Равномерные асимптотики интегралов

Для построения решения в форме полутеневых полей построим геометрооптическое решение, а затем заменим в нем разрывные функции интегралами Френеля и дополним эту конструкцию краевыми волнами с равномерной по углу асимптотикой. [c.103]

Равномерные асимптотики интегралов. Возникающие в физичес-ких задачах интегралы вида (11.1) помимо большого параметра р, как правило, содержат нескопько допилнительных параметров Ь = bj), = = 1,2,.. . , N. При некоторых значениях А = о может происходить слияние критических точек под интегралом, что нарушает применимость метода перевала при Ь В настоящем разделе мы получим равномерные, т.е. [c.229]

Анютин А.П., Боровиков В.А. Равномерные асимптотики интегралов от быстро-осциллирующих функций с особенностями внеэкспоненциального множителя. -Препринт /ИРЭ АН ССО. - М., 1984. -№ 42 (414). - 53 с. [c.387]

Е. Тангенциальные особенности. Первые приложения, ради которых и была развита (около 1966 г.) теория лагранжевых и лежандровых особенностей, относились к коротковолновым асимптотикам, в том числе — асимптотикам осциллирующих интегралов. Обзор этих приложений (вплоть до нахождения равномерных оценок интегралов при слиянии точек перевала, вычисления асимптотик через многогранники Ньютона, построения смешанных структур Ходжа, применений в теории чисел и теории выпуклых многогранников, оценок индекса особой точки векторного поля и числа особых точек алгебраической поверхности) можно найти в книге Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Т. 2 Монодромия и асимптотики интегралов.— М. Наука, 1984, и в докладе АрнольдВ.И. Особенности систем лучей. Международный конгресс математиков в Варшаве, 1983. [c.456]

Рассмотренные ранее равномерные асимптотики (каустические, полутеневые) можно трактовать как формализацию соответствующих им ситуаций в ПК, поскольку эти асимптотики выражаются через специальные функции, определенные посредством интегралов, аналогичных интегралам, возникающий в ПК- Примеры такой формализации для переходных зон более сложного типа [98, 99, 105 . [c.145]

Волноводные полутеневые поля выражаются не через интегралы Френеля, а через специальную функцию U s, q), введенную в [16] при точном решении частного случая рассматриваемой задачи — дифракции на открытом конце волновода (Ф1 = Ф2=2п). Эту задачу будем использовать как модельную, так как характер ВПТ поля в основном определяется взаимодействием параллельных граней волновода и относительно слабо зависит от углов Ф1 и Фа (для отогнутых назад фланцев). Такой подход позволил [9, 12, 91], используя методологию ГТД, найти первые два члена равномерной асимптотики диаграмм краевых волн, т. е, формул, пригодных при любых углах падения йь Й2 наблюдения ф1, ф2 и растворов фланцев Ф1, Фа. Исключаются лишь значения Ф1, Фг, близкие к л, т, е, излом стенки на малый угол, когда отраженное от фланца ВПТ поле попадает на кромку. [c.210]

Дадим краткий обзор других случаев, для которых построены равномерные асимптотики. Когда под интегралом по бесконечному контуру имеется две перевальные tvvku, эталонным служит интеграл [c.236]

Суммируя, отметим, что мы изложили систематический подход к построению равномерной асимптотики интеграла вида (11.1). Его основными этапами являются а)выделение критических точек б)вь1бор эталонного интеграла, обладаюшего теми же и сходно расположенными критическими точками в)регулярная замена переменных w = (у), приводящая показатель экспоненты в (11.1) к виду, который имеет этот показатель в эталонном интеграле г)аппроксимация регулярной функции в интеграле по новой переменной з, приводящая к нулевой погрешности во всех критических точках. Этот подход в общем случае приводит, к асимптотическому разложению интеграла (11.1) следующей структуры [c.238]

Оценку р2 — второй компоненты отраженного поля — не удается найти методом перевала. Если в (12.76) заменить К на К2(<7 — <71) то амплитуда Л 1 поправочного слагаемого обратится в бесконечность при значении ф таком, что <7о(Ф) = <7 (Ф)- Для вывода асимптотики Фг необходимо явно учесть возможность сближения стационарной точки и точки ветвления под интегралом (12.72). Пользуясь равномерной асимптотикой (11.74) н повторяя рассуждения, приведшие к формуле (12.29), находим [c.273]

Равномерная асимптотика волнового поля в окрестности точки возврата каустики впервые была построена, по-видимому, в работах [472, 337]. Ранее методом эталонных функций были получены алгебраические уравнения для определения значений аргументов интегралов Пирси и амплитудных коэффициентов [442].Отметим,что асимптотика (17.55), (17.56) описывает также поле в окрестности фокуса цилиндрической линзы прн наличии аберрации. Подробнее об этом и об условиях перехода к геометроакустическим результатам см. [151, 11]. [c.381]

Положим д = гИ, х = VI сократим на Выражение (56.4) при Ф1 = Фз = О представляет собой асимптотику (5 —> О, О, 1). Если, кроме того, с Ф то интеграл от асимптотики сходится абсолютно и равномерно. Действительно, положив Ф = Ф2 = = О, путь интегрирования по г можно распространить на всю ось г после подстановки г = 22 1, производимой при 51 > О, получаем произведение интегралов по и каждый из которых сходится абсолютно и равномерно. Отсюда при с Ф 1, с Ф [c.327]

Как мы видим, выражение (14.3) теряет смысл, если и- - 1, или L О (что равносильно в, - 6), или от - 0. Это обусловлено сближением критических точек под интегралом (14.1). В первом и третьем случаях к точке ветвления q = п приближается полюсг7р (12.20) коэффициента отражения, а во втором случае - стационарная точка q = sin во- В строгом смысле говорить о боковой волне можно лищь при условии, что точка ветвления, дающая в асимптотику поля вклад p , удалена от друтих критических точек. В противном случае компоненты поля, имеющие различную природу, как бы объединяются, и непосредственный физический смысл имеет только полное поле. Иногда боковой волной называют не вклад точки ветвления, а весь интеграл (14.1) по берегам разреза. Тогда боковую волну можно определить и в указанных выще особых случаях. Несмотря на известную долю содержащейся в нем условности, этим определением удобно пользоваться, когда основной вклад в интеграл по берегам разреза дает окрестность точки ветвления. Равномерная по L асимптотика pj, содержит функцию параболического цилиндра (см. (11.68)). При от->- О значение Рь можно выразить через интеграл вероятности. Случай слабой границы раздела ( -> 1) рассмотрен в п. 12.5. [c.299]

Условия применимости полученного выше равномерного асимптотического разложения поля в окрестности каустики состоят, во-первых, в требованиях плавности и малости изменения свойств среды на расстояниях порядка длины звуковой волны, что необходимо и для применимости лучевой акустики вдали от каустики, и, во-вторых, в отсутствии других особенностей лучевой структуры в окрестности каустики, где kV t I. Так, формула (17.19) не работает в типичном для дальнего волноводного распространения звука случае сближения каустики (см. [52, 45]). Условия применимости асимптотики (17.19) рассматривались также в работе [107]. Придать им количественную форму позволяет метод эталонных интегралов. Именно, критические точки подьштегрального выражения в (17.1 ) должны быть изолированы от и а второй член асимптотического разложенияр должен быть мал по сравнению с приведенным в (17.14) и (17.19) главным членом. Соответствуюшие неравенства нетрудно выписать, используя материал 11. Так, малость второго приближения означает вьшолнение неравенств (см. (17.11 )-(17.13)) f j Ф1( 1,2)1 1Ф( 1,2)1- [c.369]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...