Симметрия анизотропного тела

Упругие свойства анизотропного тела можно охарактеризовать некоторыми упругими константами так же, как упругие свойства изотропного тела можно характеризовать двумя константами — модулем Юнга и модулем сдвига. Однако для анизотропного тела этих констант существует не две, а больше — 21 в самом общем случае. Число констант уменьшается, если анизотропное тело обладает некоторой симметрией (в некоторых направлениях свойства тела одинаковы). [c.475]

Симметричность структуры анизотропных тел приводит к связям между коэффициентами упругости. Мы рассмотрим некоторые частные случаи упругой симметрии. [c.66]

Структура анизотропного тела может обладать некоторой упругой симметрией, в каждой точке тела обнаруживаются симметричные в отношении упругих свойств направления. В этих случаях оказывается возможным выбрать такую ориентацию осей координат, при которой некоторые упругие постоянные оказываются равными нулю или линейно зависящими от других упругих постоянных. [c.58]

Рассмотрим еще плоскую задачу теории упругости для анизотропного тела. Пусть в каждой точке пластинки имеется плоскость симметрии упругих свойств, параллельная срединной плоскости. Как и в изотропном случае (см. 4 гл. III), будем полагать, что усилия, приложенные к краям пластинки, действуют в срединной плоскости. Тогда, переходя к усредненным по толщине пластинки величинам, получаем соотношения между деформациями и напряжениями [c.664]

Часто оказывается, что анизотропное тело обладает известной симметрией строения. Это относится, прежде всего, к кристаллам, к композитным материалам регулярного строения, к биологическим объектам типа древесины или кости. Используя свойства симметрии, можно выбрать такую специальную систему координат, для которой некоторые компоненты тензора модулей упругости обращаются в нуль или становятся тождественно равными между собой, и общее число упругих констант оказывается меньше чем 21. [c.240]

В анизотропных телах положение осложняется в тех случаях, когда анизотропия криволинейна. Например, цилиндр, изготовленный из стеклопластика или углепластика путем намотки, ортотропен, но упругие свойства его обладают цилиндрической симметрией, в цилиндрических координатах модули упругости и коэффициенты температурного расширения постоянны. Но при переходе к декартовым координатам тензоры Ei и а будут уже не постоянными, а функциями координат Ха, поэтому даже равномерное температурное ноле вызовет напряжения. Эта задача легко решается методом, совершенно подобным тому, который был применен в 8.12 для трубы из изотропного материала. Присваивая радиальному направлению индекс единицы, мы запишем уравнение упругости в форме (10.6.4). Теперь уравнение для функции напряжений оказывается следующим [c.385]

Многие деформируемые тела, используемые как материалы в инженерном деле, не обладают изотропией механических свойств. Из числа анизотропных тел особо широко распространены орто-тропные тела, для которых в каждой точке существуют три взаимно ортогональные плоскости симметрии механических свойств. [c.149]

В настоящей главе кратко изложены отдельные аспекты теории упругости анизотропного тела. Раздел II содержит изложение обобщенного закона Гука, свойств симметрии и ограничений, накладываемых на упругие постоянные. В разделе III приведены некоторые элементарные примеры, иллюстрирующие различия в поведении изотропных и анизотропных тел. Показано, что трудности, связанные с описанием армированных композиционных материалов, непосредственно вытекают из необычного характера поведения анизотропных тел. [c.15]

В разделе IV представлен подробный вывод разрешающей системы уравнений задачи Сен-Венана о кручении анизотропного тела, имеющего плоскость упругой симметрии. Эта задача используется далее для иллюстрации различных методов решения. Обсуждаются примеры, относящиеся к композиционным материалам. [c.15]

В разделе V выведены разрешающие уравнения для плоской задачи теории упругости анизотропного тела, имеющего плоскость упругой симметрии. Особое внимание уделено предположениям, определяющим различные формы плоской задачи. В заключении описана обширная литература, посвященная проблеме концентрации напряжений. [c.16]

