Отображения устойчивые в неподвижной точке

Как известно, устойчивым (неустойчивым) неподвижным точкам отображения, простым и кратным, соответствуют устойчивые (неустойчивые) периодические установившиеся движения соответствуюш,ей динамической системы. Поэтому изучение точечного отображения предполагает, в пер- [c.284]

Для симплектических отображений устойчивость негиперболических трансверсальных точек может наблюдаться при любой размерности. Согласно упражнению 5.5.3 множество собственных значений линейного симплектического отображения в может содержать любое количество m п пар комплексно сопряженных собственных значений, модуль которых равен единице. Из предположения, что все эти собственные значения тосты, немедленно следует, что наличие тп различных пар комплексных собственных значений, модуль которых равен единице, является свойством, сохраняющимся при малых возмущениях линейного симплектического отображения, и, следовательно, то же верно для собственных значений дифференциала малого С -возмущения симплектического отображения в трансверсальной неподвижной точке. Если т = п, такая точка называется эллиптической. [c.302]

Линейная устойчивость. Теперь мы проведем подробный анализ устойчивости неподвижных точек, представленных в табл. 3.1. Начнем с отображения (3.4.4). Линеаризуя его в неподвижных точках 1 = М1т % = 1/2, получаем [c.229]

Как мы указывали уже в 1, теорема о существовании инвариантных кривых может быть применена к проблеме устойчивости эллиптической неподвижной точки, к которой мы теперь возвращаемся. Рассмотрим сохраняющее площадь отображение окрестности неподвижной точки общего эллиптического типа, которое в подходящих координатах может быть выражено в виде [c.314]

Орбитно устойчивому или орбитно неустойчивому периодическому движению отвечает соответственно устойчивая или неустойчивая неподвижная точка. Для того чтобы убедиться в справедливости всех этих утверждений, а также выяснить другие свойства точечного отображения, вновь рассмотрим случай двумерного фазового пространства, т. е. рассмотрим автономную динамическую систему второго порядка, поведение которой описывается дифференциальными уравнениями [c.71]

Характер неподвижной точки отображения Т секущей S определяет поведение фазовых траекторий в окрестности периодического движения Г. Именно, точке O соответствует устойчивое периодическое движение Г" точке О " — неустойчивое периодическое движение Г ", точке ОР ч (р, q Ф 0) — седловое Через седловое [c.249]

Если отображение Т — это отображение, порождаемое фазовыми траекториями, близкими к периодическому движению Г на секущей поверхности S, то первой из описанных бифуркаций устойчивой неподвижной точки соответствует мягкий режим удвоения периода колебаний. Поясняющие этот процесс фазовые картинки в трехмерном случае представлены на рис. 7.П. Как меняются при этом осциллограммы колебаний, изображено на рис. 7.12. При этом Г изображает родившееся движение удвоенного по отношению к периоду прежнего периодического движения Г Ч Периодическое движение переходит в На секущей поверхности S неподвижная точка переходит в О и при этом одновременно рождается цикл двукратных неподвижных точек (О, , 0.у ). На секущей поверхности S стрелками изображается отображение Т . Для отображения [c.259]

При взаимной однозначности отображение Т отрезка в себя всегда имеет устойчивую неподвижную точку. [c.300]

Из этих орбит по крайней мере одна устойчива по первому -приближению пусть это будет орбита, соответствующая неподвижной точке Д. Совершим еще одно топологическое отображение круга на себя такое, чтобы точка Pq перешла в центр круга, а точки окружности подверглись бы такому же преобразованию, что и прежде. В результате получим преобразование Т, которое оставляет центр круга неизменным, а границу его отображает на себя, причем все точки границы передвигаются против хода часовой стрелки на один и тот же угол. [c.624]

У отображения (3.7) (назовем его Т) в области G не может быть устойчивых неподвижных точек любые две сколь угодно близкие, по различающиеся координатой х точки при последовательных преобразованиях Т разбегаются на конечное расстояние, так что внутри G преобразование должно носить хаотический характер. Чтобы лучше понять его, рассмотрим последовательные отображения области G. При однократном отображении область G преобразуется в две области Gi и G (рис. 3.16, а). При последующем преобразовании каждая из областей Gi и Gz переходит в две области, соответственно Gn, G и G21, ( 2а (рис. 3.16, б). При этом имеют место включения [c.72]

