Устойчивость систем Гамильтона

Резюмируем главные результаты но устойчивости систем Гамильтона, причем будем считать п собственных значений Л1,. .., Л различными и отличными от нуля. Если нет ни одного чисто мнимого собственного значения, то но теореме Ляпунова заведомо будет иметь место неустойчивость. Пусть теперь по крайней мере одно собственное значение чисто мнимое и пусть именно Л1 и будет этим собственным значением, и притом наибольшим но абсолютной величине. Тогда ни [c.281]

Таким образом, для случая Л = 1, Л" 1 (п = 1, 2,. ..) еще отсутствуют удовлетворительные методы исследования проблемы устойчивости плоского отображения, сохраняющего объем. Прогресс в этом паправлепии имел бы значение также для вопросов устойчивости систем Гамильтона с произвольным числом степеней свободы. Следует упомянуть еще о нескольких попытках, которые также пе были успешными. [c.289]

В. И. Арнольд. О рождении условно-периодического движения из семейства периодических движений.— Докл. АН СССР, 1961, т. 138, № 1, стр. 13—15 О поведении адиабатического инварианта при медленном периодическом изменении функции Гамильтона.— Докл. АН СССР, 1962, т. 142, № 4, стр. 758—761 О классической теории возмущений и проблеме устойчивости планетных систем.- Там же, 1962, т. 145, № 3, стр. 487— 490 Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона.— Усп. матем. наук, 1963, т. 18, вып. 5 (113), стр. 13—40 Малые знаменатели и проблема устойчивости в классической и небесной механике.— Там же, 1963, т. 18, вып. 6 (114), стр. 91—192. [c.115]

К. Зигель в 1941-1954 гг. исследовал вопрос об интегрируемости гамильтоновых систем вблизи устойчивых положений равновесия. Он доказал, что в типичной ситуации уравнения Гамильтона не имеют полного набора аналитических интегралов и преобразование Биркгофа расходится. Доказательство Зигеля расходимости преобразования Биркгофа в идейном отношении восходит к исследованиям Пуанкаре оно основано на тщательном анализе семейств невырожденных долгопериодических решений. [c.17]

Доказать следуюш ий критерий устойчивости состояния равновесия систем в канонической форме если в состоянии равновесия (д, р ) функция Гамильтона Я(д, р) имеет строгий минимум (но всем переменным д1,Р1 (г = 1, п)), то это состояние будет устойчивым но Ляпунову. [c.202]

При исследовании поведения решений уравнения Гамильтона вблизи положения равновесия часто недостаточно ограничиваться линеаризованным уравнением. Действительно, асимптотически устойчивые положения равновесия для гамильтоновых систем невозможны по теореме Лиувилля о сохранении объема. Поэтому устойчивость линеаризованной системы всегда нейтральная собственные числа линейной части гамильтонова векторного поля в устойчивом положении равновесия все лежат на мнимой оси. [c.351]

В этой главе изучается устойчивость положений равновесия гамильтоновых систем с одной степенью свободы. Предполагается, что функция Гамильтона Н аналитична относительно координат и импульсов в достаточно малой окрестности положения равновесия (совпадающего с началом координат) и 2я-периодична по независимой переменной — времени Ь. Рассматривается только тот случай, когда линеаризованная система устойчива (так называемый эллиптический случай). [c.52]

В этом параграфе рассмотрим некоторые результаты, полученные при исследовании формальной устойчивости гамильтоновых систем. Определение формальной устойчивости было приведено в 4 четвертой главы. Понятие формальной устойчивости является очень важным при исследовании устойчивости на конечном (но очень большом) интервале времени. Наличие формальной устойчивости означает, что неустойчивость по Ляпунову (если она существует) не обнаруживается при учете в разложении функции Гамильтона членов до сколь угодно большого (по конечного) порядка относительно координат и импульсов возмущенного движения. [c.90]

