Ковариантное представление

В ковариантном представлении компоненты Хе> Ч образуют асимметричный 4-тензор напряженности упругого поля = (Xg, w ). Соответственно, для материальных компонент имеем 4-тензор упругой поляризации среды Fj = Хт, ш ). Полный тензор [c.234]

Представление, удовлетворяющее заключению теоремы 5, называется ковариантным представлением (я, U) упорядоченной пары (81, G). [c.215]

Лемма. Пусть G — группа симметрии в описании (3i, , ( )), Ф — состояние из множества с и Яф, — ковариантное представление, ассоциированное с ф ло теореме 5. Всякому состоя- [c.227]

Общие представления о ковариантных формах уравнений движения [c.121]

Вектор напряжения Ть. может быть представлен тремя составляющими по отношению к векторам ковариантного базиса вт, т. е. [c.36]

По аналогии с представлением вектора (тензора первого ранга), контравариантные и ковариантные компоненты которого при повороте координатных осей преобразуются по формулам (2 . 11) и (2 . 14), можно дать следующее определение тензора любого ранга и любого строений (контравариантный, ковариантный). [c.410]

Уже было указано, что теории поля должны обладать достаточной общностью, чтобы содержать в себе постулаты специальной теории относительности. В связи с изучением движения материальной точки с аналитической точки зрения в гл. X было сочтено возможным включить релятивистские закономерности двумя способами. Из них ковариант-ный способ, несомненно, был проще. Он и принимается как руководящий принцип для представления процесса в случае полей. Нельзя принять ковариантную запись точно в таком же виде, как в гл. X однако исследование соотношения (9.12) наводит на мысль о новом варианте. Так как [c.153]

Вернемся к квадрату линейного элемента (3.3.1) учитывая (3.3.2), (3.3.3), приходим к его известному представлению квадратичной формой дифференциалов dq , образуемой с помощью матрицы ковариантных компонент тензора G [c.72]

Тензор P здесь представлен его контравариантными, ковариантными и смешанными компонентами. [c.881]

В (12.81) или (12.82) будут присутствовать также (не выделенные пока) материальные постоянные среды. Если их возможно представить скалярным телесным метрическим полем, то такой материал целесообразно называть изотропным. Если такое представление невозможно и требуются тензорные телесные поля, не являющиеся изотропными, то такие материалы следует называть анизотропными В случае, когда материальные постоянные можно представить телесными полями, не зависящими от времени, то говорят, что реологические свойства материалов не изменяются со временем. Если материальные постоянные выражаются через телесные поля, ковариантная производная которых (образованная с помощью телесного метрического тензора) равна нулю, то среда считается гомогенной. Если телесный метрический тензор зависит от времени, то среда, гомогенная в какой-то момент времени в общем случае, в другой [c.413]

Дифференцирование пространственных тензоров по координатам осуществляется с учетом переменности базисных векторов, что приводит к понятию ко-вариантной пространственной производной. Для пространственных ковариантных производных тензоров первого и второго рангов справедливы представления [c.23]

Отсюда и из (1.1.30) следуют искомые представления пространственных ковариантных производных векторного поля (1.1.32) через ковариантные производные в метрике поверхности [c.25]

В (5.6.6) — метрический тензор V — оператор ковариантного дифференцирования по X при фиксированном у. Отметим, что матрица A(x-j ), рассматриваемая как функция аргумента является фундаментальным решением сопряженного оператора Q (V) = Q(-V). Используя известное [71] представление функции Макдональда K (z) в форме степенного ряда, можно показать, что при х у ядра j x - j ) имеют следуюш ий характер полярностей [c.158]

Из представления вектора активной силы через его ковариантные составляющие [c.262]

Теорема 6. Пусть О — усреднимая группа симметрии в описании (Э1, ,( )). Для любого состояния ф из множества о рассмотрим ковариантное представление (Лф (Я), 7ф (С)), о котором говорилось в теореме 5. Пусть — оператор проектирования на подпространство пространства образованное всеми векторами, инвариантными относительно (О). Пусть далее [c.232]

