Фронт лежандрова отображения

Утверждения п. 1 о волновых фронтах лежандровых отображений дословно переносятся на случай каустик лагранжевых отображений при помощи следующей теоремы. Пусть р, р — очевидные проекции Т М- Ы, Л Ы, К)- Ы. [c.220]

Причина двойственная поверхность — тоже фронт лежандрова отображения, и типичной гиперповерхности отвечает типичное семейство функций, как и для эквидистант. [c.98]

Локально, любое лежандрово отображение эквивалентно отображению примера 1, а также отображению примера 2. Фронт (лежандрова отображения подмногообразия в или РТ У) единственным образом определяет лежандрово отображение (исключая множество отображений бесконечной коразмерности в пространстве всех лежандровых отображений). Следовательно (локальная) теория лежандровых особенностей совпадает с теорией особенностей преобразований Лежандра, а также с теорией особенностей эквидистант гиперповерхностей. [c.67]

Размерность алгебры Ли векторных полей, касающихся фронта лежандрова отображения (или дискриминанта группы отражений), бесконечна. Однако, мы можем построить конечномерную алгебру Ли, заменяя каждое векторное поле его линейной частью в нуле. В большинстве вычислений, использующих касающиеся фронтов векторные поля, достаточно знание этих конечномерных алгебр. В отличие от сворачивания полных инвариантов, алгебра линеаризованных сворачиваний допускает простое явное описание в терминах умножения в локальной градуированной алгебре соответствующей особенности. [c.87]

Проектирование лежандрова подмногообразия на базу лежандрова расслоения называется лежандровым отображением. Образ лежандрова отображения называется фронтом. [c.452]

Всякое лежандрово отображение локально эквивалентно и преобразованию Лежандра, и фронтальному отображению. Теория лежандровых особенностей есть в точности теория особенностей преобразования Лежандра и волновых фронтов. Эквивалентность, устойчивость и простота лежандрова отображения определяется, как в лагранжевом случае. [c.452]

Рис. 34. Лежандрово отображение и его фронт

Вместо гиперповерхности Я мы могли бы взять подмногообразие произвольной размерности в проективном пространстве оно всегда определяет лежандрово отображение. Например, фронт кривой в проективном пространстве (то есть фронт соответствующего лежандрова отображения) есть многообразие касающихся этой кривой гиперплоскостей. [c.66]

Задача. Докажите, что особенности педальных к типичным гиперповерхностям совпадают (с точностью до диффеоморфизма) с. особенностями фронтов типичных лежандровых отображений (и, следовательно, с особенностями двойственных гиперповерхностей для типичных [c.67]

Мы получили лежандрово отображение лежандрова подмногообразия Л на свой фронт (в пространстве с координатами [q z)). [c.69]

Перестройки фронтов, как и перестройки каустик, легче изучать в пространстве-времени. Объединение фронтов в различные моменты времени образует гиперповерхность в пространстве-времени. Легко видеть, что эта гиперповерхность, образованная типичным движущимся фронтом, сама является фронтом типичного лежандрова отображения подмногообразия, размерность которого на 1 больше размерности изучаемого движущегося фронта. [c.75]

Действительно, пусть Ft(x,q) будет производящим семейством лежандрова отображения, зависящего от времени t. Тогда, рассматривая t как дополнительный параметр, мы можем рассматривать F как производящее семейство лежандрова отображения в g,t) пространство-время. Гиперповерхность в пространстве-времени, образованную фронтами в различные моменты времени, будем называть большим фронтом. [c.75]

Подмногообразие в проективном пространстве определяет лежандрово подмногообразие в пространстве контактных злементов объемлющего проективного пространства оно образовано контактными элементами, содержащими касательное пространство исходного подмногообразия. Пространство контактных элементов проективного пространства расслоено над двойственным проективным пространством (контактному элементу сопоставляем содержащую его гиперплоскость). Это расслоение является лежандровым (см. 3.1, рис. 35). Лежандрово подмногообразие, образованное контактными элементами, касающимися исходного подмногообразия, определяет лежандрово отображение в двойственное проективное пространство. Образ этого отображения (то есть множество касающихся исходного подмногообразия гиперплоскостей) является фронтом зтого лежандрова отображения. Для краткости будем называть его фронтом исходного подмногообразия. Лежандрово отображение называется фронтальным отображением (ассоциированным с подмногообразием). [c.233]

