Условие неприводимости представлений

Для рассмотрения этого вопроса мы опять воспользуемся установленным соответствием представлений группы Лоренца с представлениями группы 0+(4). Условимся неприводимые представления группы О (4), соответствующие неприводимым представлениям группы Лоренца, обозначать через ) [c.249]

Очевидно также, что она является абелевой. Поскольку трансляционная решетка бесконечна, трансляционная группа имеет бесконечный порядок. Однако введением циклических граничных условий (Борна—Кармана) ее можно преобразовать в группу конечного порядка, но с достаточно большим порядком — Л/1Л/2Л/3 Неприводимые представления группы Т (п) записываются в виде прямого произведения неприводимых представлений групп T( j3j) являющихся циклическими с порядком Nj. Для них [c.150]

Наконец, характеры неприводимых представлений группы П(й) удовлетворяют условию полноты [c.103]

Следует сделать еще одно, последнее. замечание. Очевидно, весь предшествующий анализ просто устанавливает необходимые условия вещественности представлений, по которым преобразуется либо пространство собственных векторов, либо пространство нормальных координат. Таким образом, если существует представление группы , по которому преобразуется пространство собственных векторов или нормальных координат колебаний, то оно должно иметь физический смысл. Обратное утверждение неверно при заданной пространственно-временной группе не все неприводимые представления группы, имеющие физический смысл, встречаются в динамике решетки. Определение таких физических неприводимых представлений для конкретных кристаллов рассматривается в 103. [c.245]

Как было отмечено в предыдущем параграфе, вопрос о существенном вырождении при наличии группы непосредственно связан с вещественностью представлений )( ) (/) группы пространственной симметрии кристалла. В этом параграфе мы построим теорию, которая позволяет установить критерий вещественности Предположим, что все неприводимые представления пространственной группы известны. Тогда ясно, что если допустимое малое неприводимое представление )( )(т) группы (Л) вещественно, то и индуцированное представление группы тоже вещественно. Это достаточное условие вещественности, которое в действительности является [c.245]

Используя (83.6) и суммируя результат по всем элементам группы (А), после применения условий ортогональности и нормировки для неприводимых представлений группы к) получаем [c.300]

При выполнении этих условий выражение (4.8) определяет N различных значений приведенных волновых векторов к. Каждое из этих значений соответствует неприводимому представлению группы трансляций. [c.21]

В этом случае говорят, что L(g) и R(g) являются соответственно левыми и правыми регулярными представлениями группы О. В соответствии с условиями (5.3) — (5.5) они являются, как нетрудно убедиться, унитарными. Отметим, что для целого ряда групп, в том числе всех компактных, все неприводимые представления содержатся в разложении регулярного. Неприводимые унитарные компоненты регулярного представления называются унитарными представлениями основной серии. [c.59]

При этом линейная независимость системы фундаментальных старших корней позволяет подобрать степени i/ главных миноров О/(а) таким образом, чтобы получить старшие векторы произвольного неприводимого представления G со старшим весом L из условия Е М гЯ/ = [c.68]

Используя условия ортогональности матричных элементов неприводимых представлений подгруппы Ж, приходим к следующим равенствам, вытекающим из определения (3.5) и формулы (3.6), [c.93]

Отметим, что с групповой точки зрения условие Рз = Ч Г на волновые функции скалярной пары векторного представления означает изотропность вектора трехмерного представления. Оно гарантирует неприводимость представления / = 2, построенного из него, с пятью независимыми базисными векторами (вместо шести, если нарушена изотропность). [c.208]

Для характеров неприводимых представлений справедливы условия ортогональности [c.117]

Этим задается пересечение зон в точке Г при движении вдоль оси Д. Если заменить обозначения Дв на Д и Д4 иа А ., то эти условия совместности можно записать в виде Г,- Д, + Д - Это основа для обычных обозначений неприводимых представлений 0 . [c.378]

Если мы наложим на матрицы А условие унитарности и потребуем, чтобы их детерминант равнялся единице, то получим подгруппу ЗПг группы 8Ь 2,С). Ясно, что 8112 соответствует по (1-14) группе вращений три-простран-ства. [След (1-14) имеет вид 2а ° = 2х°, если А унитарна.] Неприводимые представления 8112 эквивалентны одному из отображений А ° (Л) с А 8172 они обознача- [c.30]

По матрице Ж=Ц/ге у1 построим граф т, его вершины соответствуют неприводимым представлениям, < г > и < у > соединены Шц направленными ребрами из ( г > в < у >. Условимся, что пара противоположно направленных ребер представляется одним ненаправленным ребром. [c.141]

Лемма 2.8. 1) Если группа G абелева, то любое неприводимое представление удовлетворяет условию (R). [c.33]

Доказательство того, что фундаментальное представление группы 0 Ы) удовлетворяет условию (R) в форме (2.12), мы предоставим читателю. Здесь нужно использовать разложение симметризованного тензорного произведения на неприводимые представления и лемму Шура. [c.34]

