы занимались изучением кристаллов, обладающих трансляционной симметрией, так что их электронные состояния описывались на языке блоховских функций. Ясно, что реальные кристаллы содержат дефекты и ограничены поверхностями, а это разрушает идеальную периодичность. Интересно выяснить, к каким изменениям электронных состояний приводит присутствие такого рода несовершенств. [c.190]

Мы представляли примесные состояния в полупроводниках как электроны, движущиеся по боровским орбитам около примесного атома. Ясно, что соответствующие волновые функции экспоненциально спадают по мере удаления от примеси. Такие экспоненциально уменьшающиеся волновые функции, если соответствующие им энергии близки к минимумам зон, имеет смысл искать, используя к -р метод, точно так же, как это мы делали при рассмотрении состояний, отвечающих малым волновым векторам. Сделаем это сначала для состояний, волновые функции которых экспоненциально убывают только в одном направлении. Будем рассматривать волновые функции, которые можно представить в виде блоховских функций, отвечающих полной периодичности решетки и модулированных экспонентой е- . Анализ проводится точно так же, как и в обычном к-р методе. Теперь каждое к заменяется на 1>. Это означает просто продолжение функции Е (к) в область комплексных к. [c.195]

Действительно, волновая функция электрона в кристалле, подчиняющаяся блоховскому граничному условию (1.2), может быть представлена в виде разложения по плоским волнам (1.18) [c.191]

То есть для фп р) получено почти обычное уравнение Шредингера, которое отличается от обычного заменой массы электрона на эффективную. Это уравнение записано в квазиимпульсном представлении. Можно вычислить 0п(1 )) для чего разложим ее по блоховским функциям (г) [c.21]

Будем описывать вторично проквантованную волновую функцию электрона числами занолнения системы блоховских функций. Операторы рождения и поглощения is, g определены обычным образом и удовлетворяют коммутационным соотношениям для частиц Ферми [c.758]

Интеграл эффективного РККИ-о. в. можно рассчитать в рамках микроскопической в — /-обменной модели. Локализованные на ионах электроны частично заполненных оболочек описываются локализованными (атомными) волновыми ф-циями (/-подсистема), электроны проводимости описываются блоховскими функциями (я-подсистема) и наз. блохов-скими электронами. Прямым / — /-ОВ можно пренебречь, т, к, расстояние между соседними ионами превышает радиус /-оболочки. Гамильтониан системы можно записать в виде [c.397]

В кристаллической решетке потенциал, испытываемый электронами, периодически зависит от координат и волновые функции электронов представляют собой произведение плоской волны, соответствующей свободным электронам, и функции, которая имеет периодичность решетки, — блоховской функции. Эти волны по-прежнему распространяются без затухания в идеальной периодической решетке. Наличие решетки меняет зависимость энергии электрона от волнового числа (для свободных электронов эта зависимость квадратичная) и возможные энергии электрона в решетке. Если рассмотреть случай простой кубической решетки, как это делалось для фононов в п. 1 4, гл. 4, то для электрона, волновой вектор которого имеет такую вличину и направление, что почти достигает границы зоны Бриллюэна, энергия заметно отличается от энергии для того же самого значения k, вычисленной на основании модели свободных электронов. При k -<.п1а энергия меньше, чем ее значение для свободного электрона, а при k > я/а — больше. Это означает, что имеется энергетическая щель на границе зоны и волновое уравнение не имеет решений при энергиях, лежащих в пределах этой щели. Для малых значений k зависимость E k) такая же, как для свободных электронов для одномерного случая это показано на фиг. 10.2. Ясно, что значения k, лежащие на границе зоны, являются особыми, так как в этом случае условие брэгговского отражения волны означает, что вторичные волны, испускаемые последовательными рядами атомов, находятся в фазе. Для одномерного случая отсюда следует, что расстояние между атомами должно быть равно половине длины волны, поэтому а — Я/2 = я/А или k == nia, что как раз совпадает с расстоянием по перпендикуляру от центра к грани зоны Бриллюэна. Тот же принцип применим и в трехмерном случае, так что границы кубической зоны определяют значения А, для которых имеется щель в спектре электронов в простой кубической решетке. Этим значениям А соответствуют [c.178]

В предыдущем пункте, имеет недостаток, состоящий в том, что электронные состояния описывались блоховскими функциями. Блоховские функции соответствуют одночастичным состояниям, которые с точки зрения теории многих частиц являются невзаимодействующими. Точнее, электрон и дырка в виртуальном промежуточном состоянии, описываемом блоховскими функциями, не взаимодействуют между собой. Известно, однако, что на само.м деле электрон взаимодействует с дыркой посредство м экранированного кулоновского взаимодействия. Возникающие при учете этого взаимодействия состояния соответствуют эксн-тонным состояниям системы. Другими словами, для нахождения правильного полного набора состояний электронной системы необходимо учитывать взаимодействие между электронами и дырками. Поэтому теорию, изложенную в п. г, следует переформулировать на экситонной основе. Оказывается, что необходимые формальные изменения в теории сравнительно невелики. Тем не менее при переходе к экситонному описанию возникают некоторые весьма важные качественные изменения результатов именно их мы и обсудим, во всяком случае в той части, в которой они относятся к предсказаниям для стоксовой компоненты однофононного спонтанного комбинационного рассеяния света. [c.89]