Рассмотрим теперь, как меняются фазовые портреты точечного отображения в окрестности замкнутой кривой Г при бифуркациях типов N 1, N-1 и Сначала пренебрежем малым различием корней характеристических уравнений неподвижных точек, принадлежащих разным циклам, а затем учтем его и оценим вносимые изменения. При бифуркациях типа N+1 происходит слияние неподвижных точек на Г с неподвижными точками, лежащими вне Г, и их исчезновение. Это соответствует слиянию устойчивого тора с неустойчивым и их исчезновению. При бифуркации типа Л - по теореме 5.7 возможно либо отделение от каждой из неподвижных точек новых неподвижных точек удвоенной кратности либо слияние с ними неподвижных точек удвоенной кратности. Один из таких случаев представлен на рис. 5.19. Необходимо только иметь в виду, что эти случаи возможны только при размерности исходного фазового пространства не меньше четырех и соответственно размерности секущей 2 пе меньше [c.121]

Смейла, но с той существенной разницей, что области и Сз примыкают к границам области а О1 и О2 — устойчивые неподвижные точки вспомогательного отображения Т. Отсюда непосредственно следует состав инвариантного множества /. Осталось сказать, что в данном случае это седловое инвариантное множество / и есть сечение странного аттрактора уравнений Лоренца. Его особенностью является то, что его инвариантное множество 5 содержится в /. Вдоль своего инвариантного множества й " оно притягивает к себе соседние фазовые точки. [c.144]

Назовем отображение 3 устойчивым в неподвижной точке а, если для каждой окрестности it С существует такая ее часть С it, для которой все образы S " п = 1, 2,. ..) лежат в И. Неустойчивость определим не просто как логическую противоположность устойчивости, по с помощью более сильного требования, а имеппо следующим образом. Отображение 3 называется неустойчивым в неподвижной точке а, если существует такая окрестпость it С ШЗ, что для каждой точки р 7 а из И по крайней мере один образ р лежит вне it. [c.234]

Для неподвижных точек достаточно гладкого в их окрестности точечного отображения справедливы следующие утверждения. В окрестности неустойчивой (устойчивой) узловой неподвижной точки существует заполняющее ее множество несамопересекающихся гладких выходящих [c.359]

Такое отображение имеет две неподвижные точки — неустойчивую х = у = 0 и устойчивую х=1 — (1— )lbi y = - . При некотором iLi = iLii( ) вторая из этих точек теряет устойчивость, и, кроме того, появляется двукратный цикл, т. е. неподвижная точка второй итерации Хп- -2 = П2(хп). В окрестности своей неподвижной точки эта вторая итерация путем перенормировки значений х, i и приводится к такому же функциональному виду, как исходное отображение (причем перенормировка имеет вид 2 = ). Поэтому далее происходит последовательность бифуркаций удвоения периода с асимптотическими законами подобия Фейгенбаума при тех же параметрах б и а, с той же точкой накопления i x> (при x> = 0) и с аналогичным вышеизложенному дальнейшим поведением при ц > Цс . Для эквивалентного (2.100), (2.90) отображения [c.136]

Проследим возникновение точек 61, 62 при переходе А через значение А = 3. Вначале отметим, что в неподвижной точке ах отображения /2 велргтина 1/2 ( 1) = (2 — А) меньше единицы в интервале 1 < А < 3 и больше единицы при А > 3. Следовательно, график / = /2 (ж) пересекает прямую у = X в точках ао, ах при 1 < А < 3 ив точках ао, ах, Ьх, 62 при А > 3. Члены подпоследовательностей Ж2й+1, Х2к генерируются через промежуток времени 2т. В этом случае говорят, что отображение имеет устойчивый цикл 2 с периодом 2. Переход от неподвижной точки с устойчивым циклом 2° к циклу 2 произошел в результате бифуркации, [c.175]

Наоборот, предположим, что диффеоморфизм / структурно устойчив и имеет нетрансверсальную неподвижную точку з , т. е. такую точку, что f i )) = 1- По теореме Купки — Смейла у диффеоморфизма / существуют только изолированные неподвижные точки, потому что в любой окрестности / найдется диффеоморфизм Купки — Смейла, а следовательно, диффеоморфизм Купки — Смейла, топологически сопряженный с /. Поскольку = 1, существует сколь угодно малое С -возмущение /, имеющее отрезок с концами в неподвижных точках, содержаыщй а , т. е. диффеоморфизм / не является структурно устойчивым, что приводит к противоречию. Такое отображение может быть построено с помощью метода, используемого в лемме о продолжении 6.2.7, а именно путем построения приближения, которое совпадает с линейной частью в окрестности неподвижной точки. [c.301]

