Отображение поворота

Как и в случае обратимых отображений окружности, которыми мы занимались в гл. 11 и 12, для отображений отрезка требование дифференцируемости позволяет уточнить ряд результатов относительно структуры орбит. В отличие от гл. 12, где главной темой была сопряженность с принципиально негиперболической моделью — отображением поворота, — здесь главная новая особенность, которая выделяет гладкий случай, — присутствие гиперболических множеств в смысле определения из 6.4. [c.522]

В 3.1 устанавливается связь между гамильтоновыми системами и каноническими отображениями путем использования метода сечения Пуанкаре в фазовом пространстве. На примере отображения поворота показывается, как построить отображение по [c.175]

Отображение поворота не обязательно записывать в переменных действие — угол. Например, уравнения [c.179]

Как отмечалось в п. 1.26, двумерное отображение поворота должно сохранять площадь [c.179]

Достаточно симметричные отображения можно представить в виде произведения более простых отображений. Представление явного отображения поворота как произведения двух инволюций и ис- [c.181]

Переход к отображению. Для двух степеней свободы функции f и g возмущенного отображения поворота (3.1.13) можно найти в первом порядке по е следующим образом. Интегрируя уравнение Гамильтона [c.182]

Соответствующее изменение фазы наиболее удобно определить из условия сохранения площади (3.1.16). Для возмущенного отображения поворота это дает [c.183]

В случае явного отображения поворота = 0. [c.183]

Отметим, что гамильтониан Н этой системы с одной степенью свободы явно зависит от времени ). Описанный метод легко обобщается и на случай явного отображения поворота с N степенями свободы. Мы используем гамильтониан (3.1.35) для отображения Улама в 3.4. [c.184]

Продолжим изучение возмущенного отображения поворота (3.1.13). Как мы уже знаем, согласно теореме KAM, инвариантные кривые с иррациональным значением а, достаточно удаленным от рациональных значений r/s, сохраняют свою топологию и лишь слегка деформируются при малом возмущении. Однако при рациональных значениях а = r/s и вблизи них теорема KAM неприменима. Для исследования структуры отображений в этом случае воспользуемся более ранней теоремой. [c.195]

Теорема Пуанкаре—Биркгофа. В случае невозмущенного отображения поворота (3.1.8) любая точка на окружности а (J) = r/s является периодической ) с периодом s (см. рис. 3.1, . Теорема Пуанкаре—Биркгофа утверждает, что возмущенное отображение поворота будет иметь 2ks периодических точек ( = 1, 2,. . . ). Поясним это, используя рис. 3.3. [c.195]

Двумерное отображение задается системой двух разностных уравнений первого порядка. Выпишем здесь еще раз уравнения (3.1.13) для возмущенного отображения поворота, положив для упрощения записи е = 1 [c.212]

В случае явного отображения поворота, когда / не зависит от / и = О, последовательные подстановки выражений для Х1 в выражения для приводят к уравнениям с двумя неизвестными вида [c.213]

Для возмущенного отображения поворота матрицу М можно получить путем подстановки выражения (3.1.13а) для Jn+-i в (3.1.136), откуда (е = 1) [c.215]

Неподвижные точки и их устойчивость. Мы не будем здесь рассматривать сепаратрисное отображение столь же подробно, как отображение Улама выше, а отметим лишь его наиболее характерные особенности. Оба отображения очень похожи друг на друга, оба относятся к классу явных отображений поворота и их можно представить в виде произведения инволюций (см. п. 3.16). Оба отображения имеют нелинейность одного типа, которая приводит к увеличению фазового сдвига, а следовательно, и к стохастичности при уменьшении переменной действия т или и). [c.242]

Рис. 5.1. Эргодические свойства отображения поворота.

Рис. 5.5. Линейный рост расстояния d (t) между близкими траекториями в интегрируемой системе на примере отображения поворота.

Рис. 5.14. Расплывание фазовой ячейки для интегрируемой системы на примере отображения поворота.

Описанная выше устойчивость основана на том, что малое возмущение приводит к расходимости близких траекторий в основном вдоль, а не поперек инвариантных поверхностей. Покажем это на примере отображения поворота (3.1.8) [c.333]

Модельное отображение. Рассмотрим явное отображение поворота (3.1.17) [c.382]

G38 Активизация зеркального отображения, поворота, масштабирования 22 [c.98]

В главе рассмотрены средства редактирования рисунков удаление и восстановление объектов, перемещение, поворот, получение зеркального отображения и подобия объектов масштабирование, растягивание, разбивка объектов на части, а также многое другое. [c.257]

В главе ] 6 рассмотрены средства редактирования трехмерных объектов поворот, зеркальное отображение, сопряжение, размножение, удаление, получение сечений и разрезов и другие операции. [c.339]

В любой компьютерной графической системе имеется редактор чертежей. С его помощью чертежи выводятся на дисплей и используются конкретные команды для создания, изменения, просмотра и вычерчивания чертежей на графопостроителе. Новые чертежи создаются с использованием предыдущих чертежей или чертежных примитивов. Типичные чертежные примитивы — это прямые линии необходимой толщины, прямоугольники, окружности, эллипсы, дуги, кривые, текст, элементарные объемные тела и основные типовые фрагменты из других чертежей. С помощью редактора можно использовать команды по перемещению, копированию, зеркальному отображению, частичному или полному стиранию, повороту, а также растягиванию или сжатию изображения по вертикали и горизонтали различных объектов или их групп. [c.430]