Рассмотрим, каким образом при расчете размерно-кванто-ванных электронных состояний можно учитывать непарабо-личность энергетического спектра и межзонное смешивание электронных состояний при значениях волнового вектора к, отличных от точки экстремума. С этой целью рассмотрим модель Кейна, в которой точно учитывается кр-смешивание состояний в зоне проводимости и в валентных зонах Гз, Г7, но прене-брегается влиянием далеких зон. Разложим волновую функцию электрона по блоховским функциям где [c.23]

Предполагается, конечно, что электронная волновая функция—детерминант, составленный из блоховских функций. Следовательно, общее состояние системы может быть полностью определено волновыми векторами й, квантовыми числами спина электронов и квантовыми числами колебаний решётки. Вследствие того, что возмущающий потенциал Бардина, рассмотренный в пункте а), есть сумма идентичных одноэлектрониых членов, независимых от спина, исчезают те матричные компоненты, которые связывают состояния с различными квантовыми числами спина или состояния, которые различаются более чем одним волновым вектором. Отличные от нуля компоненты связывают состояния, для которых изменяющийся волновой вектор удовлетворяет условию ) [c.549]

К сожалению, для того чтобы объяснить ферромагнетизм на основе теории зон, необходимо сделать произвольное предположение, что в -полосе имеется больше электронов со спином в одном направлении, чем в другом. В таких металлах, как никель и кобальт, имеется настолько большой излишек электронов с данным спином, что половина -полосы целиком заполнена в железе этот излишек несколько меньше. Еслн бы теория зон была достаточно точной в случае узких полос, для того чтобы дать заслуживающее доверия объяснение преобладания электронов с одним типом спина, то для большинства описательных работ былн бы излишними теории Гайзенберга, Блоха, Слэйтера. Конечно, обменная энергия блоховских функций благоприятствует появлению ферромагнетизма, но можно показать, что для узких полос поправка на корреляцию как раз достаточно велнка, для того чтобы в первом приближении скомпенсировать этот эффект (см. 75). [c.653]

Теория ЗОННОЙ модели основывается на одноэлектронном уравнении Шредингера (3.20). Последнее отличается от уравнения Хартри—Фока (З.П) тем, что в нем взаимное кулоновское и обменное взаимодействие электронного газа было усреднено. Только благодаря этому электроны перестают быть связанными. Они движутся в поле под действием некоторого общего среднего потенциала. Блоховские состояния, заданные функцией Е к), не зависят от заполнения электронами спектра состояний. Электроны в этом приближении рассматриваются как невзаимодействующие квази-частпцы, которые в заданном спектре энергий располагаются согласно статистике Ферми. Возбуждение пары электрон — дырка имеет тогда энергию, равную разности энергий между блоховским состоянием электрона в зоне проводимости и блоховским состоянием дырки в валентной зоне. Для улучшения этого приближения вспомним следующее. В приближении Хартри —фока перед усреднением, которое приводит к уравнению (3.20) зонной модели, существует разница между энергией взаимодействия одного возбужденного электрона при взаимодействии со всеми электронами в основном состоянии (проблема (Л + 1)-го электрона) и энергией при взаимодействии с N — 1 электронами в с( ре Ферми или соответственно в валентной зоне (Л -электронная проблема). Эта разница как раз и есть взаимодействие электрон —дырка в картине квазичастиц зонной модели. [c.180]

В выражении (3.7) приближения Хартри —Фока еп1е не определены одноэлектронные волновые фут кцчи. Они получаются как решения уравнения Хартри—Фока. Мы не сделаем слишком большой ошибки, если вместо этих неизвестных (и трудно определимых) функций используем решения усредненного уравнения (3.20), т. е. блоховские функции как одно.электрониые функции в детерминанте Слэтера. Величины ф, (ч ) есть произведения блоховских [c.180]

Основное состояние описывается детерминантом Слэтера с блоховскими функциями Гу, 5). Для описания возбужденного состояния мы заменим блоховские функции (к, з)-го столбца детерминанта функциями зоны проводимости Гу, 5 ). Энергию такого возбуждения можно легко получить. Для основного состояния она задается уравнением (43.1). Удаление одного валентного электрона из состояния т, к, з вносит изменение —(А), где W к) задается выражением (43.3), и в нем суммирование надо проводить по всем валентным состояниям т, к. Введение одного электрона в зону проводимости п, к, з вносит три изменения в энергию, которые мы рассмотрим раздельно. Во-первых, одноэлектронная энергия W (k ) получается из (43.3), когда т, к заменяются на п, к и опять суммируются по всем х валентной зоны. Эта добавка содержит взаимодействие с заполненной валентной зоной. Поэтому сначала вычитаем взаимодействие электрона зоны проводимости с электронной парой пг, к, 5. Это вносит добавку— 2<пЛ, тк е 1 г — г ) пк, ткУ- -+ < , тк (е 1 г— г ) тк, пк У. Остается еще взаимодействие электронов п, к, з и т, к, —з. Здесь надо различать возможные положения спинов. Из аналогичной проблемы гелия мы знаем, что в первом возбужденном состоянии (15(1)25(2)) при параллельных спинах получается триплетное состояние, при антипа-раллельных спинах —синглетное. Из-за требования антисимметричности волновой функции при перестановке обоих электронов надо выбирать спиновую часть волновой функции соответственно симметричной или антисимметричной а(1)а(2), Р(1)Р(2), (1/К2)(ос (1)Р(2) Р(1)а(2)). Соответственно и здесь, чтобы получить состояния определенной мультиплетности, мы должны выбрать подходящие линейные комбинации детерминанта Слэтера. Если мы это сделаем, то в качестве энергии взаимодействия мы можем установить кулоновское взаимодействие пары плюс (в син-глетном состоянии) или минус (в триплетном состоянии) обменная энергия. Эта добавка частично компенсируется второй добавкой, [c.183]