Рассмотрим анизотропное тело, у которого плоскость является плоскостью симметрии материала, и предположим, что оно находится под действием равномерно распределенных касательных напряжений 012 = Ов = т. Уравнения равновесия при этом тождественно удовлетворяются, а ненулевые составляющие деформации определяются равенствами [c.25]

Как уже было отмечено, геометрия тела с трещиной такова, что у кончика сквозной трещины образуется область плоской деформации. Поскольку локальная природа рассматриваемого критерия разрушения уже была показана, естественно предположить, что плоское деформированное состояние сохранится в локальной области и в анизотропных телах. Для выполнения этого предположения необходимо существование плоскости упругой симметрии, нормальной к границе трещины. Можно показать [12, 18], что вид анизотропии ограничен шестью независимыми константами. Подобное же ограничение имеет место и для тела с трещиной П1 рода. Согласно методам Лехницкого [11], показано, что для каждого из трех видов локальной деформации (см. рис. 6.2) функциональные формы коэффициента интенсивности напряжения для этого частного вида анизотропии можно считать идентичными соответствующим формам для изотропного случая. [c.231]

Число М. у. анизотропного материала коэф. gij в ( )] равно 36, однако можно показать, что gij — gJi и число различных коэф. уменьшается до 21 у анизотропного тела, лишённого всякой симметрии в отношении упругих свойств. При наличии симметрии в материале число М. у. сокращается. Напр., упругие свой- [c.177]

Плоскость упругой симметрии. Если в анизотропном теле его упругие свойства идентичны в любых двух направлениях, симмет-ричных относительно некоторой плоскости, то такая плоскость называется плоскостью упругой симметрии. В "этом случае число независимых коэффициентов, описывающих свойства материала, сокращается до тринадцати [29], а закон Гука принимает более простой вид при совмещении одной из координатных плоскостей с плоскостью упругой симметрии. Например, совместив с плоскостью [c.9]

В частности, при одноосном растяжении анизотропного тела в направлении, перпендикулярном плоскости упругой симметрии, [c.10]

Ортотропный материал. Если в анизотропном теле имеются две взаимно перпендикулярные плоскости упругой симметрии, то нетрудно показать, что перпендикулярная им плоскость будет тоже плоскостью упругой симметрии. Пусть две главные оси напряженного состояния перпендикулярны двум имеющимся в теле плоскостям упругой симметрии, т. е. совпадают с двумя главными направлениями упругости материала. Тогда с этими направлениями будут совпадать и две главные оси деформированного состояния. Следовательно, третья главная ось деформированного состояния тоже будет совпадать с третьей главной осью напряженного состояния, и перпендикулярная им плоскость будет плоскостью упругой симметрии тела. Тело, обладающее тремя взаимно перпендикулярными плоскостями упругой симметрии, называют ортотропным. Для орто-тропного тела число независимых коэффициентов, характеризующих упругие свойства, равно девяти [29]. - с - [c.10]

Следует подчеркнуть, что вид ( заполненность ) матриц податливости и жесткости определяется не только типом упругой симметрии материала, но и выбором системы координат. Тип симметрии материала однозначно определяет число независимых коэффициентов в этих матрицах, однако для любого анизотропного тела матрицы податливости и жесткости в произвольной системе координат, никак не согласованной с упругой симметрией материала, будут в общем случае целиком заполненными. [c.13]

Значительной анизотропией отличаются кристаллы, поэтому большие успехи в изучении физических свойств анизотропных тел накопились в кристаллофизике. Широко применяемое в кристаллофизике учение о симметрии открывает новые возможности и для исследования анизотропии механических свойств композитов. [c.6]

Реономные свойства анизотропных тел существенно зависят от ориентации. Для их описания при самом общем подходе могут быть применены, например, соотношения теории термовязкоупругости анизотропных сред, полученные в [10]. Связь между напряжениями и деформациями, записанная в интегральном виде, определяется некоторыми интегральными операторами. Для этих операторов справедливы те же законы преобразования и симметрии, что и для тензора упругости. [c.55]

