Отображение линеаризованное

Приведенные соотношения (вместе с соотношениями предыдущего параграфа, используемыми при решении линеаризованных задач) лежат в основе алгоритма решения краевых задач (3.3.1)-(3.3.10), (3.3.11)-(3.3.20), (3.3.21)-(3.3.30), (3.3.31)-(3.3.39) модифицированным методом Ньютона-Канторовича для случая, когда контур отверстия может быть конформно отображен на единичную окружность с помощью функции вида [c.95]

Пусть — отображение за период i = 2тг возмущенной системы. Точка С, G — периодическая точка д периода т N, если д ( = = Периодические точки, и только они, являются начальными значениями (при t = 0) для периодических решений гамильтоновой системы. Если т — период точки (, то 2пт—период решения t z t, ), (Oi ) = С- Периодическая точка ( называется невырожденной, если собственные значения отображения z — g z, линеаризованного в окрестности точки (, отличны от единицы. Ясно, что некритические ограниченные линии уровня функции Но составлены сплошь либо из вырожденных периодических, либо из непериодических точек отображения до- [c.294]

Неподвижные точки отображения / находятся из условия а = /(а) ао = О, 1 = 1 — Л" . Устойчивость неподвижных точек х = а определим из линеаризованного отображения (19.16). Подставляя Хп = а + 2 [c.173]

Математический аппарат, развитый для решения линеаризованной задачи о глиссировании, имеет широкое применение при решении плоских задач гидро- и аэродинамики. Речь идет об эффективном решении смешанной задачи для различных областей, когда на частях границы заданы попеременно действительная и мнимая части функции комплексного переменного. Для полуплоскости это решение дается формулой Келдыша — Седова (1937). К решению задачи для полуплоскости можно, с помощью конформного отображения, свести решение смешанной- краевой задачи для любой односвязной области. Для непосредственного решения имеются эффективные формулы в случаях полосы, полуполосы и в двухсвязной области для кольца (см. монографию Л. И. Седова, 1950 и 1966). Имеются обобщения этих формул и для случаев периодических (Л. И. Седов, 1938) и двоякопериодических решеток (Л. И. Седов, 1950 и 1966). [c.12]

При приведении произвольного линейного уравнения к каноническому виду не следует забывать о том, что плоскость переменных ж, у в (32), (33) является вспомогательной, поэтому анализ разрешимости краевой задачи в исходной плоскости должен содержать исследование однозначности обратного отображения. Любопытно, что такой вспомогательной плоскостью для линеаризованных уравнений плоских потенциальных течений [c.49]

Задайте итерационные процессы, подобные описанному в этом параграфе, для решения функциональных уравнений / о Н — д или Л о / = д относительно неизвестного преобразования Л, где / и д — такие известные отображения пространства X на пространство У, что эти процессы включают обращение линеаризованного оператора только в д, И). [c.105]

В этой главе мы видели, что несколько различных задач сводятся к решению линейного функционального уравнения специального вида. Так обстояло дело с уравнениями (2.2.6), (2.2.7) и с (2.2.8), когда мы изучали замены времени для потоков с уравнениями (2.6.4) и (2.6.5), возникшими при доказательстве топологической устойчивости гиперболических автоморфизмов тора (теорема 2.6.1, см. также доказательство предложения 2.6.2) и в линеаризованном уравнении (2.8.3) для сопрягающего отображения при использовании метода Ньютона. В случае дискретного времени все эти уравнения могут быть представлены в виде [c.111]

Интересно отметить, что подобный факт имеет место и для ( диффеоморфизмов двумерных многообразий а именно, по следствию Д.5.10 любой такой диффеоморфизм обладает инвариантным гиперболическим множеством типа подковы, энтропия которого аппроксимирует топологическую энтропию сколь угодно хорошо, в отличие от одномерного случая это не топологический факт. Например, Мэри Рис привела пример минимального гомеоморфизма двумерного тора с положительной топологической энтропией [ ]. Та роль, которую играла теорема о промежуточном значении, в двумерном сл) ае принадлежит гиперболичности. Гиперболичность устанавливается с помощью неравенства Рюэля (теорема Д.2.13), которое утверждает, что из положительности топологической энтропии следует наличие некоторого экспоненциального разбегания орбит в линеаризованной системе. Подобный факт также имеет место для голоморфных отображений сферы Римана и для голоморфных диффеоморфизмов комплексных двумерных поверхностей. В обоих случаях гиперболичность используется. В первом случае мы можем воспользоваться гиперболичностью благодаря конформности самого [c.500]

Обозначив для простоты х = (р, q) = Ахп я х = [р, q) == Ах +ь перепишем линеаризованное уравнение уИ-мерного отображения [c.207]

