ЛГ-мерного отображения

Наряду с достижениями теории возмущений и другими математическими результатами, одной из основных побудительных причин возрождения интереса к нелинейной механике было изобретение цифровой ЭВМ. Уже с самого начала использование ЭВМ для интегрирования уравнений движения было соединено с методом сечения Пуанкаре, при котором такое интегрирование iV-мерных уравнений заменяется итерацией соответствующего N—1)-мерного отображения. В результате оказалось возможным наблюдать за движением системы в фазовом пространстве в течение сотен тысяч колебаний. Обнаруженные уже в первых экспериментах удивительно тонкие пространственные структуры движения быстро привлекли внимание как теоретиков, так и экспериментаторов. Отсюда две основные особенности нашего изложения материала мы существенно опираемся на результаты численного моделирования, с одной стороны, и на соответствие между непрерывным движением (iV-мерным потоком) и его дискретным N—1)-мерным отображением Пуанкаре — с другой (см. гл. 3). Центральным моментом нашего описания динамики является численный эксперимент, который считается, как правило, окончательной проверкой теоретического анализа. Примеры численного моделирования приводятся в каждой главе также для иллюстрации и пояснения физической сущности явлений. [c.15]

Обозначив для простоты х = (р, q) = Ахп я х = [р, q) == Ах +ь перепишем линеаризованное уравнение уИ-мерного отображения [c.207]

Отображения. В случае М-мерного отображения [c.298]

Показатели Ляпунова для (М—1)-мерного отображения на поверхности сечения Пуанкаре пропорциональны показателям, для непрерывной траектории в УИ-мерном фазовом пространстве [c.298]

Для Л -мерного отображения локальный объем Ат сжимается за одну итерацию в det М (х) раз, где М — матрица Якоби для отображения. Скорость сжатия равна [c.412]

Рассмотрим п-мерное отображение (п-мерных) векторов состояния Как мы увидим из дальнейшего, излагаемый нами метод целиком переносится на случай непрерывно распределенных переменных. Предполагается, что вектор Яд. удовлетворяет разностному уравнению [c.349]

ОТОБРАЖЕНИЕ - математическое правило, ставящее в соответствие одному множеству точек в некотором п - мерном пространстве другое множество точек. [c.57]

С этим преобразованием координат можно связать определенную геометрическую картину. Пусть q так же, как и <7 ,— прямоугольные координаты в п-мерном пространстве. Будем рассматривать точки в <7-пространстве и точки в -пространстве. Некоторой точке Р в (/-пространстве соответствует определенная точка Р в (/-пространстве. Поэтому преобразование вида (1.4.3) называется точечным преобразованием . В некоторой области точки -пространст-ва находятся во взаимно однозначном соответствии с точками (/-пространства. Мы имеем, таким образом, отображение и-мерного пространства самого на себя. Это отображение не только удовлетворяет обычным требованиям взаимно однозначного соответствия. Сохраняется непрерывность. Окрестность точки Р отображается в окрестность точки Р и наоборот. Можно утверждать даже большее. Прямая линия в (/-пространстве не остается прямой в (/-пространстве. Однако по мере уменьшения размеров области соотношения [c.37]

Резюме. Ввиду произвола в выборе координат одна система обобщенных координат может быть заменена другой. Это преобразование координат может мыслиться геометрически как отображение -мерного пространства самого на себя. Отображение не сохраняет углов и расстояний. Прямые линии преобразуются в кривые, однако в бесконечно малой области, в окрестности некоторой точки, отображение выпрямляется прямые линии переходят в прямые, параллельные — в параллельные, и сохраняется отношение объемов. [c.38]

Исследуем эти уравнения несколько более подробно. Рассмотрим функциональные соотношения между первоначальными Qi и новыми (0( при условии постоянства Ji-При этом мы сможем говорить об отображении л-мерного (7-пространства на п-мерное со-пространство, и наоборот. Соотношения (8.4.15), выражающие со через не однозначны. Отметим сначала, что пространство конфигураций qi, в котором происходит движение, является ограниченной областью -мерного пространства. Координаты меняются между определенными минимальными и максимальными значениями. Поэтому, если нанести qi в качестве координат на прямоугольные оси -мерного пространства, то ввиду [c.284]

Вернемся теперь к исследованию уравнений (19.1.2). Будем их рассматривать как уравнения, описывающие движение изображающей точки (xi, Х2,. . ., д т) В г-мерном пространстве движение этой точки является отображением движения динамической системы (не только в -пространстве, но и в фазовом пространстве). Рассматриваемое пг-мерное пространство можно считать евклидовым пространством с прямоугольными координатами Xi, [c.359]

КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — взаимно однозначное отображение областей га-мерного евклидова пространства, сохраняющее углы между кривыми. К. о. в каждой точке обладает свойством постоянства растяжений по разл. направлениям. При любое (гладкое) К. о. является суперпозицией вращения, растяжения, сдвига и спец. К. о. инверсии х/ х —х% [c.453]