Для большинства анизотропных тел характер деформаций при растяжении под углом к оси симметрии не удается проиллюстрировать при помощи фотографии, поскольку жесткость материала велика, а величина разрушающих деформаций мала. Существуют синтетические листовые материалы, строение которых соответствует расчетной схеме ортогональной анизотропии, а разрушающие деформации очень велики. К числу таких матери- [c.58]

Величины, характеризующие напряженное состояние ортотропного тела. Для изотропных тел условие прочности обычно выражается уравнением, связывающим величины трех главных напряжений с одной характеристикой прочности материала. Для анизотропных тел такое уравнение не позволяет решать задачу, так как опасное состояние зависит не только от величины главных напряжений, но и от их ориентации по отношению к осям симметрии материала. Поэтому уравнение равноопасных напряженных состояний для ортотропных тел должно содержать не три, а шесть величин, например три главных напряжения и три направляющих косинуса, фиксирующих ориентацию этих напряжений в материале. [c.139]

В этом разделе представлены основные уравнения и соотношения, которые используются в расчетах многослойных конструкций. На основе вариационных методов с использованием деформационных соотношений получены уравнения равновесия, дай анализ геометрических характеристик поверхностей и соотношений упругости анизотропного тела. Рассмотрены различные случаи упругой симметрии, показаны преобразования коэффициентов [c.65]

Таким образом, для анизотропного тела, имеющего одну плоскость симметрии, число независимых коэффициентов упругости сокращается до 13. [c.84]

Этот результат распространяется также на произвольные анизотропные тела р ], для которых линия разрезов будет линией упругой симметрии, если под коэффициентом Ki понимать, [c.578]

Число независимых постоянных для анизотропного тела равно 21. Если упругое тело имеет одну плоскость симметрии упругих свойств, то для него число постоянных сокращается до 13. Для тела, имеющего три взаимно ортогональные плоскости симметрии (ортотропное тело), число постоянных сокращается до 9. Число независимых постоянных для изотропного тела, как было показано ранее, равно двум. [c.33]

Равенства (4.5), (4.6), (4.8) применимы также и к упруго-анизотропным телам, если растяжение/сжатие происходит вдоль кристаллографических направлений высокой симметрии. Для кубических кристаллов такие направления ориентированы вдоль осей (100), (111). Для иллюстрации эффекта упругой анизотропии был проведен микроскопический расчет, позволяющий воспроизвести зависимость (4.5) для натри при сжатии в обойме по осям (100), (111) и гидростатическом сжатии [254]. Оказалось, что при одноосном сжатии температура плавления сначала растет вместе с величиной <т, а затем спадает при этом меньшие температуры плавления соответствуют более жесткому направлению (111). В случае гидростатического сжатия обнаруживается рост температуры плавления с давлением, хорошо согласующийся с экспериментальными данными. [c.302]

Монокристаллы — это однородные анизотропные тела, которые характеризуются правильным порядком в расположении атомов во всем объеме и состоят из периодически повторяющихся одинаковых кристаллических ячеек. По виду симметрии все кристаллы можно подразделить на 32 класса, составляющие 7 кристаллографических [c.8]

Обобщения на случай анизотропных тел. Изложенные в настоящей главе методы решения могут быть с успехом обобщены на случай однородных анизотропных тел, обладающих определенным видом упругой симметрии. И в этом случае, как показал С. Г. Лехницкий, можно дать комплексное представление решения, разумеется более сложное, чем для изотропного тела. При помощи комплексного представления и надлежащего обобщения изложенных выше методов был решен ряд задач, как общих, так и частных. Рамки этой книги не позволяют нам [c.380]

Плоская статическая задача теории упругости для анизотропных тел, обладающих плоскостью упругой симметрии. Об этой задаче кратко упоминалось в 104 основного текста книги. Здесь мы скажем о ней несколько более подробно. [c.603]

Отметим, что выше были рассмотрены некоторые случаи упругой симметрии анизотропных тел в декартовой системе координат. В такой системе координат удобно рассматривать тела, обладающие так называемой прямолинейной анизотропией. Аналогично может быть описана локальная симметрия упругих свойств тел, обладающих криволинейной анизотропией в этом случае вместо декартовых используют триортогональную криволинейную систему координат [291. [c.13]