Линеаризованное отображение. Разложим отображение вокруг периодической траектории периода к [c.214]

Собственные значения линеаризованного отображения являются корнями уравнения (3.3.6) [c.215]

Средний вычет. Для линеаризованного отображения, заданного матрицей А вблизи периодической точки (см. п. З.Зб), вычет определяется как [c.269]

Находим линеаризованное отображение А вблизи периодических точек с а = г /8 [c.274]

Для выяснения условий такого приближения найдем прежде всего направления собственных векторов системы (5.4.2), используя линеаризованное отображение (см. п. З.Зб) с матрицей [c.321]

Устойчивость неподвижных точек определяется из линеаризованного отображения ( 3.3). Подставляя [c.430]

Размерность алгебры Ли векторных полей, касающихся фронта лежандрова отображения (или дискриминанта группы отражений), бесконечна. Однако, мы можем построить конечномерную алгебру Ли, заменяя каждое векторное поле его линейной частью в нуле. В большинстве вычислений, использующих касающиеся фронтов векторные поля, достаточно знание этих конечномерных алгебр. В отличие от сворачивания полных инвариантов, алгебра линеаризованных сворачиваний допускает простое явное описание в терминах умножения в локальной градуированной алгебре соответствующей особенности. [c.87]

Определение. Линеаризованным сворачиванием инвариантов называется билинейное отображение [c.87]

Теорема ([98], [100]). Линеаризованное сворачивание инвариантов Т хТ Т эквивалентно как билинейная операция) отображению Q X Q Q, определённому формулами (р, д) 8 рц), где [c.91]

Таким образом, главное отображение периодов квазиоднородной функции, имеющей невырожденную форму пересечений, определяет линеаризованную операцию сворачивания С TqA X TqA TqA. [c.111]

Касательное пространство TqA базы версальной деформации может быть канонически отождествлено с пространством локальной алгебры Q (скорости деформации сопоставляем его класс в пространстве локальной алгебры). Следовательно TqA канонически отождествляется с Q. То есть, линеаризованное сворачивание С отождествляется с некоторой операцией с Q У. Q Q. Эта операция зависит от голоморфной формы, отображение периодов которой определяет С. Фор- [c.111]

Интегральные двумерные тороидальные многообразия естественно возникают при бифуркации периодического движения с переходом через поверхность Как следует из предыдущего параграфа (теорема 5.5), при определенных условиях переход через бифуркационную поверхность сопровождается отделением от периодического движения тороидального двумерного многообразия. Тороидальное двумерное интегральное многообразие на своей поверхности может нести самые разнообразные фазовые портреты, которые могут претерпевать бифуркации, не сопровождающиеся разрушением несущего тора. Помимо этого, возможны бифуркации, при которых тор как гладкая интегральная поверхность исчезает. Пути разрушения тора достаточно многообразны. Среди них особый интерес представляют случаи, когда тор разрушается как целое. Бифуркации тора как целого аналогичны бифуркациям периодического движения типов Л +1, N-1 и Л ф. Однако их исследование по образцу исследования бифуркаций периодических движений наталкивается на новую трудность, поскольку приведение к нормальной форме уравнений в окрестности тора предполагает приводимость линеаризованных уравнении в окрестности тора к лилейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Возможен другой подход к рассмотрению бифуркай,ий тора как целого. В основе его лежит сведение задачи о бифуркациях двумерного тора к задаче о бифуркациях инвариантной замкнутой кривой точечного отображения. Для этого разрежем тор секущей поверхностью так, чтобы в сечении получилась замкнутая кривая Г. Фазовые траектории [c.119]

Наличие корйя 21=1 в случае, когда г2,з <1, не дает возможности делать заключение об асимптотической устойчивости неподвижной точки отображения (6). В этом критическом случае не приводит к цели и исследование исходного точечного отображения вместо линеаризованного. Однако из физических соображений видно, что данная система подобна консервативной в случае периодического движения. [c.38]

При е = О будем иметь интегрируемое отображение координата у будет интегралом, и все точки, расположенные на окружности у = = onst, поворачиваются при отображении на угол у. Таким образом, невозмущенное отображение (3.13) не имеет гиперболических периодических точек. Однако при всех е > О точка х = у = О будет неподвижной точкой гиперболического типа. Собственные значения (мультипликаторы) линеаризованного отображения равны [c.275]