Через Пе(л ) обозначим т—1)-мерный круг в П(л ) радиуса е с центром в точке х, т. е. множество г] 1т)—х1< е , а через Ге(х) — множество всех точек уеГ, проекции которых Т1(г/) принадлежат Пе(л ). Если 6 достаточно мало, то Г (л ) является гладкой поверхностью и отображается на Пе( ) с помощью отображения у—>V](y) взаимно однозначно, что определяет однозначную функцию у ц) на Пе(л ). Будем предполагать, что е именно так и выбрано и Ге(х) является частью поверхности Ляпунова класса (см. 3 главы 1), 0<а 1. Это обеспечивает выполнение следующих неравенств (на Ге(х)) [c.46]

Определение вспомогательного отображения и условия его сжимаемости. Пусть в области С (и, у), где и и V—г- и -мерные векторы, определено точечное отображение [c.127]

В системах, описываемых двумерным и п-мерным точечными отображениями, зависящими от одного параметра, при бифуркациях удвоения периода имеют место аналогичные универсальные закономерности [420, 693]. Так, на примере двумерного отображения [c.245]

Пусть F — вещественное векторное пространство размерности т. Дифференцируемым векторным расслоением со слоем F называется тройка т]=( , JX, М), где М — многообразие размерности п, база расслоения Е—(п+ )-мерное многообразие, расслоенное пространство п — отображение Е- М, называемое проекцией Е на Л1, причем п р) гомеоморфно пространству F для всех р М. F=n p) называется слоем над точкой р. [c.52]

Натуральная механическая система — тройка (М, йз, У), где М — гладкое п-мерное многообразие (конфигурационное пространство), ds — риманова метрика на М (которая задает кинетическую энергию системы = ds/dt) /2), У — гладкая функция на М (потенциал поля сил). Движения натуральной системы — это отображения т А М (Д — интервал в К), удовлетворяющие в локальных координатах на М уравнениям Лагранжа с лагранжианом = 5 + У. Так как форма [c.130]

Таким образом, в процессе решения К дихотомических задач в этом случае осуществляется отображение пространства признаков в пространство решений, т. е. любой п-мерный вектор признаков трансформируется в /С-мерный вектор решения с компонентами, равными +1 или —1. Пространством решений является Я -мерный куб, длина ребра которого равна 2, а центр находится в начале координат. [c.256]

Иногда употребляется так называемая 2,5-мерная графика, т. е. обработка графической информации трехмерных объектов, для которых третье измерение не столь существенно, например отображение многослойных интегральных структур и печатных плат, зубчатых колес и др. [c.235]

Кусками Ст цепи дВ являются к — 1-мерные грани Bi многогранника В вместе с отображениями / Df R вложения граней в R и ориентациями Ор,-, определенными ниже кратности же равны 1 [c.162]

Ст = ( > , fi, Орг), где — к — 1 мерные грани В, Орг — ориентации, выбранные согласно приведенному выше правилу, fi — ограничение отображения f В М на грань [c.162]

Натянем на эти векторы в К" параллелепипед П (строго говоря, надо рассмотреть стандартный ориентированный куб в и его линейное отображение на П, переводящее ребра е ,. . , . . ., ек+1 в I, . . ., +1, как к 1-мерный кусок в К"). [c.165]

Отображение / переводит параллелепипед П ъ к + 1-мерный кусок П на Л/ ( криволинейный параллелепипед ). Граница куска П есть -мерная цепь, дП. Рассмотрим интеграл формы ю по границе дП параллелепипеда П [c.165]

Определение. Дифференциальная А-форма со называется интегральным инвариантом отображения если интегралы о>. по любой А-мерной цепи с и по ее образу при отображении g одинаковы [c.179]

Функциональные уравнения Фейгенбаума обобщаются и на случай N—1)-мерных отображений последования Пуанкаре Хп+1=П(Хп, ц) для Л -мерных диссипативных фазовых потоков если при некотором jii у них происходит бифуркация удвоения периода, то затем с ростом i происходит бесконечная последовательность таких бифуркаций, удовлетворяющая законам подобия с универсальными постоянными б и а и с некоторой точкой сгущения 1оо, в которой возникает стохастическое движение (вна- [c.137]

Бенеттин и др. [20] нашли таким способом все показатели Ляпунова для нескольких гамильтоновых систем, включая 4- и 6-мерные отображения. Мы приведем их результаты для системы с тремя степенями свободы, которая исследовалась Контопулосом и др. [93] [c.317]