К аналогичным заключениям можно прийти и для квантовомеханической задачи, которая была рассмотрена в п. 1. Здесь, однако, следует еще раз подчеркнуть, что условие коммутативности (5.8) выполняется только в том случае, если на выбранной системе функций реализуется унитарное представление рассматриваемой группы симметрии. Выбирая в качестве системы функций некоторую полную ортонормирован-ную систему, мы придем к заключению, что при отсутствии случайного вырождения каждому собственному значению оператора энергии соответствует неприводимое представление, по которому преобразуются его собственные функции. [c.65]

В качестве базиса е(М (А, ) можно выбрать матричные элементы неприводимых унитарных представлений основных серий, т. е. в разложении Картана для О выражения типа (3.4) при соответствующих ограничениях на веса А = р, / , которые для краткости обозначим через )у ( ). (Отметим, что в некоторых приложениях разложения соответствующих величин удобно проводить по производящим функциям матричных элементов, имеющих зачастую более наглядную аналитическую структуру и простые свойства.) При этом матричные элементы в соответствии с (3.4) нормируются условием 0[ 1 (1) = и для них выполняются условия полноты и ортогональности в виде (5.3) и (6.4), а также соотношения сопряжения и суммирования [c.103]

Ввиду того, что в дальнейшем функции Ч " будут интерпретироваться как волновые функции квантовомеханической системы и по этой причине должны быть нормируемы, они преобразуются по некоторому неприводимому унитарному представлению цО. Таким образом, согласно приведенным выше условиям функции являются матричными элементами основной непрерывной серии унитарных представлений, взятыми между состояниями, инвариантными относительно правых сдвигов Ж . В свою очередь, матричные элементы перехода между состояниями с векторами ф (/с) в соответствии с реализацией (3.1) определяются формулой [c.112]

Выделение из суперполей неприводимых представлений осуществляется, как и в случае обычных полей, либо наложением дополнит, условий (устраняюищх лишние супер-спины), либо за счёт требования калибровочной инвариантности. Чтобы условия неприводимости были ковари-антны относительно суперсимметрии, они должны строиться из ковариантных дифференц. операторов. Такими операторами являются ковариантные спинорные производные [c.28]

Скалярное произведение в этом случае оказывается вещественным и отличным от нуля только для функций, относящихся к одной и той же строке неприводимого представления. Таким образом, в случае А наличие антиунитарного оператора симметрии делает скалярное произведение вещественным. Это еще одна дополнительное условие, накладываемое на к, /), кроме (106.9). Если бы мы начали вычисления с двумя собственными векторами, относящимися к одной и той же строке представления )(со )(/) то части вычислений, приводящих к (106.48), можно было бы избежать. [c.309]

Суммируем результаты. Наличие элементов антиунитарной симметрии в группе и тот факт, что собственные векторы относятся к неприводимым представлениям группы, приводят к условиям вещественности матричных элементов типа (106.48) и [c.311]

Один из способов интерпретации этих результатов заключается в том, что, строго говоря, ограничение волновых векторов первой зоной Бриллюэна служит для разделения неприводимых представлений группы (см. т. 1, 23) так, чтобы два эквивалентных волновых вектора, связанных (18.1), не считались бы дважды. Но, с другой стороны, представление должно быть непрерывной функцией к, Условие непрерывности может привести к двойной периодичности некоторых представлений в несимморфных структурах, например в алмазе 01- [c.145]

Под функцией на группе Ли f g) понимается функция, зависящая от набора групповых параметров, через которые выражается элемент g из G. Можно показать, что любое неприводимое представление G эквивалентно представлению операторами сдвига в некотором пространстве функций на G. В зависимости от условий, накладываемых на функции из пространства представления, возникают те или иные их типы, конкретизация которых требует введения инвариантной меры на группе G. Реализация G как группы сдвигов пргиводит к следующему определению лево-и правоинвариантных мер d[i g) [c.58]

Соотношения (1.6) и (1.7) обычно позволяют сразу найти размерности неприводимых представлений группы. Например, для группы треугольника число неприводимых представлений равно 3, а сумма квадратов размерностей этих представлений равна 6. Этим условиям удовлетворяет единственный набор целых чисел 1, 1, 2. Легко показать, что абелева группа, каждый к.аасс которой содержит один элемент, имеет только одномерные неприводимые представления. [c.42]

Дополнительную информацию об энергетических зонах в кристалле можно получить, если воспользоваться методами, аналогичными тем, которые применяются при анализе расщепления кристаллическим полем атомных состояний. Рассмотрим состояния, отвечающие некоторой точке симметрии в зоне Бриллюэна. Будем классифицировать эти состояния в соответствии с неприводимыми представлениями группы симметрии волнового вектора в данной точке. Если волновой вектор начинает смещаться из этой точки, его группа становится меньше, и часть вырождения снимаетсям Как и в случае расщепления атомных уровней кристаллически, полем, мы можем определить те неприводимые представления, на которые расщепляется исходное представление. Условия, связывающие неприводимые представления в соседних точках, линиях и плоскостях, называются условиями совместности. Впервые эти условия были рассмотрены Боукартом, Смолуховским и Вигнером 1191 ). [c.104]