Следует иметь в виду, что при наличии у тела нлоскостей упругой симметрии число упругих постоянных сокращается только при совмещении координатных плоскостей о плоскостями упругой еимметрии. Если координатные плоскости не совпадают, например, о ортогональными плоскостями упругой симметрии ортотропного тела, то число упругих постоянных будет равно 21, т. е, как и в общем случае анизотропного тела. [c.59]

Рассмотрим достаточно большой объем анизотропного тела и вырежем из него в различных направлениях по отношению к связанной с телом системе координат призматические образцы для испытаний на растяжение. Для материала, не обладающ,его симметрией строения, поведение таких образцов при одинаковых условиях нагружения не будет идентичным. Однако большинство материалов, применяющихся в инженерной практике, имеют направления, в которых реакция материала на идентичное нагружение является одинаковой. Это свойство должно быть отражено в структуре обобщенного закона Гука. [c.18]

Равенства (34) показывают, что прямоугольный параллелепипед, изготовленный из материала с общей анизотропией, при одноосном однородном напряженном состоянии превращается в не-прямаугольный параллелепипед (на рис. 1, а показано тело, для которого плоскость является плоскостью симметрии). В случае изотропного материала прямоугольный параллелепипед остается прямоугольным (рис. 1, б). Эти различия в поведении анизотропных и изотропных материалов при одноосном напряженном состоянии вызывают некоторые трудности при определении механических характеристик композиционных материалов в направлении, не совпадающем с осью симметрии. Образец, обычно используемый при таких испытаниях, представляет собой длинную полоску (отношение длины к ширине равно - 5—10), вырезанную под некоторым углом к оси симметрии из элементарного армированного слоя или слоистого материала. При одноосном нагружении в продольном направлении образец ведет себя как анизотропное тело с плоскостью упругой симметрии, совпадающей с плоскостью образца, т. е. стремится принять в этой плоскости форму параллелограмма. Захваты, в которых закрепляют образец, препятствуют его свободной деформации, сохраняя пер-воннчальное. направление закрепленных кромок. Как показано в работе Пагано и Халпина [45], в плоскости образца при этом возникает изгибающий момент и при деформировании образец принимает 1У-образную форму (рис. 2). [c.24]

Таким образом, в трехмерном случае ортотропный материал имеет 12 упругих постоянных, из которых только 9 являются независимыми вследствие симметрии матрицы коэффициентов ягесткости для анизотропного тела. [c.161]

Анизотропные тела как объекты, свойства которых зависят от ориентации системы координат, имеют более сложную систему параметров, характеризующих диссипацию энергии. Так, для трансверсально-изотропного материала (однонаправленного композиционного моноелоя), рассматриваемого в системе координат, оси которой совпадают с осями симметрии, в случае плоского напряженного состояния функция рассеяния энергии [9 имеет вид [c.305]

Когда анизотропное тело обладает упругими свойствами, симметричными относительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей, оно называется ортогонально-анизотропным или ортотропным. Пусть координатные оси х, у, z направлены по линиям пересечения плоскостей симметрии упругих свойств. Тогда симметричными относительно координатных плоскостей будут компоненты тензоров напряжений и деформаций а , ej,, кососиммет- [c.19]

Описание одним уравнением всей кривой анизотропии предела прочности требует другого — феноменологического подхода, при котором совместно рассматриваются предельные состояния различной физической природы. При феноменологическом подходе напряжения Оу и действующие по опасной площадке образца параллельно волокнам (см. рис. 3.3 й 3.4), рассматриваются совместно, а не каждое в отдельности, как это было в формулах (3.2). Для анизотропных тел одноосное растяжение или сжатие под углом к оси симметрии рассматривается при этом как частный случай сложного напряженного состояния. Прочность при сложных (двух- и трехосных) напряженных состояниях определяется так называемыми теориями предельных состояций или критериями прочности. [c.138]