Проблема устойчивости систем вида (1) возникла раньше самих уравнений Гамильтона. Так, основная теорема об устойчивости положения равновесия консервативной системы была сформулирована егце Ж. Лагранжем в его Аналитической механике в конце ХУПГго века. Эта теорема утверждает, что если в положении равновесия потенциальная энергия имеет строгий локальный минимум, то это но-ложение равновесия устойчиво. Обгцее доказательство этой теоремы дал Лежен-Дирихле около ста пятидесяти лет назад. [c.123]

Для систем дифференциальных уравнений общего вида такая нейтральная устойчивость может быть разрушена сколь угодно малыми нелинейными добавками. Для систем Гамильтона дело обстоит сложнее. Предположим, например, что квадратичная часть функции Гамильтона в положении равновесия (которая и определяет линейную часть векторного поля) знакоопределена. Тогда функция Гамильтона имеет максимум или минимум в положении равновесия. Следовательно, это положение равновесия устойчиво (по Ляпунову, но не асимптотически) не только для линеаризованной системы, но и для полной нелинейной системы. [c.351]

Однако квадратичная часть функции Гамильтона в устойчивом положении равновесия может и не быть знакоопределенной. Простейший пример доставляет функция Я = 9 — р. — Исследование устойчивости систем с такой квадратичной частью должно учитывать члены ряда Тейлора следующих степеней, прежде всего кубические члены функции Гамильтона (т. е. квадратичные члены векторов поля фазовой скорости). Исследование это удобно производить, приводя функцию Гамильтона (и следовательно, гамильтоново векторное поле) к возможно более простому виду подходящей канонической заменой переменных. Иными словами, для изучения решений полезно подобрать систему канонических координат вблизи положения равновесия так, чтобы по возможности упростить вид функции Гамильтона и уравнений движения. [c.351]

Будем далее рассматривать систему Гамильтона (1) только для п = 2 и предположим, что Е будет апалититической па 91. Как ив 20, для периодического решения системы можно определить сохрапяюш,ее объем аналитическое отображение б , имеюгцее начало координат своей неподвижной точкой. Вопрос о наличии изоэпергетической устойчивости, неустойчивости или смешанного случая для исходного решения, очевидно, сводится к вопросу о том, будет ли отображение б в пача- [c.283]

Виды динамических систем. По характеру ур-ний и методам исследования Д. с. делят на классы. Конечномерные и бесконечномерные (распределённые) Д. с.—системы с конечномерным и бесконечномерным фазовым пространством. В конечно-мерно.м случае консервативные и диссипативные Д. с. — системы с сохраняющимся и несохраняющимся фазовым объёмом. Г амильтоновы системы с ф-цией Гамильтона, не зависящей от времени, образуют подкласс консервативных систем. У диссипативных систе.м с неогранич. фазовым нространством часто существует ограниченная область в нём, куда попадает навсегда любая траектория. Д. с. с н е п р е-рывным временем (потоки) и Д. С. с дискретным временем (каскады) дискретность времени иногда отражает существо реального процесса (дискретность моментов прохождения импульса через усилитель п оптическом квантовом генераторе, сезонность в экологии, смена поколений в генетике н т. д.). Грубые и пегрубые Д. с. понятие грубости (структурной устойчивости) характеризует качественную неизменность типа движения Д. с. при малом изменении её параметров. Значения параметров, при к-рых система перестаёт быть грубой, наз. б и ф у р-к а ц и о н н ы м II (см. Бифуркация). При размерности фазового пространства больше 2 могут существовать целые области в пространстве пара.метров, где Д. с. оказывается негрубой. [c.626]

Упрощение (или нормализация) гамильтонианов, конечно, пе является самоцелью. Приведение гамильтониана к нормаль-1ЮЙ форме часто позволяет эффективно решить вопрос об устойчивости или неустойчивости частных рентений гамильтоновых систем (положений равновесия, периодических или условно-периодических решений). [c.212]

