Группа ковариантности

Это определение оказывается достаточным для того, чтобы добиться ковариантности закона Ньютона относительно группы Лоренца и получить, таким образом, динамику принципа относительности. [c.344]

Этот единственный ковариантный вектор дает два (противоположных) контравариантных вектора в зависимости от того, какую из групп уравнений мы используем (111.6) или (111.7) это соответственно векторы [c.409]

В связи с этим заметим, что академиков., А. Фок указывал, что всякая теория, кроме явно нелепой, должна быть ковариантна относительно группы, преобразований, отражающей особенности этой системы. Более подробно на этом вопросе мы здесь не будем останавливаться. [c.24]

Поскольку при записи уравнений Лагранжа в новых переменных (<, X, у, г) —) х, у, г ) происходит также и перепроектирование их на новые оси, то закон преобразования левых частей написанных уравнений навязывает тот же закон и для преобразования правых частей. В трехмерном случае при переходе от одной инерциальной системы к другой стоящие в правых частях силы изменяются. Для одномерного случая это не так сила Р одна и та же во всех системах координат и представляет собой обычную ньютонову силу. В одномерном случае уравнение механики инвариантно по отношению к лоренцевой группе, в трехмерном оно ковариантно. [c.277]

Перечисленным преобразованиям, относительно которых уравнения поля ковариантны, соответствуют фундаментальные законы сохранения, имеющие смысл сохранения импульса, момента импульса и энергии (всего десять законов сохранения). Если удается разыскать иные группы инвариантности действия и получить дополнительный закон сохранения, то его принято называть нетривиальным ). [c.669]

Вторая группа канонических уравнений представляет закон движения (7.8.11)— ускорение изображающей точки равно действующей силе — в ковариантной записи [c.507]

Вспоминая, что импульсы р являются ковариантными составляющими вектора скорости v изображающей точки в римановом пространстве с метрикой кинематического элемента можно первую группу уравнений (14) записать также в виде [c.742]

Принцип относительности налагает ограничения на структуру уравнений (3.4) они должны быть ковариантны относительно группы преобразований (3.7), т. е. иметь одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета. Нетрудно проверить, что правая часть (3.4) может зависеть лишь от относительных координат и скоростей [16] [c.28]

Таким образом, полная группа симметрии определяется пересечением двух групп симметрии, т. е. содержит элементы, являющиеся общими у этих двух групп. Как правило, группа (5) имеет более низкую симметрию, чем группа ( ), и часто является подгруппой последней. В этом случае симметрия системы понижается. В соответствии с леммой о существенном вырождении все свойства системы следует классифицировать по группе полн и ее неприводимым представлениям. Основной интерес представляют свойства двух типов либо тензорные характеристики, определяющие макроскопический отклик системы, а также члены разложения ковариантных величин, либо свойства типа правил отбора для переходов между различными [c.247]

В силу 2 ( ) = "Аг 2 (а) элементы матрицы Ламэ следует воспринимать как ковариантно-инвариантные составляющие метрического тензора которые при преобразованиях групп А и В преобразуются по формулам [c.113]

Вопрос о полной классификации конечномерных алгебр Ли сводится к нахождению всех возможных наборов структурных постоянных, удовлетворяющих указанным выше условиям (и вполне определяющих закон композиции в некоторой окрестности соответствующей группы Ли). Иначе говоря, описание всех типов алгебр Ли эквивалентно нахождению всех решений тождества Якоби на классе вещественных тензоров третьего ранга с одним контравариантным и двумя ковариантными индексами, по последним из которых он антисимметричен. В полной мере эта задача до настоящего времени своего решения не получила. [c.13]

Лемма. Пусть G — группа симметрии в описании (3i, , ( )), Ф — состояние из множества с и Яф, — ковариантное представление, ассоциированное с ф ло теореме 5. Всякому состоя- [c.227]

Введенный выше набор инъективных отображений 2,1 устанавливает на (Я отношение изотонности. Локальную коммутативность, о которой шла речь в 1, здесь следует понимать вместе с условием а 2 как соотношение 010 2=0- В качестве группы ковариантности мы могли бы выбрать группу всех пре- [c.379]