Лемма. Пусть усреднимая группа G служит группой симметрии в описании (Я, , ( )) и т] — инвариантное среднее на О. Тогда для каждого ковариантного представления (л (Я), i/(G) ) существует отображение Tin, действующее из Ш в я Ш)"г и G) и такое, что [c.234]

Теорема 7. Пусть усреднимая группа С является группой симметрии в описании (Я, )). Для любого состояния фе д рассмотрим ковариантное представление (Яф(Я), и (0)), о котором говорится в теореме 5. Пусть т]ф — отображение, ассоциированное с ним по предыдущей лемме, и 31 — алгебра фон Неймана, порожденная представлением (Яф(Э1), и 0)). Тогда необ- [c.235]

Теорема 9. Пусть ф — состояние КМШ на 9 относительно временнбй эволюции щ. Обозначим через Яф(8i), С/ф(К) ковариантное представление, канонически сопряженное с ф. Пусть Уф (Я) — антилинейное -представление Ш, определенное соотношением Уф (/ ) Ф (8) = Ф(5/ 0 для всех и всех Обозначим через Vф(8i) непрерывное расширение отображения Уф(Я) с Я на 9 . Тогда на суи ествует оператор С, такой, что [c.257]

Доказательство. Поскольку пространство сепарабельно, бикоммутант Я(p(8i)" допускает счетное разложение ), и поэтому [77, гл. 1, 3, п. I, предложение 1] единичный шар в Лф(0 )" метризуем в сильной операторной топологии. Таким образом, следствие 1 сразу же вытекает из теоремы 10, если вспомнить, что Яф(91), /ф (К) — ковариантное представление, канонически ассоциированное с состоянием ф, Ф — циклический вектор, соответствующий состоянию ф в этом представлении, (ф X) = (Ф, ХФ) для всех X е (Я)" и щ [X] С/ф (1) Хи [—1). [c.260]

Лемма. Пусть С — усреднимая группа симметрии в описании физической системы (3 , , ( )) (мы предполагаем, что группа С обладает ц-абелевостью)-, ф/ (/=1, 2) суть С-инвариантные состояния на 3 , причем ф] есть г -кластер] (лу (Э ), Uj (С) — ковариантное представление, ассоциированное с ф/ Ж, — пространство представления и Ф/ — соответствующий циклический вектор, Ц/ t) i — слабо непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов, действующих в пространстве Ж) и таких, что П Ц) Ф/ == Ф е К л[c.320]

Лемма. Пусть О — усреднимая группа симметрии в описании физической системы (3 , , ( )) [мы предполагаем, что группа О обладает ц-абелевостью)] (f Ц = , 2) суть О-инвариантные состояния на 3 , причем ф] есть ц-кластер (лу (Э ), П/ (С) — ковариантное представление, ассоциированное с ф/ <3 / — пространство представления и Ф/ — соответствующий циклический вектор-, [Ц] (/) и е К — слабо непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов, действующих в пространстве и таких, что 0 t) Ф] — Ф/ К (Э ), ир (С) — ковариантное представление, определенное для всякого 1 е К соотношениями [c.321]

Теорема 5. Пусть ф есть и -инвариантное состояние на Я, (Лф(8 ), и— ковариантное представление, канонически ассоциированное с состоянием ф, и Е (А) — проекционно-значная мера, ассоциированная с U , R ) в силу теоремы СНАГ. Пусть F+= [c.368]

Из доказательства явствует, что первая часть теоремы остается в силе для любого ковариантного представления упорядоченной пары (Я, К ), удовлетворяющего спектральному условию, если оператор проектирования ф(А = 0) циклический относительно Лф(Э ). Если же оператор проектирования ф(А = 0) к тому же одномерен, то представление Лф(Э ) неприводимо на подпространстве гильбертова пространства Ж, порожденном векторами л , (Ш) (А = 0) Ж. Именно в такой форме теорема была доказана Араки [12] (см. также работу Рюэля [336]). [c.369]

