Градиент вектора второй

Рассмотренные простейшие дифференциальные операции можно обобщить. Если мы имеем векторное поле V = то градиент вектора представляет собой тензор второго ранга — диадное произведение вектора Ух на вектор у [c.36]

Назовем первый вектор по аналогии с метеорологией динамическим градиентом, а второй, принимая во внимание его роль в образовании вихрей, турбулизирующим вектором. [c.189]

Оказались утерянными слагаемые той же второй степени по градиенту вектора перемещения, что и учитываемые этой теорией [c.251]

Этот тензор, формально представленный диадой векторов V и а, называется градиентом вектора а. Вторую запись (3) можно представить через ау, но в соответствии со сказанным мы примем для нее обозначение уа —транспонирован-йый градиент. Итак, [c.467]

Градиент тензора представляет собой тензор третьего ранга. (В общем тензорном анализе или линейной алгебре скаляры рассматриваются как тензоры нулевого ранга, векторы — как тензоры первого ранга, тензоры — как тензоры второго ранга кроме того, изучаются тензоры более высокого ранга. Их компоненты имеют более чем два индекса и преобразуются при изменении системы координат согласно правилам, аналогичным (1-2.10), (1-2.11) и (1-3.23)—(1-3.25).) [c.34]

Следует иметь в виду, что вторые производные в подвижной и неподвижной координатных системах не совпадают. Установим соответствие между ними. С этой целью рассмотрим вектор градиента прогиба [c.61]

Согласно (19), энтропия может изменяться двумя путями 1) изменение энтропии за счет внешнего притока тепла и вещества, что выражается первым членом правой части уравнения, который содержит тепловой и диффузионный потоки, описываемые уравнением (20) 2) изменение энтропии за счет внутреннего прироста ст. Этот прирост энтропии, который определен вторым членом в правой части уравнения (19), является положительным (или нулевым). Согласно второму закону термодинамики, он (прирост) является мерой необратимости процессов, имеющих место внутри системы. (В частности, он не наблюдается при термодинамическом равновесии). Как видно из выражения (21), прирост энтропии складывается из пяти компонент, из которых первая возникает от теплообмена, вторая — от диффузии вещества и три других —от вязкого потока. Каждый член является произведением потока (потока тепла, диффузионного потока J., компонентов тензора давления вязкости) и так называемой термодинамической силы" (градиент температуры, градиент химического потенциала, градиент скорости). Здесь можно положить, что первые два потока и термодинамические силы являются векторами (полярными), третий член содержит скаляры, четвертый—симметричные тензоры с нулевым следом и пятый-—аксиальные векторы. Далее увидим, что (см. 6) последние три члена из (21) связаны с объемной вязкостью,, вязкостью сдвига и вязкостью вращения соответственно. [c.9]

Двойными называют [102] тензоры второго ранга, диады которых составлены из векторов, взятых из разных векторных базисов. Из соотношений (6.45) усматривается, что в них тензоры F, F" , F, F = F рассматриваются как двойные тензоры деформации. Существенно, что эти несимметричные тензоры, рассматриваемые как двойные, имеют симметричные компоненты. Отметим, что одни и те же ковариантные компоненты имеют тензор деформации Коши—Лагранжа (6.46), двойной тензор — градиент движения F (6.45) и единичный (метрический) тензор 1 = G (6.17). [c.90]

В п. 2.2 получены кинематические зависимости, которые связывают относительную деформацию и вращение с первой производной от вектора смещения. Здесь введем, с одной стороны, уравнения связи для упругого тела, с помощью которых устанавливается зависимость между тензором относительных деформаций и тензором напряжений, и, с другой стороны, дифференциальные уравнения движения или равновесия, которые связывают градиент тензора напряжений с ускорением элемента таким образом, в последнем (имеется в виду ускорение) фактически неявно присутствует вторая производная от смещения. Однако прежде всего обратимся к вопросам кинематики и подсчитаем изменение кривизны поверхности предмета, при этом [c.154]