Из Паули теоремы следует теперь, что для п(ь лей целого спина, полевые функции к-рых осуществляют однозначное представление группы Лоренца, при квантовании по Бозе — Эйнштейну коммутаторы [и (z), м( /)] или [м(л ), ( (у)] пропорц. ф-ции D x—y) и исчезают вне светового конуса, в то время как для осуществляющих двузначные представления полей полуцелого сниыа то же достигается для антикоммутаторов [и(х), и у)] (или [i (a ), (у)] + ) при кваа- товании по Ферми — Дираку. Выражаемая ф-лами (6) или (7) связь между удовлетворяющими линейным ур-ниям лоренц-ковариантными ф-циями поля и или v, v и операторами л, ai рождения и уничтожения свободных частиц в стационарных квантовомеханич. состояниях есть точное магем. описание корпускулярно-волнового дуализма. [c.302]

Классическая хромодинамика. Кварковые поля 9 (а ) реализуют фундам. представление группы SU(S) -Ур-пие движенпя для кварковых нолей, инвариантное относительно калибровочных преобразований, получается (как и в электродинамике) путём замены производной д , д дXjx (ц=0, 1, 2, 3) в Дирака уравнении для свободного поля на т. н. ковариантную производную [c.311]

КОВАРИАНТНОСТЬ — свойство фпз. величин, они сывающих данное явление или круг явлений, преобра зовываться по представлениям группы инвариантности установленной или предполагаемой для этого круга Подробнее см. Инвариантность. в. П. Павлов. [c.390]

Релятивистски-ковариантная запись М. у. позволяет легко находить инвариантные комбинации полей, токов и потенциалов (4-скаляров или инвариантов Лоренца группы), сохраняющихся, в частности, при переход от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Во-первых, это чисто полевые инварианты (см. Инварианты, электромагнитного поля). Во-вторых, это токовые (источниковые) инварианты [c.37]

Квантовая механика ставит в соотвегствие каждой частице поле её волновой ф-цин, дающее распределение различных, относящихся к частице физ, величин. Концепция поля является основной для описания свойств элементарных частиц в их взаимодействий. Конечная цель в этом случае — нахождение свойств частиц из ур-ний поля и перестановочных соотношений, определяющих квантовые свойства материи. Возможный вид ур-ний поля ограничен принципами симметрии и инвариантности, являющимися обобщением эксперим. данных. Лоренц-ковариантность, напр., требует, чтобы волновые ф-ции частиц преобразовались по неприводимым представлениям группы Лоренца. Таких представлений бесконечно иного, однако только часть пз них реализована в природе и соответствует тем или иным элементарным частицам. Реально используются наиб, простые ур-вин полей, являющиеся локальными и не-ревормвруемыми. Попытки построения теорий, не удовлетворяющих этим требованиям,— нелинейной, нелокальной и т. п. теорий поля — влекут за собой пересмотр ряда важнейших принципов, существенных при физ. интерпретации теории (принцип суперпозиции, положительность нормы волновой ф-цив н т. Д.). [c.56]

При изучении топологич. свойств методами алгебраической Т. каждому (достаточно хорошему) пространству сопоставляется алгебраич. характеристика — линейное пространство, группа, кольцо и пр., причём это сопоставление (функтор) должно обладать свойством естественности или ковариантности отображениям топологич. пространств сопоставляются алгебраич. отображения (гомоморфизмы—см. Группа) их алгебраич. характеристик. Простейшим примером является фундаментальная группа пространства. Элементами фундаментальной группы п Х, Хо) пространства X с отмеченной точкой Хо являются гомотопические классы петель — замкнутых путей с началом и концом в точке Ло (в процессе гомотопии начало и конец пути должны оставаться [c.146]

Зависимости (2.1.1), (3.2.8), (3.3.4), (3.3.7), (3.3.8) составляют полную систему уравнений задачи устойчивости, составленную для того случая, когда пренебрега-ется как нелинейностью основного равновесного состояния, так и докритическими деформациями. Для оболочек тонкостенных пологих и для теряющих устойчивость с образованием большого числа выпучин, в пределах каждой из которых оболочку можно рассматривать как пологую, эти уравнения допускают дальнейшие упрощения. В этом случае можно отождествить метрику на поверхности приведения с евклидовой метрикой (Л = = 1), принять приближенные равенства (3.2.21), отождествить компоненты тензоров поверхности с их физическими составляющими, а оператор ковариантного дифференцирования с оператором частного дифференцирования д . Соответствующая данному приближению система линейных дифференциальных уравнений устойчивости слоистых пологих оболочек включает в себя следующие группы зависимостей [c.62]