Фч>мер и др. [36] дают аналитическое определение полног -спектра показателей Ляпунова и приводят пример, когда спектр может быть вычислен явно. Оставшуюся часть этой главы мы п . святим краткому изложению схемы вычисления показателей Ляпунова для двумерного отображ 1ИЯ. Многие из деталей мы опускаем. Те из читателей, для которых эти подробности представляют интерес, могут найти их в статье Фармера и др. [36]. Начнем с рассмотрения общего Т -мерного отображения [c.208]

Это точечное преобразование можно представить как отображение rt-мерного (/-пространства самого на себя (см. гл. I, п. 4). Кривая С (q, /)-пространства переходит в некоторую новую кривую С. Варьированная кривая С переходит в соответствующую вариацию С кривой С.5Если при этом [c.142]

Поведение траектории в окрестности L удобно-изучать, рассмотрев их слсды на (п — 1)-мерной секущей поверхности D, без касания пересекающей L, п близкие к L траектории. Отображение точки шц из D в первую точку пересечения с D траектории, проходящей через fH(, (рис. 3), наз. отображением Пуанкаре (или отображением последования). В координатах = i, - In-i таких, что L пересекает D в нуле, отображение Пуанкаре имеет вид. [c.626]

В том случае, когда среда обладает точечными дефектами, Z будет 0-мерным подмногообразием, состоящим из одной или нескольких особых точек внутри Такие. тефекты принято называть ежа.ми по виду конфигурации параметра tp(jr) в окрестности особой точки. С топологич. точки зрения., Е =. /Ж 0 S", иными словами, всегда возможно охватить область Е сферой (рис, 4, а), и вместо отображений (5а) рассматривать в качестве параметров порядка [c.136]

У.п. данного /г-мерного пространства образуют группу относительно умножения преобразований, называемую унитарной группой и обозначаемую U (и), УНИТАРНЫЙ ОПЕРАТОР—линейный оператор V, отображающий предгильбертово пространство (в частности, гильбертово пространство) X в предаильбертово пространство Y и сохраняющий нормы (или длины векторов). Ли-нейный оператор унитарен тогда и только тогда, когда (х, y) = (Ux, Uy) для всех х, уеХ. Наиболее важный случай У. о.— отображение гильбертова пространства в себя, то есть унитарные преобразования. Характеристическими признаками унитарности линейного оператора U-. //-+Я являются I) =1(1—тождественное преобразование), т е. = где (7 —сопряжённый оператор [c.225]

Отметим, что проведенное рассмотрение отображения двумерного кольца в себя непосредственно обобщается на отображение -мерной тороидальной области С (ИгИ Го, 0 ф<2я), являющейся топологическим произведением (ге — 1)-мерного шара 11г11 Го и одномерной окружности. Пример такого отображения для п = 2 был рассмотрен в 1 гл. 2. [c.146]

Векторные поля. Пусть М — п-мерное дифференцируемое многообразие, ТМ — касательное расслоенное пространство. Отображение Х М- ТМ, сопоставляющее каждой точке р М касательный вектор v TpM, называется векторным полем на М. Если тс ТМ- М — проекция касательного расслоения, то для любого векторного поля тсоХ М- - М — тождественно. Так как касательные пространства ТрМ являются векторными пространствами, векторные поля можно складывать, ум- [c.52]

Для доказательства рассмотрим ш-мерную площадку П = = х,у X = Жо , трансверсально секущую 7, и отображение последования F П -+ П, которое определяется следующим образом. Траектория решения системы (8.2) с начальными данными ж(0) = = Жо, 2/(0) = 2/0 ( уо мало) снова пересекает площадку П через промежуток времени, близкий к р, в точке (жо,2/1). Положим у = [c.220]

Лемма 2. Рассмотрим множество отображений удов-летворяюш их условиям леммы 1 и следуюш ему дополнительному условию при каждом t е 7 (t) е Dez R , где D - (N-k)-мерное подпространствоR , О k[c.191]

В качестве иллюстрации гомоклинических структур рассмотрим пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий периодической траектории в трехмерном фазовом пространстве. При этом удобно использовать так называемое отображение последования Пуанкаре, которое в общем виде, в Л -мерном фазовом пространстве, заключается в регистрации последовательных точек Уо, VI, Уг,. .. пересечения траектории (в одном и том же направлении) с некоторой секущей (М—1)-мерной поверхностью 2 в фазовом пространстве, чем определяется отображение = П(Ул, Ке) поверхности в себя. Поскольку решение и(ыо, О уравнения (2.79) существует при всех /, это отображение обратимо. [c.126]

Для создания и управления деревьями в 3-мерной модели на основе Obje t ARX и Visual С было создано соответствующее программное обеспечение. Про-фаммное сопряжение дерева с распределением полилиний по слоям сделало возможным выборочную подсветку и отображение объектов модели на экране. [c.267]

Системы фуикций, описывающие отображение множеств. Отображение Т подмкогкества К п-мерного евклидова пространства с декартовыми координатами [c.522]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...