Волновой вектор. Первая зона Бриллюэна

Волновой вектор. Первая зона Бриллюэна [c.72]

Ранее отмечалось, что смещения в пространстве волновых векторов на расстояния, кратные 2п/а, физически ничего не меняют. Воспользуемся этим и приведем кривые дисперсии для обобществленного электрона к одной (первой) зоне Бриллюэна тогда вместо рис. 6.9 будем иметь рис. 6.10. На нем штриховкой выделены две разрешенные энергетические зоны 1 — зона проводимости и 2 — валентная зона. Они разделены запрещенной зоной шириной АЕ. В пределах области, выделенной на рисунке штриховой линией, кривые дисперсии как в зоне проводимости, так и в валентной зоне имеют квадратичный характер следовательно, здесь справедлива модель свободных электронов. Правда, масса этих электронов может отличаться от электронной массы кроме того, обратная кривизна квадратичной кривой Б валентной зоне указывает на то, что здесь должна использоваться отрицательная масса. Отрицательности массы можно избежать, если рассматривать в валент- [c.142]

Может оказаться, что к —к лежит вне первой зоны Бриллюэна. В этом случае матричный элемент q , отвечающий приведенному волновому вектору 1 , не равен нулю. Это соответствует процессу переброса Пайерлса. Мы будем учитывать такую возможность, не ограничивая область допустимых значений . в первой зоной, помня, что в соответствующем q величина х представляет приведенный вектор в первой зоне. Тогда член [c.759]

Любой точке А (к ) в обратном пространстве соответствует точка А (к) в первой зоне Бриллюэна, при этом к = =к+ 0. В твердом теле волну, характеризующуюся волновым вектором к, невозможно отличить от волны, описываемой [c.65]

Таким образом, все состояния электронов в периодическом потенциальном поле характеризуются значениями волнового вектора к, лежащего внутри или на поверхности первой зоны Бриллюэна. Как уже говорилось, энергия таких состояний также будет функцией к. В общем случае функция Е = = Е(к) является многозначной, т. е. каждому заданному значению к отвечает несколько значений энергии. Для всех зна-—> [c.69]

Ограничение области изменения волнового вектора к значениями, лежащими внутри первой зоны Бриллюэна, условно, так как все к-пространство может быть заполнено зонами Бриллюэна, центрированными на различных узлах обратной [c.69]

Необходимо построить первую зону Бриллюэна согласно рецепту, содержащемуся в 23. Первая зона Бриллюэна является геометрическим местом всех волновых векторов к, определяющих полный набор неэквивалентных неприводимых представлений группы трансляций 5. Для каждого волнового вектора к в первой зоне Бриллюэна определим звезду к, действуя [c.120]

Наша первая задача — выделить набор всех волновых векторов внутри и на поверхности первой зоны Бриллюэна, необходимых для построения звезды волнового вектора, а затем — полных неприводимых представлений. Первая зона Бриллюэна для группы показана на фиг. 3. [c.105]

Наличие фазовых множителей имеет весьма важное следствие, получаемое непосредственно из анализа таблиц характеров для допустимых неприводимых представлений. Мы можем здесь использовать либо формализм подгрупп, изучая характеры малых групп, либо формализм полной группы, используя ее неприводимые представления. Проблема, которую мы здесь обсудим, заключается в связности ) и классификации неприводимых представлений пространственной группы при изменении волнового вектора k от некоторой точки внутри первой зоны Бриллюэна до ее границы и при его дальнейшем продолжении. Напомним, что из самого определения волнового вектора и первой зоны Бриллюэна (данного в т. 1, 23) следует, что два волновых вектора к и к, связанные соотношением (т. 1, 23.6) [c.142]

Итак, собственные значения и собственные функции оператора трансляции классифицируются значениями волнового вектора к, лежащими в первой зоне Бриллюэна Л-пространства. Такие волновые векторы называются приведенными . [c.21]

В простой кубической решетке первая зона Бриллюэна имеет форму куба. Значения приведенных волновых векторов определяется выражением [c.22]

Перейдем к выяснению физического смысла приведенного волнового вектора к, используемого для характеристики стационарных возбужденных состояний кристалла.. Если к определен в первой зоне Бриллюэна (центр зоны совпадает с к = 0), то каждому абсолютному значению к можно сопоставить длину волны Я возбужденного состояния с помощью равенства [c.22]

Каждый волновой вектор к в первой зоне Бриллюэна, при действии на него всех элементов симметрии точечной группы кристалла, преобразуется в некоторое число волновых векторов, которые вместе с исходным образуют звезду к-представления. Если конец вектора к не попадает в особые точки зоны Бриллюэна (оси симметрии, плоскости симметрии и граница зоны), то число векторов звезды равно числу элементов группы точечной симметрии. Така звезда называется невырожденной. Если конец [c.27]