Рассмотрим теперь вопрос о группах симметрий уравнений Ньютона, т.е. о тех группах преобразований, которые переводят инерциальные системы отсчета снова в инерциальные. При этом, как уже отмечалось во введении, следует различать понятия инвариантности и ковариантности уравнений по отношению к тем или иным преобразованиям переменных и времени. Если мы хотим рассмотреть вопрос об инвариантности уравнений в какой-то конкретной задаче механики, то следует иметь ввиду конкретную зависимость сил от времени, координат и скоростей, и инвариантность изучать с учетом этой зависимости. Если же нас интересует инвариантность правила составления уравнений, а не самих уравнений (ковариантность уравнений), то зависимостью силы от указанных переменных интересоваться не нужно, рассматривая сами силы в качестве дополнительных преобразуемых переменных. При решении вопроса о связи инерциальных систем отсчета друг с другом нас интересует именно вторая постановка. [c.267]

Ограничиваясь квадратичной формой в разложении (/(( , D ), учитывая для анизотропных тел выражение закона Гука, заключаем, что ковариантность разложения требует существования еще двух групп констант вещества двухиндексных — для сверток компонент вектора Е и трехиндексных — для сверток компонент ij и Ek. В результате [c.273]

Здесь Sa— изменение во времени градиента компонента тензора дпс-торсии, а = 1, 2,., , , 9 Л — градиент компонента тензора дисторсии, отражающий калибровочное поле t — предельная скорость распространения калибровочного поля в структурно-неоднородной среде —градиент компонента тензора изгиба-кручения —структурные константы, учитывающие, что калибровочные поля образуют алгебру Ли Я — генераторы группы GL(3) —источники калибровочных полей, связанные с изменением репера т] во времени — потоки, обусловленные изменением репера в пространстве D — = — XMv — ковариантная производная S , 2 — компоненты тенг зора напряженности калибровочного поля Сйр — упругие константы р — плотность материала I — размерный параметр структурных уровней деформации среды. [c.11]

В квантовой теории кристаллической решетки, в частности при рассмотрении оптических свойств, существенную роль играют различные физические величины, которые зависят от смещений ионов из их положений равновесия. Мы рассмотрим здесь три характерные величины У —потенциальную энергию кристалла М — электрический момент кристалла Р —поляризуемость кристалла. Это типичные инвариантные и ковариант-ные величины, свойства преобразования которых мы изучим. В динамической теории эти величины или связанные с ними квантовомеханические величины используются непосредственно при получении количественных выражений для коэффициента инфракрасного поглощения или сечения комбинационного рассеяния света. Обсуждение использования этих величин в такой теории приведено ниже в 120, а та сже в работах [8, 67]. Здесь мы изучим возможность получения максимальной информации об этих инвариантных и ковариантных кристаллических величинах с помощью группы пространственной симметрии . В этрм параграфе кристаллические инварианты обсуждаютря только на основании теории представлений, т. е. рассматривается действие только унитарной группы к). [c.326]

В заключение укажем общую схему. Для любой физической величины, которая преобразуется ковариантно при общих поворотах, нужно сначала найти представления группы , т. е. пространственной группы, по которой преобразуются компоненты ковариантной физической величины. Чтобы в разлол<ении этой физической величины по нормальным координатам возникло некоторое конкретное произведение, необходимо, чтобы это конкретное произведение содержало линейное векторное пространство, соответствующее тем же представлениям группы , что и при преобразованиях коварианта как целого. Так как нормальные координаты, согласно (86.30), являются базисом для неприводимого линейного векторною пространства, во всех случаях, чтобы выбрать конкретное произведение, нужно использовать правила приведения обычного и симметризованного произведений матриц и степеней неприводимых представлений пространственных групп. [c.350]