Если мы здесь говорим о s-и /7-экситонах, то имеем в виду симметрию функции Uf,. Для определения симметрии полной экси-тонной волновой функции (71.5) необходимо учесть трансформационные свойства Ф (О, Р). Эта функция построена из определителей Слэтера, в которых одна блоховская функция иЛ> заменена на ску. Она преобразуется как произведение представлений функций Блоха электрона и дырки (ср. с Приложением Б). Если мы комбинируем электроны и дырки заданной симметрии посредством объединяющей функции то свойства симметрии экситонного состояния определяются разложением [c.279]

Свойства симметрии кристаллической решетки позволяют сделать целый ряд выводов о свойствах твердого тела. Некоторые из этих выводов мы уже получили в предыдущих параграфах. Так, на трансляционной инвариантностн кристаллической решетки основывается представление зонной структуры твердого тела, описание с помощью блоховских функций и определение электрона в кристалле как квазичастицы ( 18). Общие свойства симметрии функции [c.361]

Одноэлектронное приближение зонной модели соответствует МО-приближению в теории химической связи. Блоховские функции простираются на всю решетку каждый электрон делокалнзован. С далеко идущими применепиями этой модели мы уже встречались в предшествующих главах ). [c.43]

Уравненне Больцмана основывается на представлоннп о свободном движении электронов в твердом теле иод действием внешних полей, которое прерывается процессами взаимодействия с решеткой (испускание п поглощение фононов). Рассматриваемые таким способом электроны представляются как волновые пакеты из блоховских функций. Центр тяя ести волнового пакета (к,, Го) определяет волновой вектор п местоположепие электрона. При таком описании протяженность волнового пакета в к-пространстве должна быть [c.54]

В качестве первого ограпичення воспользуемся только функциями зоны проводимости. Это молшо сделать, если энергия, с которой электрон связан в дефекте, мала по сравнению с энергией, с которой валентный электрон связан в решетке (ширина энергетической щели Ев). В противном случав следует учитывать также блоховские функции валептной зоны. Дефекты, к которым эти ограничения могут быть применимы, называются мелкими, примесями. Данное условие выполняется для большинства допоров. Дефекты, энергия связи которых сравнима с Ео, действуют как ловушки и центры рекомбинации ( 20). Энергии связи важнейших доноров в Се и 81 составляют менее 1 % от ширины запрещенной зовы. [c.70]

Из уравнения (2.37) видно, что описание полупроводников с помощью псевдоволновой функции намного сложнее, чем соответствующее описание простых металлов. Усложнения проистекают, во-первых, из-за необходимости рассматривать зоны с величиной 1/т, сильно отличающейся от значения для свободных электронов,— использование только первого слагаемого в выражении (2.35) было бы совершенно бессмысленным для большинства полупроводников. Вторая трудность, тесно связанная с первой, состоит в том, что блоховскую функцию Mf (r) нельзя представить константой в пространстве вне внутренних оболочек [к чему приводит оператор (1 — Р) в теории псевдопотеициала]. В кристаллах со структурой алмаза она близка к нулю в пространстве между атомами. В этом причина усложнения уравнения (2.37), связанного с появлением множителя р, и трудностей при переходе от псевдоволновой к истинной волновой функции. Наконец, это не позволяет дать ясную постановку задачи при неупорядоченном расположении атомов. Описание эффектов, связанных с изменениями (г), с помощью параметра Р представляет собой, конечно, грубую аппроксимацию. [c.164]

Ситуация оказывается иной, если удалить один электрон. Собственные функции системы (в приближении Хартри — Фока) представляют собой слэтеровский детерминант, в котором нет одного зонного состояния. Поскольку функции Ваннье суть линейные комбинации блоховских функций, отвечающих различным энергиям, они сами по себе не могут быть собственными функциями оператора энергии. [c.189]

Мы предполагали также, что электроны могут распространяться по кристаллу, т. е. описываться блоховскими функциями. Как мы уже указывали ранее, возникает вопрос не происходит ли здесь чего-то, подобного моттовскому переходу, и не становится ли поэтому более подходящим описание, основывающееся на представлениях о локализованных состояниях [c.521]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...