Предложение 7.3.3. Бифуркация семейства (7.3.2) структурно устойчива, и в случае размерности один любая локальная структурно устойчивая бифуркация, происходяи1,ая в неподвижной точке, в которой производная отображения равна единице, топологически эквивалентна (с точностью до изменения параметра) этой бифуркации. [c.306]

Следовательно, отображение 5, не являющееся неустойчивым, обладает тем свойством, что каждая окрестность содержит инвариантное точечное множество, содержащее не только точку а, в то время как для устойчивости отображения 8 каждая окрестность должна содержать даже некоторую инвариантную окрестность. Поэтому каждое устойчивое отображение необходимо является не неустойчивым, но не являющееся устойчивым отображение может и не быть неустойчивым. Отображение 5 называется смегпанным в неподвижной точке а, если оно там не будет ни устойчивым, ни неустойчивым. То, что смегпан-ные отображения действительно существуют, показывает простой пример аффинного отображения х = х + у, у = у в плоскости (ж, у), которое каждую точку оси абсцисс имеет своей неподвижной точкой. Ограниченное множество при таком отображении тогда и только тогда [c.235]

Следовательно, график функцнй последования для Т, имеет вид, показанный на рис. 4.30. Нанесем теперь найденные кривые для точечных отображений и на одной диаграмме, тогда получим диаграмму Ламерея, показанную на рис. 4.31. Проведенное исследование показывает, что в рассматриваемом случае (О < < оо, О < 2 < 1) существует единственная неподвижная точка отображения Т = Ti-Ta, которая является глобально устойчивой. Таким образом, на фазовой плоскости ху имеется только один предельный цикл, устойчивый в большом, т, е. к этому [c.103]

Ламерея , построенная на этих кривых, может содержать самое большее две ступеньки . Это означает, что при любых начальных условиях изображающая точка попадает на отрезок (4.49) скользящих движений не более чем после двух пересечений граничной прямой д + Ру = 0. Соответствующее разбиение фазовой плоскости ху на траектории для рассматриваемого случая О < р < 1 показано на рис. 4..38. Рассмотрение случая р<0 проводится аналогично. Функция последования по-прежнему определяется соотношениями (4.51), а диаграмма Ламерея имеет вид, показанный на рис. 4.39. Таким образом, в случае Р < О точечное отображение (4.51) имеет единственную неподвижную точку, которая является устойчивой. На фазовой плоскости ху этой точке соответствует устойчивый предельный цикл, распо.по/ <-Рнный симметрично относительно начала координат (рис. 4.40). При эгом режи.ме корабль [c.108]

На рис. 7.42 приведена диаграмма отображения Т в случае, когда а == /.<,. Здесь имеется два цикла, каждьи 1 ип которых состоит из трех трехкратных неподвижных точек. Один цикл нз устойчивых неподвижных точек и другой —неустойчивых. [c.297]

Один из важнейших вопросов, которые возникают при исследовании точечного отображения, — это вопрос о его неподвижных точках, их существовании, числе и устойчивости. Один из наиболее общих критериев существования неподвижной точки основывается на широко известной теореме Брауэра. Эта теорема утверждает, что любое непрерывное отображение Т, преобразующее многомерный шар или любую гомеоморфную шару область G в себя, имеет в G по крайней мере одну неподвижную точку х. Под гомеоморфностью области G шару имеется в виду, что она является некоторым взаимно однозначным и взаимно непрерывным отображением шара [c.297]

Вернемся и тестреме Брауа()н. При выполнении ее условий в области G имеется неподвижная точка. Так как отображение Т преобразует область С в себя, то можно было бы думать, что точечное отображение Г имеег в G устойчивую неподвижную точку. Однако это не так. В случае отображения отрезка в отрезок это может быть не так лишь в случае невзаимной однозначности отображения. [c.300]