Если законы природы формулируются в виде 1фвариант-ных уравнений между 5-тензорами, то их градиентная инвариантность очевидна, поскольку группа градиентных преобразований является подгруппой общих преобразований пяти координат. При переходе к четырехмерной записи уравнений и выделения координаты действия следует следить за тем, чтобы градиентная ковариантность сохранялась. Выведем общие формулы преобразования 5-тензоров при градиентных преобразованиях (1,41). [c.26]

Закон преобразования для величин (9.286) очень сложен, но для группы калибровочных преобразований Г и Г являются контравариантными и ковариантными компонентами 4-вектора. Это легко показать, если вспомнить, что калибровочные пребразования не изменяют систему отсчета. Каждая система отсчета R в 4-пространстЕе описывается семейством мировых линий точек отсчета = onst или соответствующим полем касательных времениподобных единичных векторов, направленных в будущее. Эти единичные векторы равны VV , где Fj — 4-скорости точек отсчета системы R. Тогда Г и F-j являются компонентами этих единичных векторов в любой внутренней системе координат S в R, поскольку пространственные компоненты равны нулю и [c.252]

Предположим, что ф1(ж) —свободное эрмитово скалярное поле массы т > О, а фг(ж) — локальное поле, ковариантное относительно неоднородной группы 8Ь 2,С). Предположим далее, что поля ф1(ж), ф1(ж), фг(а ), фг(ж) удовлетворяют условиям теоремы 4-14. Тогда Фг(а ) — свободное поле массы т. [c.233]

Содержание теоремы 4-17 позволяет применять ее в обычном случае, когда базисные поля ковариантны относительно неоднородной группы 8Ь (2, С), а соответствующие им нековариантные канонически сопряженные импульсы необходимы для образования неприводимого набора операторов в заданный момент времени. [c.234]

Тот факт, что соотношения, приведенные в 66—67, являются ковариантными при преобразованиях Р = onst группы вращений, станет теперь очевидным, так как будет показано, что матричные операции в 65 эквивалентны операциям с произведениями векторов. [c.69]

Теорема 6. Пусть О — усреднимая группа симметрии в описании (Э1, ,( )). Для любого состояния ф из множества о рассмотрим ковариантное представление (Лф (Я), 7ф (С)), о котором говорилось в теореме 5. Пусть — оператор проектирования на подпространство пространства образованное всеми векторами, инвариантными относительно (О). Пусть далее [c.232]

Лемма. Пусть усреднимая группа G служит группой симметрии в описании (Я, , ( )) и т] — инвариантное среднее на О. Тогда для каждого ковариантного представления (л (Я), i/(G) ) существует отображение Tin, действующее из Ш в я Ш)"г и G) и такое, что [c.234]

Теорема 7. Пусть усреднимая группа С является группой симметрии в описании (Я, )). Для любого состояния фе д рассмотрим ковариантное представление (Яф(Я), и (0)), о котором говорится в теореме 5. Пусть т]ф — отображение, ассоциированное с ним по предыдущей лемме, и 31 — алгебра фон Неймана, порожденная представлением (Яф(Э1), и 0)). Тогда необ- [c.235]

Лемма. Пусть С — усреднимая группа симметрии в описании физической системы (3 , , ( )) (мы предполагаем, что группа С обладает ц-абелевостью)-, ф/ (/=1, 2) суть С-инвариантные состояния на 3 , причем ф] есть г -кластер] (лу (Э ), Uj (С) — ковариантное представление, ассоциированное с ф/ Ж, — пространство представления и Ф/ — соответствующий циклический вектор, Ц/ t) i — слабо непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов, действующих в пространстве Ж) и таких, что П Ц) Ф/ == Ф е К лковариантное представление, определенное для всякого t е Й соотношениями [c.320]

Лемма. Пусть О — усреднимая группа симметрии в описании физической системы (3 , , ( )) [мы предполагаем, что группа О обладает ц-абелевостью)] (f Ц = , 2) суть О-инвариантные состояния на 3 , причем ф] есть ц-кластер (лу (Э ), П/ (С) — ковариантное представление, ассоциированное с ф/ <3 / — пространство представления и Ф/ — соответствующий циклический вектор-, [Ц] (/) и е К — слабо непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов, действующих в пространстве и таких, что 0 t) Ф] — Ф/ К (Э ), ир (С) — ковариантное представление, определенное для всякого 1 е К соотношениями [c.321]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...