Здесь градиент, как всегда, берется по пространственным координатам, Ф = Ф(г, /) обозначает потенциал внешних сил и считается заданной функцией, функция р () (давление на свободной границе) также считается известной. Во втором уравнении п — единичный вектор внешней нормали к поверхности 5г, а — [c.275]

Рассмотрим первый подход. Предположим, что состояние рассматриваемой сплошной среды в окрестности любой материальной точки определяется четырьмя термодинамиче скими функциями — активными переменными массовыми плотностями свободной энергии А и энтропии Н, вторым тензором напряжений Пиолы-Кирхгофа с компонентами и вектором плотности теплового потока с компонентами qoi, г,] = 1,2,3. Аргументами этих функций будем считать следующие реактивные переменные тензор конечной деформации Грина с компонентами Ькь абсолютную температуру Т, материальный градиент температуры, компоненты которого [c.78]

В 14 даны формулы Стокса для разложения, при весьма общих условиях, вектора упругого смещения на два составляющих вектора первый, связанный с изменением объёма, есть градиент скалярного потенциала второй, представляет ротацию некоторого соленоидального вектора. [c.114]

А — единичный вектор оси г). Вторая часть вектора перемещения и, соответствующая элементарному решению второго типа, по (4.6) является градиентом Л 1п (/ - -г). Поэтому ей следует сопоставить скаляр который по (5.6) и (1.5) будет [c.93]

Первый из этих векторов назовем по аналогии с известным метеорологическим термином динамическим градиентом, второй — турбулизирующим вектором, имея в виду его роль в образовании вихрей. [c.15]

Первый из этих векторов назовем известным метеорологическим термином — динамический градиент, второй, принимая во внимание роль, которую он играет при образовании вихрей, назовем турбулизирующим вектором. [c.21]

Поиск на втором этапе осуществляется в соответствии со стратегией метода проекции вектора-градиента и требует последовательного выполнения пар шагов. Первый шаг в каждой паре есть шаг в сторону гиперповерхности ограничений, т. е. в сторону гребня. Цель шага — попасть в возможно меньшую окрестность некоторой точки гребня Ша. Направлением шага у является нормаль к гиперповерхности гребня. Второй шаг есть шаг вдоль гребня в направлении проекции вектора-градиента функции на гиперповерхность гребня. [c.202]

Задание закона состояния приводит к замкнутой системе дифференциальных уравнений, по которой определяется реализуе- мое в теле напряженное состояние и вектор перемещения точек среды. Из сказанного следует, что в линейной постановке задача определения формы и размеров упругого тела в конечном состоянии отодвигается на второй план—их находят после того, как задача решена в предполон<ении неизменности начальной формы тела. Этот прием позволяет избежать серьезной трудности нелинейной теории упругости, когда напряженное состояние приходится разыскивать в 1/-объеме — в теле с неизвестной наперед границей О. Его законность подтверждается тем, что при решении задач нелинейной теории упругости методом последовательных приближений, например в форме ряда по степеням параметра ма.пости, характеризующего малость градиента вектора перемещения, исходное приближение, получаемое при пренебрежении слагаемыми, содержащими этот параметр, представляет решение задачи для линейно-упругого тела, когда определяющие уравнения отнесены к начальному объему и начальной форме его границы. [c.102]

Тензоры второго ранга получим, снижая ранг VVa на единицу ЭТО ротор градиента векторй а [c.844]

Так как символы Кристоффеля Г р и Гаэ,у выражаются через коэфф1йциенты первой квадратичной формы Gap. видим, что-(2.69), (2.70) суть уравнения относительно Gap, Вар. Уравнение Гаусса (12.69) выражает гауссову кривизну поверхности чере коэффициенты первой квадратичной формы. Уравнения Кодаццн (2.71) есть следствие того, что второй фундаментальный тензор поверхности представляет собой градиент вектора нормали. [c.69]