Описанный в предыдущем параграфе комплекс программ является универсальным в том смысле, что с ого помощью можно нормализовать гамильтониан канонической системы с произвольным числом степеней свободы. Однако такой комплекс нуждается в больших ресурсах ЭВМ, поэтому для решения конкретных механических задач важное значение имеет создание быстродействующих вычислительных алгоритмов, нормализующих гамильтоновы системы с небольшим числом степеней свободы. Большое количество задач связано с нормализацией автономных гамильтоновых систем с двумя и тремя степенями свободы (порядок системы дифференциальных уравнений равен 4 или 6), для которых знание коэффициентов нормальной формы до члено четвертого порядка включительно позволяет часто рехпить задачу об устойчивости положения равновесия. При этом знапие самого нормализующего преобразования (производящей функции) но является необходимым, а коэффициенты нормальной формы вычисляются через коэффициенты исходного гамильтониана с помощью явных и относительно простых формул. Соответствующие алгоритмы и основанные па них вычислительные программы разработаны и описаны в работах [173, 174]. [c.228]

Нормализация гамильтоновой системы в окрестности устойчивого равновесия тесно связана с классической схемой теории возмущений. Действительно, вводя с помощью подстановки х —> ех, у еу малый параметр е и переходя к полярным координатам 1,(р по формулам х = /2Ig sintp.,, у = /2/, ostp,, получим гамильтонову систему /, = -дН/д(р,, = дН/д1, с функцией Гамильтона Я = Е Щ = а,/,, Ят = Hm+2 ,y) j, [c.129]

Следуя Р. Деванею [191], рассмотрим автономную аналитическую гамильтонову систему с двумя степенями свободы. Пусть р — критическая точка гамильтониана Я с собственными значениями (а г/3) (а,/3 G R). Если а О, то р — гиперболическое положение равновесия, обладающее устойчивой асимптотической поверхностью и неустойчивой Л . Пусть 7 — гомоклинная траектория она стремится к точке р при t — оо. Ясно, что 7 С (Л П ПЛ ), Предположим, что во всех точках траектории 7 двумерные поверхности Л и Л пересекаются трансверсально. [c.297]

Если в системе (1) функция Гамильтона будет условно-периодичес-кой по t, то задача об устойчивости станет крайне сложной. Это связано с тем, что применение метода нормальных форм требует анализа устойчивости и нормализации линеаризованной системы (1), которая будет иметь условно-периодические коэффициенты, а аналога теоремы Флоке-Ляпунова о приводимости систем с периодическими коэффициентами к системе с постоянными коэффициентами для условнопериодических систем нет. [c.124]

Эта теорема позволяет сделать вывод, что для устойчивого невозмущенного движения консервативной голономной системы в соответствующих переменных бесконечно малые возмущенные движения системы аналогичны движениям вблизи устойчивого положения равновесия консервативной голономной системы. Тем самым выявляется колебательный, волновой характер движения механических систем вблизи их устойчивых ведущих движений. Отсюда следует, что задача Коши о развитии открытой Гамильтоном аналогии между динамикой консервативных механических систем и оптикой Гюйгенса тесно связана с некоторой задачей об устойчивости движения. Если существует аналогия между динамикой и математической теорией света Коши, то эту аналогию следует искать в возмущенных движениях вблизи устойчивых движений гол ономных консервативных систем. [c.16]

В настоящей статье излагается теория расчета пластин, гп-ставленных из жестких и мягких слоев в произвольной последовательности. Для вывода уравнений используются вариационные принципы, что позволяет также получить естественные граничные условия и установить, таким образом, систему внутренних усилий, не противоречащих введенным гипотезам. Уравнения равновесия выводятся из принципа Лагранжа, уравнения колебаний — из принципа Гамильтона и уравнения нейтрального равновесия для задачи об устойчивости безмоментного состояния — из принципа Треффца. Обсуждаются частные и предельные случаи. [c.32]