Вектор g либо равен нулю, либо такому вектору обратной решетки, при котором волновой вектор д остается в первой зоне Бриллюэна. Слагаемые в (9.5), соответствующие значениям д при g7 0 в (9.7), ответственны за процессы, которые получили название процессов переброса . [c.50]

Из (13.31) следует, что фотоны с волновыми векторами Q, лежащими вне первой зоны Бриллюэна, не взаимодействуют с фононами оптических поперечных колебаний ионов в кристалле. [c.72]

Классификация одноэлектронных состояний с помощью энергетических зон а, каждая из которых имеет N подуровней, различающихся значениями приведенных волновых векторов к из первой зоны Бриллюэна, не единственно возможная. В некоторых случаях более удобно определять состояния указанием значений волновых векторов к во всем й-пространстве — расширенном к-пространстве. При этом переходу из одной энергетической зоны Еа (к) в другую р (к) в первой зоне Бриллюэна в расширенном й-пространстве соответствует переход из одной в другую зоны Бриллюэна. На простом примере этот переход обсужден в 20. Энергия Е (к), заданная в таком расширенном й-пространстве на границах зон Бриллюэна, претерпевает разрывы. [c.123]

Суммирование выполняется по всем значениям волновых векторов в первой зоне Бриллюэна. Гамильтониан взаимодействия электронов и фононов [c.264]

Итак, невырожденному возбужденному состоянию свободной молекулы в кристалле соответствует N различных возбужденных состояний, отличающихся значениями волновых векторов к из первой зоны Бриллюэна. В кристаллах больших размеров (по сравнению с постоянной решетки) они образуют квазинепрерывную полосу возбужденных состояний, состоящую из N подуровней. Каждое возбужденное состояние, относящееся к определенному значению волнового вектора к, является коллективным возбужденным состоянием всего кристалла. [c.334]

Вследствие эрмитовости матричных элементов с5 р (й) все сг корней ц(й) уравнения (44.45) являются действительными функциями волнового вектора к. Следовательно, каждому возбужденному состоянию молекулы в кристалле будет соответствовать а полос квазинепрерывных возбужденных состояний. Каждая полоса имеет N подуровней, различающихся N значениями волнового вектора к в первой зоне Бриллюэна. Некоторые из этих по. ос могут перекрываться. [c.338]

Первая зона Бриллюэна является примитивной ячейкой Вигнера — Зейтца обратной решетки. Любая волна с волновым вектором к, проведенным из начала координат и заканчивающимся на поверхности зоны Бриллюэна, будет дифрагирована кристаллом. [c.105]

Предположим, что К лежит вне первой зоны Бриллюэна, но волновой вектор, связанный с ни.м соотношением К = = К — (2яа/а), где п — целое число, лежит в первой зоне. Тогда отношение смещений (5.24) можно записать так [c.186]

Один из способов интерпретации этих результатов заключается в том, что, строго говоря, ограничение волновых векторов первой зоной Бриллюэна служит для разделения неприводимых представлений группы (см. т. 1, 23) так, чтобы два эквивалентных волновых вектора, связанных (18.1), не считались бы дважды. Но, с другой стороны, представление должно быть непрерывной функцией к, Условие непрерывности может привести к двойной периодичности некоторых представлений в несимморфных структурах, например в алмазе 01- [c.145]

Проведенное нише рассмотрение аналогично ониса нию нормальных мод гармонического кристалла в гл. 22. В частности, состояние к) может быть образовано точно для N )азличных волновых векторов первой зоны Бриллюэна, если принять граничное условие Зорна—Кармана. Поскольку значения к, отличающиеся на вектор обратной решетки, приводят к эквивалентным состояниям, достаточно рассмотреть только эти N значений. Читатель также может убедиться, используя соответствующие тождества из приложения Е, что состояния I к) ортонормированы, т. е. (к к ) = [c.319]

Ранее мы показали, что число состояний (волновых векторов) в зоне Бриллюэна равно числу примитивных ячеек в кристалле. Каждое из этих состояний дважды вырождено из-за спина, поэтому каждая энергетическая зона может вместить по два электрона на примитивную ячейку. Гранецентрированная кубическая решетка ялюминия содержит один атом на примитивную ячейку, а каждый атом алюминия может отдать три электрона (лежащих вне уровней сердцевины). Таким образом, в алюминии достаточно электронов, чтобы заполнить ровно полторы зоны. В основном состоянии алюминия будут заняты все уровни вплоть до энергии, называемой энергией Ферми, или уровнем Ферми в алюминии уровень Ферми проходит немного выше третьей зоны в точке W. Овечающая ему горизонтальная линия как раз указывает, до каких пор зоны заполнены. Оказывается, что в этом случае первая зона целиком заполнена, вторая и третья зоны заполнены частично, а четвертая и более высокие зоны пусты. Существование в основном состоянии частично заполненных зон — характерная черта металлов. [c.107]