Феноменологический критерий прочности не должен содержать никаких ограничений относительно механизма разрушения или характера предельного состояния. Для анизотропных тел феноменологический подход имеет особенно большие преимущества, так как появляется возможность использования общего условия прочности для материалов, разных по составу и технологии, но одинаковых по симметрии свойств, и для материалов со значительной анизотропией, для которых одно и то же напряженное состояние может привести к разным по физической природе предельным состояниям, если изменяются знаки напряжений или их ориентация. Аппроксимирующий полином при этом подбирается в такой форме, чтобы его можно было представить в виде совместного инварианта тензора напряжений и некоторого тензора, содержащего характеристики прочности материала. Из уравнения предельных напряженных состояний выводятся тензориальные формулы пересчета характеристик прочности материала при повороте осей координат, отвечающие экспериментальным данным и позволяющие описать всю кривую на рис. 3.1, 3.2 или 3.4. [c.142]

Здесь обозначения соответствуют формулам (3.3) и (3.4). Первое слагаемое iaiktm(Уik lm) представляет собой совместный инвариант тензора напряжений и тензора прочности, а второе слагаемое выражает зависимость прочности анизотропных тел от двух инвариантов — и тензора напряжений. В осях симметрии ортотропного материала из соображений симметрии следует приравнять нулю все величины кроме тех, у которых индексы [c.144]

Пусть структура анизотропного тела такова, что в любой его точке упругие свойства эквивалентны в любых двух направлениях, симметричных относительно некоторой плоскости. Такую плоскость называют плоскостью упругой симметрии. Совместим с плоскостью упругой симметрии систему координат ох/х2 хз так, чтобы ось 0X3 была перпендикулярна плоскости (рис. 2.7). Затем перейдем к системе координат 0х,х,хз, симметричной относительно плоскости упругой сжмгтрии. В этом случае направляющие косинусы будут /п = 22= — зз= 1> = а матрица преобразований р согласно (2.61) будет [c.83]

Трудно найти область человеческих знаний, в которой в той или иной степени не использовались бы соображения симметрии. Широко ими пользуются и в теории упругости при рассмотрении как естественных, так и искусственно созданных анизотропных сред. В параграфе 17.1 приводятся сведения о преобразованиях симметрии, необходимые для выяснения структуры закона упругости для анизотропных тел. В параграфах 17.2—17.8 излагается круг вопросов, связанных с законом Гука для анизотропных материалов. Особое внимание уделяется несжихмаемому ортотроп-ному материалу в плоском напряженном состоянии. Оригиналь- [c.285]

Рассмотренные в начале параграфа 3.11 соотношения относятся к такому случаю, при котором вид деформации пьезокристалла и вид механического напряжения заранее выбраны и считается, что они скалярно связаны между собой модулем упругости. Точно так же заранее выбран вид пьезоэффекта и вид электрической поляризации этого пьезокристалла. Между тем известно, что даже в изотропном упругом теле приложение усилий в одном на-правлении вызывает дефордтации не только в этом же направлении, но и в перпендикулярных ему. В анизотропном теле — в кристалле — упругие свойства еще более сложны связь между напряжениями и возникающими деформациями зависит еще от ориентации приложенных напряжений или деформаций относительна кристаллической решетки кристалла. Так как структура кристал-лической решетки внешне проявляется в виде определенного вида симметрии кристалла — наличия осей симметрии, — то формально можно считать, что величина и направление деформации кристалла зависят от направления приложения усилий по отношению к осям симметрии кристалла. Пьезоэлектрические и диэлектрические свойства кристаллов также оказываются зависящими от ориента> ции по отношению к осям симметрии. [c.87]

При наличии симметрии свойств в телах существуют определенные эквивалентные направления, для которых свойства одинаковы. Наиболее четко это проявляется именно для упругих свойств, так как пластическая деформация обычно изменяет исходную анизотропию и делает ее более сложной. Многим упруго-анизотропным телам присуща ортогональная изотропность или ортотропность, т. е. наличие в каждой точке трех взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии свойств. Сюда относятся многие обработанные давлением металлические изделия, а также фанера и древесина (если пренебречь кривизной ее слоев), железобетон, армированные пластики и гофрированные листы при определенном расположении арматуры и направлв НИИ гофрировки. [c.327]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...