Вектора а и р назовем турбомоментом и приведенным градиентом, вектора у и 5 ввиду близкой связи их с величиной притока энергии — первым и вторым тепловыми векторами. Нормальное движение называется общим, когда второй тепловой вектор отличен от нуля, и специальным, когда он равен нулю так как в дальнейшем нам понадобится только общее нормальное движение, то ограничимся установлением условий динамической возможности только для этого вида нормальных движений. [c.151]

Общие свойства оператора градиента рассматриваются во втором томе. Там показано, что градиент скалярной величины представляет собой вектор, направление которого совпадает с направлением наибольшего увеличения скалярной функции, а величина равна скорости изменения этой функции. Градиент скалярной величины записывается различным образом grad f/, Vf/ или dU/dr. Оператор V читается набла , а VU читается набла Uy>. [c.167]

Хт являются тензорами первого ранга, так как градиенты от скалярных величин Т и [l/T являются векторами. Термодинамической движущей силой химических и фазовых оревращений является величина химического средства Ai, нротюрциональная разности скалярных величин (р г—Pi), т. е. является тензором нулевого ранга. Перенос количества движения 1ЖИДК0СТИ или перенос импульса описывается тензором второго ранга. [c.13]

Термодинамические силы Х и Хт являются тензорами первого ранга (векторами) поэтому между ними возможно сочетание. Это сочетание дают налагающие явления переноса эффект Соре при молекулярном переносе тепла я эффект Дюфо при диффузии вещества. Одна1КО сочетания теплопроводности или диффузии с химическими и фазовыми превращениями быть не может, так как разница в рангах между силами А и и Ai или между Х . и Ai равна единице (нечетное число). Так же не может быть сочетания между молекулярными переносами тепла и количества движения или между диффузией и внутренним трением, так как термодинамические силы молекулярного переноса тепла и массы являются тензорами первого ра нга, а термодинамические силы молекулярного переноса количества движения — тензоры второго ранга (разница в рангах тензоров выражается нечетным числом). Однако в некоторых частных случаях внутреннее трение можно рассматривать как молекулярный перенос кинетической энергии движения потока жидкости, который происходит под действ ием термодинам1ической силы — кинетической энергии движения (градиент от скаляра). В этом случае возможно сочетание между молекулярными переносами тепла, массы вещества И энергии движения жидкости, так как все они описываются действием термодинамических сил, которые являются тензорами одинакового ранга (векторами). На основании принципа Кюри возможно сочетание между молекулярным переносом количества движения (объ-емиая вязкость) и процессами химических и фазовых превращений, так как в первом случае силы Л,- являются тензором нулевого ранга, а во втором случае — тензором второго ранга. Следовательно, разница в рангах тензоров равна двум (четное число), и поэтому сочетание между ними возможно. [c.13]

Наконец, в зависимости от того, используются при поиске производтахе целевой функции по управляемым параметрам или нет, различают методы нескольких порядков. Если производные не используются, то имеет место метод нулевого порядка, если используются первые или вторые производные, то соответственно метод первого или второго порядка. Методы первого порядка называют также градиентными, поскольку вектор первых производных FQi) по X есть градиент целевой функции [c.158]

Здесь прямые скобки, как обычно, обозначают скачок данной функции при переходе через поверхность разрыва. Так как давление непрерывно при переходе через поверхность разрыва, то разрыв градиента давления должен быть нормален к поверхности разрыва. Поэтому и вектор [dvx/dt] [dvy/dt] [dvz/dt должен быть нормален к этой поверхности. Таким образом, мы доказали, что тангенциальная составляюгцая ускорения при переходе через поверхность разрыва второго порядка остается непрерывной. [c.220]

Произведение вектора плотности потока j на векто градиента — величина скалярная, это— произведение ве личин векторов на косинус угла между ними. Если вектор ры перпендикулярны, она равна нулю, а если направлены в противоположные стороны, то перед произведением ставится минус. В изолированной системе все потоки направлены в сторону уменьшающихся потенциалов, поэтому все произведения j-grad отрицательны, а рождение энтропии Os положительно, как того и требует второй закон термодинамики. [c.38]