С другой стороны, можно представлять себе, что нетранзитивное отображение получается из иррационального поворота раздуванием некоторых орбит до отрезков, объединение которых тогда составляет дополнение к Е. Эти отрезки из дополнения, таким образом, переставляются подобно точкам орбиты отображения поворота на иррациональный угол. Все внутренние точки этих отрезков являются блуждающими, так как они остаются внутри отрезков, а образы отрезков попарно не пересекаются. [c.402]

Без ограничений на скорость приближения числа вращения рациональными числами нельзя сделать никаких заключений о регулярности отображения, сопрягающего данный гомеоморфизм с отображением поворота (кроме непрерывности, гарантируемой теоремой 12.1.1). В следующих двух параграфах мы покажем, что для С°°-отображений действительно могут реализоваться почти все мыслимые виды нерегулярности сопрягающего отображения. Замечательное исключение представляет собой простой результат, гласящий, что липшицево сопряжение обязательно должно принадлежать классу С. Самая сильная, но в определенном смысле самая типичная патология, которой может обладать сопрягающее отображение, — это сингулярность, т. е. ситуация, когда множество лебеговой меры нуль переводится в множество полной меры и наоборот. Мы покажем, что это случается при соответствующих значениях параметра в большинстве однопараметрических семейств. [c.414]

Отображение поворота. При изучении фазовых траекторий, особенно в случае двух степеней свободы, удобно использовать метод сечения Пуанкаре, подробно описанный в п. 1.26. Для гамильтониана (3.1.1) в качестве поверхности сечения можно выбрать либо плоскость (/j, 0i) (0., — onst), либо плоскость (/,, Эг) (01= onst). В первом случае последовательные пересечения с плоскостью (/j, 0i) отделены друг от друга интервалом времени А/ = 2я/(Оз, причем JI = onst (см. рис. 3.1, а). За это время 0j увеличивается на со А/ = 2яа (/ ), где а — число вращения. Так как J = = J2 [Ji> ). то при заданном Е величину а можно считать функцией только J1- Опуская для упрощения записи индекс 1, получаем уравнения, описывающие переход от -го к п 1)-му пересечению [c.179]

Эти результаты обобщаются и на интегрируемые системы с N степенями свободы (Я = onst). Выбирая, скажем, = onst в качестве поверхности сечения, получаем отображение поворота для N—1 оставщихся пар переменных действие — угол [c.180]

На поверхности сечения 02 = onst (mod 2я) отображение поворота (3.1.8) перейдет теперь в возмущенное отображение поворота [c.180]

Обобщение возмущенного отображения поворота на случай большего числа степеней свободы при Я = onst получается с помощью производящей функции [c.182]

Еслп не зависит от Jn+i, получается (2yV—2)-мерное явное отображение поворота. Примером такого отображения могут служить разностные ураьнения в задаче о бильярде. Эта задача упоминалась в п. 1.46 и подробно рассмотрена в гл. 6. [c.182]

Переход к уравнениям Гамильтона. Рассмотрим явное отображение поворота (3.1.17). Часто бывает желательно представить отображе- [c.183]

Проиллюстрируем трудности доказательства теоремы на примере двумерного отображения поворота (3.1.13). Последовательные пересечения возмущенной траектории с поверхностью 02 = onst (см. рис. 3.1, а) описываются разностными уравнениями, которые определяют новые значения переменных J на поверхности сечения через их предыдущие значения. Предположим, что инвариантная кривая вида (3.2.1а) удовлетворяет уравнению [c.187]

Исследования нелинейной динамики (в том числе и методом сечения Пуанкаре) путем численного интегрирования уравнений Гамильтона очень трудоемки, поскольку шаг интегрирования должен быть много меньше характерного периода движения. В отличие от этого прямое итерирование заданного на том же периоде отображения может быть легко выполнено на сотни тысяч периодов и дает в существенных чертах ту же картину движения, что и уравнения Гамильтона. Такие отображения интенсивно использовались в различных исследованиях нелинейных колебаний. В 3.4 мы рассмотрим этим методом задачу об ускорении Ферми [126]. Здесь же проиллюстрируем некоторые обсуждавшиеся выше особенности на примере квадратичного отображения поворота, исследованного Хеноном [185] [c.204]

Вернемся к соотношению (3.5.12). Используя асимптотику (3 5.20) в виду того, что С о , получаем первое уравнение возмущенного отображения поворота (3.1.13а) с функцией (г = 1) [c.241]

Физически отображение (5.2.4) соответствует отображению поворота на поверхности сечения 02 = onst (индекс 1 опущен) [c.292]

В этом параграфе мы расслютрим возмущенное отображение поворота = [c.318]

С помощью инструкции С37задают координаты точки, относительно которой осуществляется зеркальное отображение или поворот. С помощью инструкции С38 активизируют функции зеркального отображения, поворота, масштабирования. С помощью инструкции С39 активизируют функции зеркального отображения, поворота, масштабирования. [c.39]

Имя вставляемого блока указывается в поле Name (Имя ). Следует учесть, что при указании коэффициента масштабирования может быть задано число или точка. При указании коэффициента масштабирования по оси Y по умолчанию принимается значение, равное масштабу но оси X. Если коэффициент масштабирования задан со знаком минус, то осугцсствляется зеркальное отображение. При указании угла поворота точка включения является цснт )ом поворота. Если для [c.233]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...