Каждое ребро (ху принадлежит самое большее двум плакетам, так что для интегрирования по gxy требуется, чтобы два соседних плакета были носителями одного и того же неприводимого представления а, если (ху ф С. Ясно, что для свободных граничных условий а = 11 вне петли и а = т внутри петли для других граничных условий в термодинами-чеОком пределе также выживают только эти представления.) [c.109]

Доказательство. Предположим сначала, чго Яф —неприводимое представление. Пусть о] — любое состояние, над которым доминирует состояние ф. Тогда найдется элемент 5 е Яф (9 ), удовлетворяющий четырем условиям прелыдуш й леммы. Но поскольку представление Лф неприводимо, мы имеем Яф(Э ) = = (Я/ , и, следовательно, В =7.1. Из условия 2 мы получаем неравенство Из условия 4 следует, что Я = 1. П01ьзуясь [c.117]

В качестве примера применения этой теоремы приведем краткое доказательство теоремы единственности фон Неймана. Для удобства в обозначениях будем рассматривать простейщий случай системы одной степени свободы. Тогда пространство f одномерно, т. е. S = и f = z = x + it/, условие II становится лищним, а условием III можно пренебречь. Для построения любого неприводимого представления 2Взс(С) перестановочных соотнощений в форме Вейля используется единственная нормированная мера [c.309]

Использованный в гл. И для решения задачи о фермионах спина 1/2 метод Янга был обобш.ен Сазерлендом (1975, 1980) на случай произвольного спина, т. е. на случай частиц с п = = 2s + 1 внутренними состояниями. При этом нужно диагона-лизовать матрицу Z(fe), фигурирующую в условиях периодичности, в данном неприводимом представлении ялг. Действительно, как это следует из п. 10.4.2, общий собственный вектор 7> операторов Z/, а также и Z(fe), есть элемент группового кольца дл , имеющий ту же симметрию, что и пространственная часть волновой функции. Эта симметрия отвечает некоторой диаграмме Юнга. Как и в случае п = 2, введем сопряженное представление (0/)=—а/т и диагонализуем Z k) в представлении [c.271]

Соотношение (3.78) можно интерпретировать как условия ортогональности и нормировки системы векторов в m-мерном пространстве. Каждый из этих векторов характеризуется тремя индексами г, ц, v, а его составляюшие равны элементам матриц неэквивалентных неприводимых представлений. Вектор например, имеет составляюшие iv(ffi)i , 0 1(3т)- Число таких векторов, соответствую- [c.38]

Мы знаем, что характеры неприводимых представлений удовлетворяют соотношениям ортогональности и нормировки (3.83). Кроме того, разбивая порядок группы гга на к квадратов целых чисел, мы можем найти согласно (3.93) порядки неприводимых представлений, которые, очевидно, равны характерам этих представлений, соответствуюпщх единичному элементу группы. Однако в общем случае этих условий недостаточно для однозначного определения значений всех характеров неприводимых представлений. Покажем сейчас, что для характеров неприводимых представлений можно дополнительно получить квадратичные соотношения, которые позволяют решить задачу. В главе II было доказано, что всевозможные произведения элементов двух классов группы образуют совокупность, состоящую из целых классов этой [c.42]

Эти условия накладывают сравнительно жесткие ограничения на возмущение. Если, например, возмущение определяется только одним параметром, то, вообще говоря, нельзя удовлетворить сразу двум условиям и, следовательно, пересечение уровней невозможно. Если волновые функции рассматррюаемых уровней преобразуются по неэквивалентным неприводимым представлениям, то второе условие у г = О вьшолняется тождественно (см. (5.32)) и пересечение может произойти даже в том случае, когда возмущение зависит от одного параметра. [c.215]

В заключение отметим, что до тех пор, пока представления не конкретизированы, т. е. от них не требуется унитарности, псевдоунитарности и т. д., параметры р являются произвольными комплексными числами. Наложение соответствующих условий ) (см. (1.5.3) — (1,5.5)) приводит к ограничениям на вещественные и мнимые части этих параметров. Требование интегрируемости с квадратом для функций, заданных на максимальной компактной подгруппе Ж из С, из пространства (регулярного) представления операторами сдвига на С, приводит к однозначности этого представления при условии целочисленности весов /(А). Как будет показано в 11.4, построенные выше представления — операторно-неприводимые, выделение топологически неприводимых компонент из которых основывается на изучении аналитических свойств ядер сплетающих операторов. [c.83]

Условие зануления соответствующих функций непосредственно определяется их аналитическими свойствами (располол ением нулей в весовом пространстве). Именно в этом пункте наиболее наглядно прослел ивается упомянутая в п. 2, II. 1 аналогия асимптотического метода в теории представлений некомпактных групп и потенциальной теорией рассеяния, в которой роль В играют функции Иоста. При этом исследование аналитических свойств (полюсов и нулей) в комплексном пространстве р выделяющее вполне неприводимые и унитарные представления, подобно изучению связанных состояний, резонансов и т. д. на основе аналитических свойств функций Иоста X, р) в комплексной р-плоскости и их физической интерпретации (см., например, [3]). [c.97]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...