Дальнейшее исследование условий динамической возможности движения сжимаемой жидкости приводит к разделению этих условий на две группы. К первой относятся движения, при которых динамический градиент не ортогонален вектору скорости, ко второй — все остальные движения. Назовем движения первой группы нормальными. Очевид- [c.190]

Основные понятия, введенные в главе о теплопроводности, сохраняются и в случае конвективного теплообмена, но становятся более сложными. Так, вектор плотности теплового потока определяется теперь не только градиентом температуры в жидкости, но и полем скорости плотность теплового потока в жидкой среде имеет две составляющих одну, определяемую законом Фурье (теплопроводность), и вторую, опре еляемую движением жидкосж (конвекция) [c.215]

Во-первых, в геометрии взаимодействия трущихся поверхностей. При внешнем трении соприкосновение двух твердых тел происходит в отдельных точках, контакт всегда дискретен и площадь, на которой возникает внешнее трение, зависит от приложенной нагрузки, входящей в явном или неявном виде в расчетные уравнения. При внутреннем трении поверхность касания непрерывна и не зависит от нагрузки. Во-вторых, внутреннее трение характеризуется ламинарным перемещением материала в направлении вектора относительной скорости. При внешнем трении материал перемещается в направлении, перпендикулярном к вектору относительной скорости. В третьих, при внешнем трении возникновение и разрушение связей должно локализироваться в тонком поверхностном слое, при внутреннем трении деформативная зона охватывает весь объем. Таким образом, необходимым условием для внешнего трения является наличие положительного градиента механических свойств каждого из трущихся тел по глубине. Для внутреннего трения, наоборот, необходимо наличие отрицательного градиента механических свойств. [c.12]

Более вероятна вторая ситуация, возникающая при ЫАФМС. При этом меняется индекс запаса работоспособности, отождествляемого с целевой функцией. Другими словами, шаг в пространстве WFl приводит к пересечению траекторией поиска гиперповерхности некоторого гребня. Дальнейший поиск должен происходить в направлении проекции вектора-градиента на гиперповерхность гребня. Очевидно, что сначала нужно определить этот гребень, т. е. найти индексы jV4 и Nb запасов работоспособности, образовавших гребень. [c.215]

Индекс к указывает на последовательность вычислений в процессе итераций. Новые направления называются сопряженными и соответствуют текущей локальной квадратичной аппроксимации функции. Затем по новому направлению проводят одномерный поиск и, найдя минимум, проверяют, достигнута ли требуемая степень сходимости. Если проверка показывает, что это так, то счет прекращается. В противном случае определяют новые сопряженные направления, к увеличивают на единицу и продолжают процесс до тех пор, пока не будет обеспечена сходимость или пока поиск не будет проведен по всем Л +1 направлениям. Закончив цикл поиска по Л +1 направлениям, начинают новый цикл, в котором опять используется направление наискорейшего спуска. Достоинство этого алгоритма состоит в том, что он позволяет использовать преимущества градиентных методов, проявляющиеся при исследовании целевой функции с разрывными производными. Так как N+1 направлений поиска второй совокупности отличаются от направлений единичных векторов градиента, то поиск не зависает на изломе , а идет вдоль линии, соединяющей точки изломов линии уровня, которая, как правило, проходит через точку оптимума. Вообще можно утверждать, что методы, основанные на определении новых направлений поиска на основе накопленных данных о локальном поведении функции, по самой своей природе более эффективны, чем методы, в которых направление поиска задается заранее. Именно поэтому метод Флетчера — Ривса обладает большими преимуществами по сравнению с методами наискорейшего спуска или подъема. Его недостаток состоит в том, что, будучи сложнее указанных методов, он требует разработки более сложных программ. [c.173]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...