Линеаризованная задача о глиссировании по поверхности тяжелой жидкости была впервые правильно поставлена и решена Л. И. Седовым (1937). Им дан метод решения плоской задачи о глиссировании для любых чисел Фруда. Для больших значений числа Фруда получены асимптотические формулы для формы свободной поверхности и для гидродинамических сил, причем показано, что для больших чисел Фруда влияние весомости жидкости несущественно. Особенностью решения задач с тяжелой жидкостью является то обстоятельство, что в соответствии с граничным условием (5.2) в верхнюю полуплоскость можно путем зеркального отображения продолжить функцию Келдыша / (г). Комплексный потенциал ю (г) продолжается в верхнюю полуплоскость более сложным путем, и поэтому задача о глиссировании по поверхности тяжелой жидкости больше не сводится к задаче о крыле. Числовые расчеты по методу Л. И. Седова были выполнены Ю. С. Чаплыгиным (1940). Методом Л. И. Седова был решен также частный пример о глиссировании дужки круга (М. И. Гуревич, 1937). В дальнейшем задача о глиссировании по поверхности тяжелой жидкости была решена методом Фурье Л. Н. Сретенским (1940) ) и методом решения интегрального уравнения путем разложения решения по малому параметру Н. Б. Ко-чипым (1938). Задачу о глиссировании по поверхности тяжелой жидкости конечной глубины рассмотрел М. Д. Хаскинд (1943). [c.13]

Однако мы можем также рассмотреть такое голоморфное отображение f и - С окрестности нуля, что /(0) = 0 и / (0) = 1. Линеаризованное отображение Az = Xz представляет собой поворот вокруг начала координат на угол arg Л. Если этот угол — рациональное число, кратное 2тг, то данное линейное отображение периодично, хотя обычно это не имеет места для /, например, квадратичное отображение z i-> ехр 2 nip/qz + az не периодично. Предположим, однако, что (1/2тг)аг Л не только иррационально, но также плохо аппроксимируется рациональными числами. (См. определение 2.8.1.) Этот случай называется случаем Зигеля. В такой ситуации метод Ньютона позволяет нам построить голоморфное сопряжение / с Л в определенной окрестности нуля. Поскольку всякая окружность z = onst инвариантна относительно Л, ее образ инвариантен относительно /. Таким образом, сопряжение определяется на инвариантном диске, и его существование в случае Зигеля — не просто локальный, но полулокальный факт. [c.106]

Главным инструментом этого анализа будет информация относительно асимптотического поведения линейных отображений (1 / )р при п — -Ьсхз или п — —схз, которое в определенном смысле отражает асимптотическое поведение начального условия, бесконечно близкого к р . Мы покажем, что при определенных условиях поведение некоторых орбит нелинейной системы / относительно нашей заранее заданной орбиты имитирует поведение орбит линеаризованной системы. [c.243]

До СИХ пор мы рассматривали локальный подход, основанный на предположении, что линеаризованная система служит моделью локального поведения нелинейной системы, таким образом подразумевая, что нелинейные члены создают неприятное возмущение, которое должно находиться под нашим контролем. Естественный следующий шаг в локальном анализе — попытаться рассмотреть члены более высокого порядка (по сравнению с линейными) более систематическим и специфическим способом и попробовать более точно определить, до какой степени их влияние должно приниматься во внимание и нельзя ли его просто игнорировать. Мы рассматриваем эту проблеи в 6.6. И вновь гиперболическая периодическая орбита наиболее удо на для такого анализа. Определяющими явлениями здесь служат некоторые резонансы между собственными значениями линеаризованного отображения. Их присутствие или отсутствие определяет, какие члены более высокого порядка должны приниматься во внимание. В негиперболическом случае этот анализ преимущественно формален, т. е. он может быть проведен только с точностью до членов (произвольно) высокого порядка, в то время как в гиперболическом случае такой анализ дает гладкое сопряжение. [c.245]

В 3,3 мы рассмотрим линеаризованное движение и его устойчивость в окрестности неподвижных точек. Для иллюстрации применения этих методов к системам с дву.мя степенями свободы в 3,4 рассматривается модель ускорения Ферлш, описываемая с помощью отображения. Неподвижные точки (периодические решения) и их устойчивость исследуются аналитически и сравниваются с численными результатами. Получена также гамильтонова форма отображения. Наконец, в 3,5 рассматривается задача о движении маятника под действием периодического возмущения в окрестности сепаратрисы, Производится переход от уравнений Гамильтона к отображению и рассмотрен характер линеаризованного движения. Такой подход был использован Чириковым [70] при анализе перехода от регулярного к стохастическому движению. Этот метод будет изложен в гл. 4. Он применяется также при оценке скорости диффузии Арнольда в гл, 6. [c.176]

Лежандра двойственность 64 Лежандра преобразовгкние 66 Лежандров кобордизм 116 Лежандров край 115 Лежандрово многообразие, порождённое триадой 243 Лежандрово отображение 64 Лежандрово подмногообразие 62 Лежандрово расслоение 62 Лежандровы особенности 73 Лейбница тождество 82, 106 Линеаризованное сворачивание инваригштов 87 Локальная клгебра 86 [c.334]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...