Арнольд В. И. Контактные многообразия, лежандровы отображения и особенности волновых фронтов. Успехи мат. наук 1974, 29 (4), 153-154. [c.324]

Дж. Най (I. Куе, 1984)заметил, что не все метаморфозы каустик и фронтов реализуются при движении фронта, определяемом уравнением эйконала (или Гамильтона — Якоби). Например, каустика системы лучей не может иметь вид губ с двумя точками возврата (хотя каустика лагранжева отображения — может). Дело в том, что включение лагранжева или лежандрова многообразия в гиперповерхность, заданную уравнением Гамильтона — Якоби или эйконала, накладывает топологические ограничения на сосуществование, а значит, и на метаморфозы особенностей (особенно в случае невырожденного, например, строго выпуклого по импульсам гамильтониана),— хотя сами по себе особенности реализуются и на гиперповерхности. [c.455]

Итак, проектхшно двойственная гладкой гиперповерхность есть фронт лежандрова отображения. [c.452]

Все это вытекает из того, что эквидистанты — это фронты лежандровых отображений. Лежандровы отображения классифицируются критическими точками функций (рассматрива- [c.97]

Причина, по которой особенности подэр лежандровы (точнее, диффеоморфны фронтам лежандровых отображений), состоит в следующем. Евклидова структура позволяет отождествить исходное пространство с двойственным. Это отождествление позволяет не различать и пополненные (проективные) пространства. Подэра — это образ гиперповерхности,, проективно двойственной исходной, при инверсии. Поскольку инверсия — диффеоморфизм (вне нуля и бесконечно удаленной. гиперплоскости), особенности подэры такие же, как у гиперповерхности, проективно двойственной исходной. [c.99]

Фронтальное отображение отложим на каждой нормали к гиперповерхности в евклидовом пространстве отрезок длины I. Мы получим лежандрово отображение, фронт которого — эк-видистанта данной гиперповерхности. [c.452]

Теорема (1973). Ростки лежандровыл отображений общего положения многообразий размерности 5 в каждой точке просит и устойчивы. Простые устойчивые ростки лежандровых отображений классифицируются группами А, В, Е их фронты локально диффеоморфны (в комплексной области) многообразиям нерегулярных орбит соответствующих групп, порожденных отражениями. [c.452]

Многомерный случай. Об особенностях фронтов многомерных лежандровых отображений (следовательно, об особенностях эквидистант, двойственных гладким гиперповерхностей, преобразований Лежандра, подэр, первообразных и т. д.) мало что известно. Из общих теорем Варченко 29], (30], [31], [226], следует конечность числа негомеоморфных особенностей на типичных фронтах любой фиксированной размерности. Явной же топологической классификации пока нет уже для шестимерных фронтов. [c.100]

Определение. Проекция лежандрова подмногообразия пространства лежандрова расслоения в базу этого расслоения называется лежандро-вьш отображением (рис. 34). Образ лежандрова отображения называется его фронтом. [c.64]

В 1981 г. А. Н. Варченко и А. Б. Гивенталь (которому принадлежит также доказательство этой теоремы для исключительных групп) указали далекие ее обобщения. Евклидову структуру они заменили формой пересечений подходящего невырожденного отображения периодов семейства голоморфных дифференциальных форм на слоях расслоения Милнора версального семейства функций. Невырожденная форма пересечений определяет (в зависимости от четности числа переменных) либо локально плоскую псевдоевкли-дову метрику со стандартной особенностью на лежандровом фронте, либо симплектическую структуру, голоморфно продолжающуюся на фронт. [c.456]

Для изучения лежандровых проектирований и фронтов, соответствующих приведённым выше лагранжевым отображениям, контакти-зируем симплектическое пространство, лагранжево расслоение и лагранжево подмногообразие. Выберем кокасательное расслоение ( ) 9 в качестве локальной нормальной формы лагранжева расслоения. Контактизированным пространством является тогда пространство (р, 9 г) 1-струй функций, снабжённое контактной структурой dz = pdq. Лежандровым многообразием, соответствующим данному лагранжеву, является многообразие 1-струй (многозначной) производящей функции [c.266]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...