Метод вспомогательных оторЗажений. Опнсанные выше критерии существования неподвижной точки и особенно критерий, основанный на принципе сжимающих отображений, в тех случаях, когда его удается применить, дает значительные, а ииогд ) и исчерпывающие сведения о поведении изучаемой системы. В качестве примера можно привести произвольную механическую систему с взаимными и собственными комбинированными трениями без падающих участков характеристик трения. К такой системе возможно применение принципа сжимающих отображений, позволяющее установить глобальную устойчивость многообразия состояний равновесия или периодических движений при воздействии на такую систему внешней периодической силы. Применение принципа сжимающих отображений позволяет установить существование и единственность вынужденных колебаний в системе с т 1к называемым конструкционным демпфированием. Соответствующие примеры могут быть продолжены, но все же они не очень многочисленны, поскольку далеко не всегда имеется сжимаемость. В настоящем разделе излагается метод вспомогательных отображений, позволяющий расширить применение критерия о существовании и единственности неподвижной точки на несжимающие отображения. Ради геометрической наглядности это изложение, как и относящиеся к нему примеры, будет ограничено двумерными точечными отображениями. [c.301]

Пусть х —однокомпонентная величина (it= 1) и х—неподвижная точка отображения (10), л=/(х). Точка х асимптотически устойчива, если в ней (df/dx)x=x < U и неустойчива, если знак неравенства противоположный. Тем самым асиптотическая У. неподвижной точки л эквивалентна сходимости итерационного процесса (10) решения ур-ния х-/ х)=0. [c.256]

Если какая-либо точка М отображается сама в себя, т. е. М = М, го такая точка называется неподвижной. Очевидно, что неподвижным точкам соогветствуют замкнутые траектории, т. е. периодические решения системы. Замкнутые траектории соответствуют также н т-кратным неподвижным точкам, когда Т М = М, Т М + М при < < т. Знание точечного отображения позволяет иайти предельные циклы системы как его неподвижные точки. Более того, оно позволяет судить об устойчивости [c.92]

II даже точки, где он равен нулю. Рис. 2.9, а—г отвечают ряду значений параметра V = 0 0,7 0,9 1,32 и 2,2. Как можнО впдеть из этих рисунков (например, если построить но ним последовательные отображения при значениях Os vs 2,2), возможны как однократные, так и многократные устойчивые неподвижные точки II хаотические последовательности. Первым отвечают движепия ротора, синхронные с частотой параметрического воздействия, второму — хаотические движения. С ростом параметра V, как видно из рисунков 2.9, а — г, эти типы движений чередуются, причем зоны синхронизации по параметру V с его ростом уменьшаются, а зоны хаотических движений расширяются. Более полное рассмотрение фазового портрета и его изменений (бифуркаций) этой динамической системы содержится в 5 гл. 7. [c.49]

Ситуация 8. Петля особой седлоузловой неподвижной точки. Рассматриваемая ситуация относится к точечному отображению, которое может возникнуть па секущей поверхности. При этом в фазовом пространстве системы, пересекаемом секущей, имеются сливпшеся устойчивое и седловое периодические движения. При дальнейшем изменении параметров, отвечающем пересечению бифуркационной поверхности N+1, возникшее в реэультате слияния сложное седлоузловое периодическое движение исчез- [c.151]

Из предыдущего ясно, что в окрестности неподвижных точек Ои Ог,. .., Ор и их инвариантных кривых в случае точечного отображения могут существовать сложные седловые инвариантные множества. В случае дифференциальных уравнепий аналогом такого множества могут быть только совпадающие попарно кривые 5+ и 8 . При разрушении этого слияния могут возникнуть либо внутри петель, либо вне их устойчивые периодические движения. Такой же фазовый портрет для точечного отображения на секущей поверхности отвечал бы появлению тороидальных интегральных многообразий у исходной системы, в которой взята эта секущая. Вносит ли что-нибудь новое в эту картину возможность возникновения сложного седлового инвариантного множества Оказывается, вносит. Чтобы придать конкретный смысд этому различию, будем рассматривать переменные на секущей плоскости как разность фаз с неким внешним периодическим воздействием и результирующую амплитуду колебаний, возникающих в результате зтого внешнего воздействия. При этом переход к дифференциальному уравнению можно трактовать, например, как результат использования метода усреднения. Если речь идет о фазовом портрете дифференциального уравнения, то возможные общие случаи — это либо синхронизм фаз и постоянство амплитуды (устойчивые состояпия равновесия), либо периодическое изменение разности фаз и величины амплитуды. [c.157]

Смотреть страницы где упоминается термин Отображения устойчивые в неподвижной точке : [c.78] [c.285] [c.288] [c.133] [c.33] [c.315] [c.73] [c.76] [c.92] [c.92] [c.300] [c.351] [c.170] [c.85] [c.162] [c.26] [c.68] [c.120] [c.121] [c.169] [c.171]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...