Был сфорхмулирован [41, 82, 281] ряд алгебраических условий, эквивалентных условию существования ковариантного представления упорядоченной пары (Я, К ), удовлетворяющего спектральному условию, и было доказано [89], что эти условия не зависят от остальных аксиом (т. е. аксиом изотонности, локальной коммутативности и К -ковариантности) теории, даже если теорию ограничить, потребовав дополнительно, чтобы алгебра К была простой и удовлетворяла аксиоме сечения времени (т. е. если А — область пространства Минковского Ш, заключенная между двумя гиперплоскостями ( , и ( 2, К ), то чтобы семейство 01 (О) 1 й е й, й с= А) уже порождало алгебру Ш эту аксиому иногда называют аксиомой слабой примитивной причинности [163]). [c.370]

Клиффорда алгебра 351 Ковариантное представление 215 Ковариантности группа 379 [c.417]

В любом случае, однако, предполагаются выполненными исходные предположения, сформулированные в 2. Отход от этих предположений невозможен в пределах классической механики и приводит к построению иных систем механики. Такая ситуация возникает, например, при отказе от описанных гыше представлений о пространстве и времени и от принципа относительности Галилея. Именно отказ от этих исходных представлений о времени и пространстве и предположение о том, что уравнения и законы механики должны быть инвариантны (или ковариантны) по отношению не к преобразованиям Галилея, а к иным преобразованиям-преобразованиям Лоренца, привели к появлению релятивистской механики. С этими исходными представлениями связаны ограничения, в пределах которых законы классической механики могут применяться при изучении движения объектов реального мира. [c.66]

До сих пор в основе всех наших рассуждений лежали некоторые исходные представления, играющие во всем последующем построении роль аксиом. Мы постулировали, в частности, второй закон Ньютона и при гыводе основ ых законов и теорем механики всегда исходили из него. В настоящей главе, выводя уравнения движения в форме, ковариантной по отношению к любым точечным преобразованиям координат, мы также положили в основу рассуждений второй закон Ньютона и в конечном результате придали ему форму уравнений Лагранжа. В этом смысле второй закон Ньютона оказывается эквивалентным утверждению о том, что движение может быть описано уравнениями (22), а движение в потенциальном поле — уравнениями (29), где L = T—К. [c.164]

Использовав формулы (1.117), (1.122) и полиадные представления тензорного поля в локальном базисе, можем получить формулу для ковариантной пронзБоднон любых компонентов тензора любого ранга например, [c.322]

Если исходить из наших обычных кинематических представлений, то эти два постулата противоречат один другому. Однако Эйнштейн показал, что их можно примирить, если отказаться от нашего обычного представления о существовании абсолютного времени . Он нашел соотношение, которое должно связывать результаты измерения расстояния и времени, производимые двумя наблюдателями в системах отсчета, одна из которых движется относительно другой с постоянной скоростью. Получившиеся уравнения показывают, что время t утрачивает свой абсолютный характер и должно быть теперь добавлено к трем пространственным координатам. Время / превратилось из инвариантной величины в ковариантную, тогда как скорость света с, наоборот, из ковариантной величины в г нвариантную. [c.332]

Из Паули теоремы следует теперь, что для п(ь лей целого спина, полевые функции к-рых осуществляют однозначное представление группы Лоренца, при квантовании по Бозе — Эйнштейну коммутаторы [и (z), м( /)] или [м(л ), ( (у)] пропорц. ф-ции D x—y) и исчезают вне светового конуса, в то время как для осуществляющих двузначные представления полей полуцелого сниыа то же достигается для антикоммутаторов [и(х), и у)] (или [i (a ), (у)] + ) при кваа- товании по Ферми — Дираку. Выражаемая ф-лами (6) или (7) связь между удовлетворяющими линейным ур-ниям лоренц-ковариантными ф-циями поля и или v, v и операторами л, ai рождения и уничтожения свободных частиц в стационарных квантовомеханич. состояниях есть точное магем. описание корпускулярно-волнового дуализма. [c.302]