Другое направление исследований, касающееся связанных нелинейных осцилляторов, началось с попыток решить задачу трех тел в небесной механике, которая служит упрощенной моделью Солнечной системы. Ранние работы по этой проблеме восходят к трудам Гамильтона и Лиувилля середины XIX в., которые стимулировали развитие гамильтоновой механики, лежащей в основе большинства современных исследований. К концу XIX в. многие идеи, касающиеся устойчивости нелинейных систем, были рассмотрены Пуанкаре [337 ] и применены им к проблемам небесной механики. Именно в этот период Пуанкаре, Цейпель [419] и другие разработали методы теории возмущений, которые оказались столь плодотворными при описании поведения нелинейных систем на [c.13]

Эта задача подробно изучена в работах А. М. Ляпунова, М. Г. Крейпэ, В. А. Якубовича, В. М. Старжинского, Р1. М. Гель-фанда и В. Б. Лидского, Ю. Мозера и др. Полученные результаты изложены в монографии [97], где приведена и обширная библиография по устойчивости линейных систем с периодическими коэффициентами. Здесь мы ограничимся рассмотрением задачи о параметрическом резонансе для тех частных случаев, которые типичны для рассматриваемых далее конкретных задач небесной механики. Будем предполагать, что функция Гамильтона Н, соответствующая системе (1.1), имеет вид [c.43]

Слз ай Ь Ф О более сложен. Для доказательства устойчивости снова используем интеграл Н = h = onst и сведем систему с двумя степенями свободы к системе с одной степенью свободы, но с 2я-периодической зависимостью новой функции Гамильтона от новой независимой переменной. В отличие от задачи о неустойчивости, здесь недостаточно рассмотрения только одного уровня энергии Н = h (например, h = О, как было в рассмотренных выше случаях). В задаче об устойчивости необходимо рассматривать хотя и малый, но конечный интервал изменения постоянной h в окрестности нуля. Поэтому функция Гамильтона системы с одной степенью свободы, к которой редуцируется исходная система с двумя степенями свободы, будет зависеть от величины h как от параметра. Предполагая, что движение изучается в достаточно малой окрестности начала координат (гу — е, О е 1), будем считать h малой величиной, порядок которой не меньше, чем, например, е У ё. Тогда, разрешая уравнение ff=h относительно Г2, получим [c.76]

Доказательство этой теоремы можно провести совершенно так же, как это сделано Мозером [5] при доказательстве аналогичной теоремы при т = 2. Укажем основные моменты доказательства. Подробности изложены в [57]. Сначала надо привести функцию Гамильтона (1.2) к виду (5.2) и, используя интеграл Н — = onst, свести систему (1.1) к системе с одной степенью свободы. Применяя затем теорему Мозера об инвариантных кривых к отображению, порождаемому полученной гамильтоновой системой дифференциальных уравнений второго порядка, можно показать, что при выполнении условия (5.5) на каждом уровне Н = onst в любой достаточно малой окрестности начала координат существуют инвариантные торы системы (1.1). Отсюда следует устойчивость положения равновесия. [c.86]

Ниже будет показана неустойчивость положения равновесия Гх = 2 = О системы (1.9). Но сначала сформулируем условия устойчивост и для большинства начальных данных в общем случае гамильтоновой системы с п степенями свободы и периодической зависимостью функции Гамильтона от времени. Пусть функция в гамильтониане (1.1) зависит от 1. Введем новый импульс г +х и угол фп+х Тогда получим автономную систему с и 4- 1 степенями свободы. Гамильтониан имеет вид [c.89]

Теперь, используя результаты теории многомерных гамильтоновых систем, изложенные в пятой главе, проведем еще анализ с точки зрения формальной устойчивости. Если в системе нет резонансов до четвертого порядка включительно, то функция Гамильтона, нормализованная до членов четвертой степени относительно 21, р1 включительно, будет иметь вид (6.1) и знакоопределенность квадратичной формы СаоГ + Сцг г + в квадранте > О, > О является достаточным условием формальной устойчивости [138]. Сначала рассмотрим случай отсутствия резонансов до четвертого порядка включительно. [c.161]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...