Для того чтобы понять разницу между N- и [7-процессам.и, рассмотрим поведение фононов в первой зоне Бриллюэна простой примитивной квадратной решетки с параметром а (рис. 6.16). Пусть в результате столкновения в точке О двух фононов с волновыми векторами ki и кг образуется фонон с волновым вектором кз=к1-[-к2 (рис. 6.16,а). Если исходные векторы таковы, что суммарный вектор кз не выходит за границы зоны Бриллюэна, то все три вектора имеют положительные относительно kx направления и для них справедливы условия (6.82) и (6.83) при 0=0. Описанная картина соответствует N-процессу. Так как тепловая sneff- [c.189]

Итак, для полного описания всей совокупности состояний электрона в кристалле достаточно рассматривать только область значений к, ограниченную первой зоной Бриллюэна. Тем не менее, иногда полезно считать, что волновой вектор может изменяться по всему к-пространству. Поскольку для любых двух значений к, от-личаюш,ихся на вектор 2пН, все волновые функции и уровни энергии одинаковы, энергетическим уровням можно приписывать индексы п так, чтобы при заданном п собственные функции и соб- [c.221]

Электроны описываются с помощью расширенной зонной схемы, так что волновой вектор к не обязательно лежит в первой зоне Бриллюэна. Обозначения волнового вектора отдельных состояний выбирается преимущественно таким образом, чтобы приближения относительно матричного элемента, уноминавшиеся выше, были бы ] ак можно более справедливыми. Это значит, что электрон в состоянии к рассматривается как свободный электрон с тем же волновым вектором. Как и обычно, чтобы получить дискретную систему-значений для к, вводятся периодические граничные условия. Мы будем пренебрегать спин-орбитальным взаимодействием и, где необходимо, обозначать спин индексом s, который может принимать значения iV2- [c.758]

Нормальные типы колебаний кристаллртческой решетки состоят из волн, которым можно приписать волновой вектор ос, принимающий значения, лежащие в первой зоне Бриллюэна. Если в элементарной ячейке находится один атом, то имеется N различных величин х и для каждого у. три независимые волны, соответствующие различным поляризациям и обозначаемые а=1, 2, 3. Смещение oR иона из положения равновесия может быть представлено в виде ряда обычного типа по координатам q a. [c.758]

Результаты графического решения задачи для плоских зон Бриллюэна приведены на рис. 12.2. L 12.3. Границами первой зоны Бриллюэна для одномерной решетки с периодом d являются точки, находящиеся на расстоянии Tijd от начала координат границы последующих зон находятся на расстояниях, кратных n d. Таким образом, значения волнового вектора в произвольной точке задаются выражением [c.299]

Обратимся теперь к содержанию последующих глав 4 и 5. Каждая пространственная группа содержит нормальную подгруппу трансляций Поскольку группа X абелева (в действительности является прямым произведением трех циклических групп), ее неприводимые представления и неприводимые линейные векторные пространства одномерны. Неприводимые представления характеризуются волновым вектором к и бло-ховским вектором [21]. Набор допустимых значений к заполняет первую зону Бриллюэна кристалла и характеризует все неприводимые представления группы 3 . [c.49]

Функция Еа, (к), характеризующая энергию одноэлектронных состояний, при фиксированных а и 5 является квазинепре-рывной функцией волнового вектора, принимающего N значений в первой зоне Бриллюэна. Совокупность значений Еа к) для разных к образует полосу или зону разреше И ых энергий. Эти полосы разделяются запрещенными областями энергии или частич1Ю перекрываются. Одпако даже при перекрывании полос [c.144]

Пространственно-однородные элементарные возбуждения в кристаллах. В идеальном кристалле матричные элементы Л1 и D m s) зависят только от разности п — т. Поэтому квазиста-ционарные одночастичные элементарные возбуждения характеризуются значениями вещественных волновых векторов к, заполняющих первую зону Бриллюэна в ft-пространстве. Энергии таких элементарных возбуждений будут, вообще говоря, комплексными величинами. Мнимая часть энергии отражает квазистационарность одночастичных элементарных возбуждений, обусловленную принципиальной невозможностью их строгого отделения от других типов возбуждений в системе. [c.524]

Предположим, что мы используем значения К, лежащие вне первой зоны Бриллюэна (рнс. 5.13в). Такие значения просто воспроизводят движения решетки, уже описанные значенпямп К, лежащими в предела.х я/а. Таким образом, величину К внутри этих пределов можно рассматривать как результат вычитания соответствующего значения, кратного 2п/а, что дает в результате волновой вектор, величина которого лежит внутри указанных пределов. [c.186]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...