Классическая хромодинамика. Кварковые поля 9 (а ) реализуют фундам. представление группы SU(S) -Ур-пие движенпя для кварковых нолей, инвариантное относительно калибровочных преобразований, получается (как и в электродинамике) путём замены производной д , д дXjx (ц=0, 1, 2, 3) в Дирака уравнении для свободного поля на т. н. ковариантную производную [c.311]

КОВАРИАНТНОСТЬ — свойство фпз. величин, они сывающих данное явление или круг явлений, преобра зовываться по представлениям группы инвариантности установленной или предполагаемой для этого круга Подробнее см. Инвариантность. в. П. Павлов. [c.390]

Наряду с представленным здесь вариантом часто используется также 4-мериое описание, в к-ром временная координата (обычно с индексом 0) берётся действительной, но 4-мерному пространству приписывается гиперболич. сигнатура (-f-, —, —, —) в таком пространстве приходится различать ко- и контравариантные компоненты векторов и тензоров (см. Ковариантность и кантравариантность). [c.37]

В Фока представлении 5-матрица, как и любой др. оператор, может быть записана в виде формального ряда по операторам рождения и уничтожения, коэффициентные ф-ции к-рого непосредственно связаны с амплитудами перехода между любыми состояниями невзаимодействующих частиц. Эти коэффициентные ф-ции не могут быть совершенно произвольными. Определ. фундам. физ. требования, к-рым обязательно должна удовлетворять 5-матрица, налагают на них ряд ограничений и взаимных связей. Из этих требований Геязенбергом были явно сформулированы 1) релятивистская ковариантность, т. е. вытекающее из относительности теории требование независимости теоретич. предсказаний от выбранной системы координат (5 должна быть инвариантом) 2) унитарность [c.72]

Квантовая механика ставит в соотвегствие каждой частице поле её волновой ф-цин, дающее распределение различных, относящихся к частице физ, величин. Концепция поля является основной для описания свойств элементарных частиц в их взаимодействий. Конечная цель в этом случае — нахождение свойств частиц из ур-ний поля и перестановочных соотношений, определяющих квантовые свойства материи. Возможный вид ур-ний поля ограничен принципами симметрии и инвариантности, являющимися обобщением эксперим. данных. Лоренц-ковариантность, напр., требует, чтобы волновые ф-ции частиц преобразовались по неприводимым представлениям группы Лоренца. Таких представлений бесконечно иного, однако только часть пз них реализована в природе и соответствует тем или иным элементарным частицам. Реально используются наиб, простые ур-вин полей, являющиеся локальными и не-ревормвруемыми. Попытки построения теорий, не удовлетворяющих этим требованиям,— нелинейной, нелокальной и т. п. теорий поля — влекут за собой пересмотр ряда важнейших принципов, существенных при физ. интерпретации теории (принцип суперпозиции, положительность нормы волновой ф-цив н т. Д.). [c.56]

Выделение из суперполей неприводимых представлений осуществляется, как и в случае обычных полей, либо наложением дополнит, условий (устраняюищх лишние супер-спины), либо за счёт требования калибровочной инвариантности. Чтобы условия неприводимости были ковари-антны относительно суперсимметрии, они должны строиться из ковариантных дифференц. операторов. Такими операторами являются ковариантные спинорные производные [c.28]

Обратим внимание читателя на тот факт, что, согласно каноническому определению тензора энергии-импульса, его естественное координатное представление — 1-контрава-риантное и 1-ковариантное. [c.671]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...